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    高斯定理在萬有引力場中的推廣及應(yīng)用

    2020-12-24 10:06:42謝謙唐衛(wèi)斌劉俊
    商洛學(xué)院學(xué)報 2020年6期
    關(guān)鍵詞:引力場庫倫球面

    謝謙,唐衛(wèi)斌,劉俊

    (商洛學(xué)院 電子信息與電氣工程學(xué)院,陜西商洛 726000)

    高斯定理是電磁學(xué)中的重要定理之一,其推導(dǎo)過程是從庫倫定律[1]而來,在力學(xué)中,牛頓萬有引力定律和庫倫定律,形式上相似[2-4],既然通過庫倫定律可推導(dǎo)出電學(xué)中的高斯定理,那么類似的也可以從萬有引力定律推導(dǎo)出力學(xué)中的高斯定理,通過高斯定理,可以簡便解決引力場中的相關(guān)問題。

    1 萬有引力定律與庫倫定律的比較

    這兩個定律形式上完全相同,如下:

    其中r是場點到源點的位矢,因萬有引力只能是引力,且質(zhì)量只能取正值,故公式前是負號。

    可見,只要把電荷電量換成質(zhì)點質(zhì)量,把k換成G,則兩式形式上完全相同,只是電荷有正有負,庫倫力有引力也有斥力,而質(zhì)量只能取正值,作用力只能是引力。

    2 力學(xué)中的高斯定理

    在電磁學(xué)中通過庫倫定律可推導(dǎo)出高斯定理[1]:

    既然萬有引力與庫倫定律形式上相同,即兩者都為平方反比定律,且引力場強度與電場強度定義相同,經(jīng)對比可得力學(xué)中的高斯定理為:

    即引力場強度g對任意閉合面S的積分(引力場通量),等于這個閉合面所包圍總質(zhì)量的負值除以 ω0。

    閉合面S的方向是其外法線方向。

    下面對其從特殊到一般,分步來加以證明。

    2.1 通過包圍質(zhì)點m的同心球面的引力場通量都等于

    以質(zhì)點m所在處為中心,任意半徑r做一球面(圖1),根據(jù)萬有引力定律,在球面上各點引力場強度大小一樣,,方向沿半徑向內(nèi)指向球心。在球面上,任取一面元dS,其外法線是沿半徑方向向外的,即n和g夾角為 θ=π,所以通過的引力場通量為:

    通過整個閉合球面的引力場通量為:

    這一結(jié)果與球面半徑無關(guān),之所以會有這一結(jié)果,是和平方反比定律分不開的。

    圖1 包圍質(zhì)點m的同心球面

    2.2 通過包圍質(zhì)點m的任意閉合面S的引力場通量都等于

    在閉合面S內(nèi)以點電和q所在處O為中心做一任意半徑的球面S″,根據(jù)2.1可知,通過此球面的引力場通量為,由于引力場分布的球?qū)ΨQ性,該通量均勻的分布在4π球面度的立體角內(nèi),因此在每個元立體角dΩ內(nèi)的引力場通量是,如果把這個立體角的錐面延長,使它在閉合面S上截出一個面元,設(shè)dS到質(zhì)點m的距離為r,dS的法線n與矢徑r的夾角為θ,如圖2,則通過dS的引力場通量為:

    式中dScosθ′=dS′是dS在垂直于矢徑方向的投影面積,所以

    由此可見,通過面元dS的引力場通量和通過 S″上與 dS對應(yīng)的面元dS″的引力場通量一樣,所以通過整個閉合面S的引力場通量都必定和通過球面S″的引力場通量一樣,等于。

    2.3 通過不包圍質(zhì)點m的任意閉合面S的引力場通量都等于0

    如果閉合面不包圍質(zhì)點,即質(zhì)點位于閉合面外,如圖3所示。

    這時從m所在點看來,整個曲面S可分為圖式的S1和S2兩部分,其中S1部分對質(zhì)點m所張的立體角Ω1取正值,S2部分對質(zhì)點m所張的立體角Ω2取負值,由于兩者的絕對值相等,所以通過整個閉合面S的g通量為:

    圖2 包圍質(zhì)點m的任意閉合面

    圖3 閉合面不包圍質(zhì)點

    2.4 多個質(zhì)點的引力場通量,等于他們單獨存在時的引力場通量的代數(shù)和

    它們在閉合面S法線方向的投影gn=gn1+g2n+...,

    (圖略)

    設(shè)有 m1、m2、…、mk個質(zhì)點,其中 1→n 個被高斯面所包圍,第n+1→k個在高斯面外,

    由1.3可知,S外部質(zhì)點的通量φgn+1=φgn+2=…=φgk=0,

    因此k個質(zhì)點同時存在時,通過S的總通量:

    至此,引力場中的高斯定理證畢。

    3 引力場中高斯定理的應(yīng)用

    對于質(zhì)量具有某種對稱性均勻分布的物體,用高斯定理可求其引力場強度。

    3.1 與“填補法”相結(jié)合求解空腔內(nèi)的引力場

    在一密度為ρ半徑為R的球形天體內(nèi)有一半徑為r(r<R)的球形空腔(圖4),證明該空腔內(nèi)的引力場是均勻的。

    圖4 空腔球體內(nèi)的高斯面及矢量

    該問題涉及到一類典型問題的求解方法:填補法[5]。假設(shè)用與球體相同的密度為ρ的物質(zhì)均勻填充該空腔,則構(gòu)成了一個半徑為R,密度為ρ的實體球體。根據(jù)引力場的獨立作用原理,該半徑為R的實體球在半徑為r的實體球內(nèi)的引力場等于半徑為r的球O′與球O′以外部分在此產(chǎn)生的引力場強度之和。

    球O′以外部分在O′內(nèi)場強則為所求證,設(shè)為g,半徑R的實體球在此的場強設(shè)為go,球O′在此的場強設(shè)為gO′,則:

    由于球O與球O′均為質(zhì)量均勻的球體,故其產(chǎn)生的引力場強具有球?qū)ΨQ性,即以各自球心為中心,任一半徑為球面的高斯面上的場強大小相等,方向沿徑向指向球心,對球O′內(nèi)任一點P,分別以O(shè)、O′為中心,以O(shè)P、O′P為半徑做一高斯面(圖5),根據(jù)高斯定理,

    圖5 矢量三角形關(guān)系圖

    3.2 地球內(nèi)部隧道內(nèi)質(zhì)點的簡諧運動問題

    設(shè)想在地球表面的A、B兩地之間開鑿一長為L的直通遂道,在A處放置一質(zhì)量為m的小球,小球在地球引力的作用下從靜止開始在隧道內(nèi)運動[6]。忽略一切摩擦阻力。試證明小球在隧道內(nèi)做簡諧振動,并由此求出小球的最大速度及從A運動到B所需的時間(圖6)。

    圖6 地球隧道內(nèi)質(zhì)點的簡諧振動

    分析:如圖6所示建立直角坐標系,根據(jù)引力場的高斯定理,小球所在位置x處的引力場強度為:

    可見Fx與x成正比而方向相反,所以m是以O(shè)為平衡位置在隧道內(nèi)做簡諧振動。

    下面求出其振動方程。

    4 結(jié)語

    通過對比萬有引力定律與庫侖定律,發(fā)現(xiàn)二者的相似性的規(guī)律,從而通過電學(xué)中的高斯定理,引申出引力場中的高斯定理,并加以證明其正確性。這有助于加深對引力場的理解,為引力場和靜電場的某種聯(lián)系提供了一種證據(jù)。這種引力場中的高斯定理為解決某些天體引力場提供了一種新的、簡便的方法,在教學(xué)中有助于學(xué)生拓展思維,激發(fā)興趣,從而提高學(xué)習(xí)能力[8]。

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