邊界摩擦條件下含有預(yù)緊的對(duì)合碟簧隔振單元振動(dòng)與穩(wěn)定性分析

閆 明，惠安民，孫自強(qiáng)，張曉友，王開平，劉海超

（沈陽工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，遼寧沈陽110870）

引言

碟型彈簧（簡稱碟簧）是一種具有良好非線性剛度特性的金屬彈簧，具有體積小、加載均勻、承載能力高、自阻尼等優(yōu)點(diǎn)［1-2］。可以根據(jù)不同工作條件將多片碟簧以不同疊放方式，組成具有不同的非線性剛度與復(fù)合阻尼特征的彈性元件［3-4］。因此，在各個(gè)領(lǐng)域都得到了較為廣泛的關(guān)注與研究。

基于碟簧本身力學(xué)性能研究，Almen等［5］、Rosa等［6］、Saini等［7］分別對(duì)等截面碟簧、線性變化截面碟簧與拋物線型變化截面碟簧的承載能力與軸向變形進(jìn)行了理論推導(dǎo)，并分別建立了不同截面變化的碟簧的載荷大小與變形的公式。與此同時(shí)，Almen等［5］還在文中提出了碟簧對(duì)合放置時(shí)，其內(nèi)部結(jié)構(gòu)間的Coulomb阻尼系數(shù)最小的觀點(diǎn)；OZAKI等［8］通過數(shù)值計(jì)算方法對(duì)碟簧在考慮摩擦?xí)r的靜態(tài)與動(dòng)態(tài)剛度特性進(jìn)行計(jì)算；ZHENG等［9］針對(duì)大變形的碟簧提出了能量法求解其載荷與撓度的解析解，該解比傳統(tǒng)公式具有更高的精度；Ye等［10］基于梁與錐殼的有限旋轉(zhuǎn)與大撓度理論，對(duì)不同形式的異形開槽碟簧進(jìn)行了力學(xué)分析，并提出一種試驗(yàn)方法，詳細(xì)研究了碟簧應(yīng)變與應(yīng)力的分布規(guī)律，指出了傳統(tǒng)計(jì)算中的不合理假設(shè)。而在振動(dòng)控制領(lǐng)域，Jia等［11］建立了高速壓力機(jī)用組合碟簧隔振裝置，對(duì)其加載與卸載過程進(jìn)行了理論分析，并通過試驗(yàn)確定了最佳碟簧組合，但并未討論其振動(dòng)特性；Xu等［12］同樣基于組合碟簧，設(shè)計(jì)了一種隔振耗能裝置，并對(duì)其阻尼特性進(jìn)行了理論分析與試驗(yàn)探究，結(jié)果顯示其具有良好的耗能與自定心特性；高躍飛等［13］在對(duì)火炮系統(tǒng)的緩沖控制進(jìn)行研究時(shí)，選用碟簧作為彈性緩沖元件，并對(duì)該碟簧緩沖系統(tǒng)的沖擊剛度進(jìn)行了建模與試驗(yàn)研究；王維等［14］研究了碟型彈簧豎向隔振裝置力學(xué)特性，建立并分析了該隔振裝置的恢復(fù)力模型與受力機(jī)理，并對(duì)其在基于往復(fù)載荷作用下的滯回曲線與耗能能力進(jìn)行了試驗(yàn)分析，得到了該碟簧隔振裝置的等效剛度與等效阻尼；工程上一般在設(shè)計(jì)碟簧隔振器時(shí)，為了簡化設(shè)計(jì)步驟，均將其等效為線性阻尼或線性剛度的隔振系統(tǒng)［15-17］。但由于碟簧疊合方式的不同以及系統(tǒng)內(nèi)碟簧數(shù)目的增大，各碟簧結(jié)合面間的邊界摩擦效應(yīng)與剛度非線性特性變得越來越明顯，這導(dǎo)致了線性模型無法準(zhǔn)確表述隔振系統(tǒng)的振動(dòng)特性。

綜上所述，目前對(duì)于單片碟簧的剛度特性，考慮摩擦條件下的準(zhǔn)靜力學(xué)特性已有了較為豐富的試驗(yàn)研究和理論成果。而對(duì)于組合類碟簧和組合類碟簧隔振裝置的研究多集中在阻尼特性或等效線性化后的振動(dòng)特性上，鮮有文獻(xiàn)針對(duì)對(duì)合碟簧隔振裝置的非線性振動(dòng)特性，特別是振動(dòng)穩(wěn)定性進(jìn)行研究，而系統(tǒng)的振動(dòng)穩(wěn)定性往往是衡量隔振系統(tǒng)優(yōu)劣的重要特性之一。因此，本文根據(jù)實(shí)際工程背景，提出了一種含有預(yù)緊的對(duì)合碟簧隔振單元，建立并推導(dǎo)其非線性振動(dòng)微分方程，并對(duì)其振動(dòng)特性以及振動(dòng)穩(wěn)定性進(jìn)行分析與討論。

1 考慮邊界摩擦與預(yù)緊的碟簧隔振單元

1.1 碟簧隔振單元

基于實(shí)際工程需求，設(shè)計(jì)了一種碟簧隔振單元，如圖1所示為其結(jié)構(gòu)原理圖。該隔振單元的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)為：彈性元件由多組對(duì)合碟簧組串聯(lián)布置而成，且每對(duì)對(duì)合碟簧的接觸面處均布置有平墊圈，以保證隔振單元在拉壓運(yùn)動(dòng)過程中受力均勻。根據(jù)不同工作需求，可以調(diào)節(jié)隔振單元中碟簧壓板的厚度，以改變隔振單元中的預(yù)緊力大小。碟簧壓板1#與2#之間充入適當(dāng)硅油進(jìn)行潤滑。

圖1 碟簧隔振單元原理圖Fig.1 Schematic diagram of disc spring vibration isolation unit

該碟簧隔振單元受載后的運(yùn)動(dòng)方式為：腔體中含有預(yù)緊的對(duì)合碟簧組被向下運(yùn)動(dòng)的內(nèi)壓桿以及碟簧壓板1#壓縮至下行程最大處，然后系統(tǒng)在對(duì)合碟簧組的彈性力作用下，返回至初始靜平衡位置；或在慣性力與簡諧力作用下，腔內(nèi)對(duì)合碟簧組被向上運(yùn)動(dòng)的外拉桿、上拉板以及碟簧壓板2#壓縮至上行程最大處，同樣在對(duì)合碟簧組的彈性力作用下，系統(tǒng)返回至初始靜平衡位置，完成單次運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)會(huì)按照上述規(guī)律周期性運(yùn)動(dòng)，直至外界激勵(lì)傳遞給系統(tǒng)的能量通過對(duì)合碟簧中存在的阻尼耗盡為止。該結(jié)構(gòu)顯著優(yōu)點(diǎn)為：可以將外界傳遞給隔振單元的軸向拉、壓力全部轉(zhuǎn)化為對(duì)對(duì)合碟簧組的軸壓力，在保證系統(tǒng)結(jié)構(gòu)緊湊的同時(shí)也保證了對(duì)合碟簧組間預(yù)緊力恒存在。

如圖2所示，為上述碟簧隔振單元中的一對(duì)對(duì)合碟簧組的剖視圖，對(duì)合碟簧組由一對(duì)對(duì)合放置的碟簧和平墊片組成。碟簧為A系列無支撐碟型彈簧，其材質(zhì)為60Si2Mn。中間墊片主要作用為：使碟簧受力均勻，保證系統(tǒng)穩(wěn)定，防止碟簧壓縮過程中出現(xiàn)卡死現(xiàn)象，與此同時(shí)，在碟簧與平墊片的接觸圓上存在邊界摩擦效應(yīng)，可為碟簧隔振器提供阻尼。圖中：D和d分別為碟簧的外徑和內(nèi)徑；t為碟簧的厚度；h0為碟片的最大壓縮量；H0為碟片的自由高度。

圖2 對(duì)合碟簧組Fig.2 Opposed disc spring unit

1.2 碟簧隔振單元的非線性振動(dòng)模型

根據(jù)GB/T 1972-2005《碟型彈簧》［18］規(guī)范中單個(gè)碟簧的力與撓度計(jì)算公式

考慮邊界摩擦與預(yù)緊力條件下的對(duì)合碟簧隔振單元，其剛度曲線可由軸向位移x的三次函數(shù)所表達(dá)，文獻(xiàn)［19］詳細(xì)敘述了該碟簧隔振單元?jiǎng)偠饶Ｐ偷慕⑦^程，其剛度可表達(dá)為

式中K1，K2，K3分別為非線性剛度的一次、二次與三次項(xiàng)系數(shù)；α為碟簧隔振器初始預(yù)緊力；F為彈性恢復(fù)力；xs為碟簧預(yù)壓縮位移；且有基于此可知，除碟簧材料參數(shù)外，在隔振系統(tǒng)中，碟簧厚度t越大，碟簧自由高度H0越高，碟簧個(gè)數(shù)n越少，碟簧外徑D值越小，Kκ值越小，則系統(tǒng)的三次項(xiàng)剛度系數(shù)就越大，系統(tǒng)表現(xiàn)出的非線性特性就越明顯，通過調(diào)節(jié)以上碟簧幾何參數(shù)的配比即可以獲得不同的剛度特性。

與此同時(shí)，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過程中，碟簧在接觸圓上存在邊界摩擦效應(yīng)，該邊界摩擦效應(yīng)可應(yīng)用Coulomb阻尼進(jìn)行描述。而Coulomb阻尼對(duì)系統(tǒng)軸向提供了附加支持力ΔFn，該附加支持力ΔFn的方向與系統(tǒng)的速度方向相反［16］。因此可以應(yīng)用符號(hào)函數(shù)對(duì)其進(jìn)行描述，建立變剛度的碟簧-質(zhì)量系統(tǒng)模型，其隔振原理圖如圖3所示。

圖中：M為系統(tǒng)承載質(zhì)量（其自身重力大于等于系統(tǒng)預(yù)緊力）；c為系統(tǒng)黏性阻尼系數(shù)；Kt為系統(tǒng)非線性剛度，其剛度變化規(guī)律符合式（1）。系統(tǒng)加載后，其平衡位置改變量為x0。x，y分別為隔振系統(tǒng)中承載質(zhì)量M和基礎(chǔ)的絕對(duì)位移量。y?為基礎(chǔ)所受簡諧激勵(lì)的絕對(duì)加速度值。

令承載M的總絕對(duì)位移量為χ=x+x0，則根據(jù)式（2）該碟簧-質(zhì)量隔振系統(tǒng)在基礎(chǔ)激勵(lì)下的運(yùn)動(dòng)微分方程為：

式中“·”代表對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，令λ=χ-y并帶回方程（3）與（4）中，經(jīng)整理可得：

設(shè)非線性方程在Ω=1的主共振區(qū)域附近，其響應(yīng)為

式中振幅A（τ）與相位θ（τ）為隨時(shí)間的周期慢變函數(shù)。即為無窮小量。根據(jù)Klotter［20］提出的對(duì)上述微分方程的求解方法，可用下式計(jì)算出其幅頻特性方程

式中A0為函數(shù)A（τ）的最大值，ψ為虛擬積分變量。整理式（9）可得，系統(tǒng)的幅頻特性方程為

由幅頻特性方程（10）可知，該系統(tǒng)振動(dòng)幅值A(chǔ)0僅與非線性剛度的三次無量綱項(xiàng)系數(shù)α2、黏性阻尼的無量綱系數(shù)μ1以及附加支持力的無量綱系數(shù)μ2有關(guān)，與非線性剛度的二次項(xiàng)無量綱系數(shù)α1無關(guān)。

2 碟簧隔振單元周期解的穩(wěn)定性分析

為進(jìn)一步討論周期解σ（τ）=A（τ）·cos［Ωτθ（τ）］的穩(wěn)定 性，現(xiàn)將sgn(σ?)展 開 成Fourier級(jí) 數(shù)形式

式中省略部分表示高次諧波項(xiàng)。根據(jù)諧波平衡法，將式（7）與（10）代回至方程（6）中，并略去A?(τ)的同階與高階無窮小項(xiàng)以及sgn(σ?)項(xiàng)中的高次諧波項(xiàng)，根據(jù)等式兩邊對(duì)應(yīng)一次諧波的系數(shù)相等，整理可得

令式（12）中的慢變函數(shù)近似等于常數(shù)，即令A(yù)（τ）=A0，θ（τ）=θ0，并代回至方程（12）中，可得方程

由此，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，可同樣計(jì)算得到幅頻特性方程式（10）。這也驗(yàn)證了應(yīng)用Klotter求解方法求解該非線性振動(dòng)方程的正確性。

引入微擾動(dòng)量ε，κ（ε，κ均趨近于0），并滿足

將微擾動(dòng)方程（14）代入式（12）中，可得

由于ε，κ趨近于零，ε?和κ?為其高階無窮小量，故可以認(rèn)為下式滿足精度要求

對(duì)式（15）中的三角函數(shù)按照式（16）中的形式進(jìn)行展開，并考慮式（13）的關(guān)系，對(duì)展開式進(jìn)行整理，略去ε?κ?以及其同階的無窮小量，得到系統(tǒng)擾動(dòng)方程

設(shè)擾動(dòng)方程的解為：ε=ε0est，κ=κ0est，將其代回至擾動(dòng)方程（17）中，可得其解的特征方程式為

求解特征方程（18），并同時(shí)考慮式（13）中各變量間的關(guān)系，整理后可得

由此，基于Routh-Hurwitz系統(tǒng)穩(wěn)定性判定條件，可解得該周期解的穩(wěn)定區(qū)間為

3 系統(tǒng)參數(shù)對(duì)隔振單元振動(dòng)特性及其振動(dòng)穩(wěn)定性的影響

由碟簧間的邊界摩擦效應(yīng)引起的Coulomb阻尼力，其值的大小主要取決于碟簧接觸圓上的正壓力與系統(tǒng)摩擦系數(shù)μe，而Coulomb阻尼力是引起附加支持力的關(guān)鍵因素。根據(jù)計(jì)算，可得到單片碟簧在不同摩擦系數(shù)條件下，其軸向壓縮距離與附加支持力ΔFn的關(guān)系曲線，如圖4所示，其具體計(jì)算與推導(dǎo)過程，可參看文獻(xiàn)［19］。其中碟簧的幾何參數(shù)為：t=0.5 mm，D=28 mm，d=10 mm，H0=1.15 mm，h0=0.7 mm；根據(jù)邊界摩擦潤滑條件［21］，系統(tǒng)摩擦系數(shù)范圍為0.1-0.3，因此此處摩擦系數(shù)μe分別選取0.1，0.2和0.3。

圖4 碟簧加載過程軸向壓縮距離與附加支持力關(guān)系曲線Fig.4 Relationship between axial compression distance and additional supporting force during disc spring loading

由此可知，對(duì)合碟簧隔振單元的附加支撐力無量綱系數(shù)μ2與其軸向位移在一定范圍內(nèi)呈正相關(guān)。在該范圍內(nèi)，為簡化計(jì)算難度，規(guī)定兩種振動(dòng)狀態(tài)，即：小位移條件下的受迫振動(dòng)狀態(tài)與大位移條件下的受迫振動(dòng)狀態(tài)。為進(jìn)一步研究系統(tǒng)中各參數(shù)對(duì)其振動(dòng)以及穩(wěn)定區(qū)間的影響，分別選取兩種振動(dòng)狀態(tài)下的系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行求解，具體分析過程如下。

3.1 小位移條件下的受迫振動(dòng)

由圖4可知，當(dāng)隔振系統(tǒng)的軸向位移量很小時(shí)，即使系統(tǒng)內(nèi)存在較大的摩擦系數(shù)，但系統(tǒng)中的附加支持力ΔFn仍然很小。為探究Coulomb阻尼所引起的附加支持力ΔFn對(duì)系統(tǒng)的影響，選用較小的附加支持力無量綱系數(shù)μ2，并對(duì)上述幅頻特性方程（10）與其對(duì)應(yīng)的穩(wěn)定區(qū)間進(jìn)行求解，如圖5所示。

圖5 小位移條件下附加支持力系數(shù)μ2對(duì)幅頻特性曲線與穩(wěn)定區(qū)間的影響Fig.5 The influence of additional supporting force coefficient μ2 on the amplitude frequency characteristic curve and the stable region

由圖5可知，當(dāng)系統(tǒng)中附加支持力無量綱系數(shù)μ2=0時(shí)，系統(tǒng)中僅存在黏性阻尼，此時(shí)系統(tǒng)為線性阻尼的非線性剛度隔振系統(tǒng)。而隨著附加支持力無量綱系數(shù)μ2的出現(xiàn)并增大，系統(tǒng)共振峰值略有減小。且出現(xiàn)一種自鎖現(xiàn)象，即：系統(tǒng)存在一個(gè)脫離頻率Ωb，當(dāng) 激 勵(lì) 頻 率Ω的 值 小 于 脫 離 頻 率Ωb時(shí)，此 時(shí)A0=0，即承載質(zhì)量M與基礎(chǔ)間的相對(duì)位移為零，隔振器無隔振作用，承載質(zhì)量M與基礎(chǔ)間相當(dāng)于剛性連接。為使幅頻特性方程（9）恒成立，當(dāng)A0=0時(shí)，必存在

即脫離頻率Ωb與黏性阻尼無量綱系數(shù)μ1無關(guān)，但其平方與附加支持力無量綱系數(shù)μ2成正比。且隨著附加支持力無量綱系數(shù)μ2值的增大，系統(tǒng)的不穩(wěn)定區(qū)間向高頻大振幅方向收縮，不穩(wěn)定區(qū)間范圍變小。

如圖6（a）-（d）所示為小位移條件下，非線性剛度三次項(xiàng)無量綱系數(shù)α2對(duì)系統(tǒng)幅頻特性曲線與穩(wěn)定區(qū)間的影響，其中選取參數(shù)：μ1=0.2，μ2=0.05。由圖可以看出，隨著非線性剛度三次項(xiàng)無量綱系數(shù)α2的增大，系統(tǒng)幅頻特性曲線中的共振區(qū)間逐漸變寬，共振峰值逐漸變大且向高頻方向移動(dòng)，當(dāng)系數(shù)α2足夠大時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象。其上跳躍點(diǎn)（D點(diǎn)）與下跳躍點(diǎn)（B點(diǎn)）皆隨系數(shù)α2的增大逐漸向高頻方向移動(dòng)。故非線性剛度三次項(xiàng)無量綱系數(shù)α2不宜選取過大，否則會(huì)加劇系統(tǒng)的共振現(xiàn)象與共振頻寬，不利于設(shè)備的振動(dòng)防護(hù)。

圖6 小位移條件下非線性剛度三次項(xiàng)無量綱系數(shù)α2對(duì)幅頻特性曲線與穩(wěn)定區(qū)間的影響Fig.6 The influence of dimensionless coefficient of cubic term of nonlinear stiffness α2 on the amplitude frequency characteristic curve and the stable region

3.2 大位移條件下的受迫振動(dòng)

隨著軸向運(yùn)動(dòng)距離的增大，系統(tǒng)中由Coulomb阻尼所引起的附加支持力ΔFn也隨之增大，為探究較大的附加支持力無量綱系數(shù)μ2對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)特性以及振動(dòng)穩(wěn)定性的影響；同樣，首先選取非線性剛度三次項(xiàng)無量綱系數(shù)α2=0.2、黏性阻尼無量綱系數(shù)μ1=0，如圖7（a）-（d）所示，分別為附加支持力無量綱系數(shù)μ2為0.1，0.5，1.3以及1.5求解得到的幅頻特性曲線與穩(wěn)定區(qū)間圖。

如圖7所示，由式（21）可知系統(tǒng)的脫離頻率Ωb會(huì)隨著附加支持力無量綱系數(shù)μ2的增大而逐漸向高頻方向移動(dòng)，其自鎖區(qū)間的頻寬會(huì)逐漸增大，當(dāng)其值持續(xù)增大到如圖7（c）所示的位置時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生了較為異常的跳躍現(xiàn)象，即當(dāng)基礎(chǔ)的激勵(lì)頻率持續(xù)增大至H點(diǎn)對(duì)應(yīng)頻率時(shí)，系統(tǒng)相對(duì)位移的振幅A0發(fā)生一次階躍增大現(xiàn)象，由H點(diǎn)直接跳躍至E點(diǎn)后，再沿穩(wěn)定共振分支EA方向繼續(xù)增大至共振下跳躍點(diǎn)B，最后通過下跳躍點(diǎn)B，跳躍回穩(wěn)定分支DC段，此時(shí)系統(tǒng)共振階段結(jié)束；而當(dāng)基礎(chǔ)的激勵(lì)頻率由大持續(xù)減小時(shí)，系統(tǒng)相對(duì)位移的振幅A0隨激勵(lì)頻率減小至D點(diǎn)時(shí)，產(chǎn)生階躍現(xiàn)象，振幅A0的值由D點(diǎn)直接躍升至A點(diǎn)后，沿穩(wěn)定共振分支行至F處，產(chǎn)生第二次階躍現(xiàn)象，由F點(diǎn)向下跳躍至G點(diǎn)，結(jié)束共振階段。當(dāng)繼續(xù)增大附加支持力無量綱系數(shù)μ2的值，使其G點(diǎn)與脫離頻率點(diǎn)Ωb重合，系統(tǒng)的幅頻特性曲線呈現(xiàn)出如圖7（d）的形式，該狀態(tài)下，雖然系統(tǒng)仍然存在穩(wěn)定的共振分支，但不再發(fā)生跳躍現(xiàn)象［22］，即激勵(lì)頻率達(dá)到系統(tǒng)脫離頻率后，振幅A0按照較低的分支進(jìn)行振動(dòng)，此時(shí)系統(tǒng)不會(huì)發(fā)生或僅發(fā)生極其微弱的共振現(xiàn)象。

圖7 大位移條件下附加支持力無量綱系數(shù)μ2對(duì)幅頻特性曲線與穩(wěn)定區(qū)間的影響Fig.7 The influence of dimensionless coefficient of additional supporting force μ2 on the amplitude frequency characteristic curve and the stable region

為進(jìn)一步研究黏性阻尼無量綱系數(shù)μ1對(duì)該隔振系統(tǒng)幅頻特性曲線與穩(wěn)定區(qū)間的影響，選取非線性剛度三次項(xiàng)無量綱系數(shù)α2=0.2，并按表1中相關(guān)參數(shù)進(jìn)行計(jì)算。

表1 相關(guān)計(jì)算參數(shù)Tab.1 Related parameters

如圖8（a）-（d）所示，分別為表1中對(duì)應(yīng)的參數(shù)計(jì)算得到的幅頻特性曲線與穩(wěn)定區(qū)間。由圖8（a）可以很明顯地觀察到，僅當(dāng)黏性阻尼無量綱系數(shù)μ1較小時(shí)，系統(tǒng)的幅頻特性曲線隨系數(shù)μ2的增大而出現(xiàn)異常跳躍情況與不向穩(wěn)定共振分支跳躍的微共振或無共振情況。且出現(xiàn)這兩種情況所需的μ2值會(huì)隨著μ1的增大而逐漸減小，而其不穩(wěn)定區(qū)間同樣會(huì)隨著系統(tǒng)參數(shù)μ2的增大向高頻方向回縮；當(dāng)黏性阻尼無量綱系數(shù)μ1繼續(xù)增大時(shí)，由于其不穩(wěn)定區(qū)間向高頻回縮，此時(shí)系統(tǒng)不再發(fā)生異常跳躍情況，如圖8（b）所示，但在該狀態(tài)下，系統(tǒng)最終還會(huì)出現(xiàn)不向穩(wěn)定共振分支跳躍的微共振或無共振情況；當(dāng)黏性阻尼無量綱系數(shù)μ1繼續(xù)增大時(shí)，如圖8（c）-（d）所示，由于系統(tǒng)的共振峰值點(diǎn)會(huì)隨著阻尼的持續(xù)增大而不再與不穩(wěn)定區(qū)間有交集，此后系統(tǒng)將不再發(fā)生跳躍現(xiàn)象。

圖8 大位移條件下黏性阻尼系數(shù)μ1對(duì)幅頻特性曲線與穩(wěn)定區(qū)間的影響Fig.8 The influence of viscous damping coefficient μ1 on the amplitude frequency characteristic curve and the stable region

4 隔振器定頻試驗(yàn)及其結(jié)果分析

為驗(yàn)證上述計(jì)算規(guī)律的正確性，對(duì)含有多組對(duì)合碟簧單元的隔振單元樣機(jī)進(jìn)行如下定頻試驗(yàn)并與計(jì)算數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比。其中：碟簧片幾何參數(shù)選取為：t=0.5 mm，D=28 mm，d=10 mm，H0=1.15 mm，h0=0.7 mm；對(duì)合碟簧組個(gè)數(shù)為25組、預(yù)緊力為40 N。

在定頻試驗(yàn)前，為準(zhǔn)確得到碟簧隔振單元樣機(jī)的固有頻率，首先對(duì)該隔振器在其額定承載質(zhì)量4.6 kg條件下的自由衰減振動(dòng)的相對(duì)位移與絕對(duì)加速度信號(hào)進(jìn)行測量，并對(duì)測量得到的時(shí)域曲線進(jìn)行傅里葉變換。如圖9所示為自由振動(dòng)條件下碟簧隔振單元經(jīng)位移以及加速度時(shí)域信號(hào)得到的FFT譜圖。

圖9 碟簧隔振單元自由振動(dòng)條件下的FFT譜Fig.9 FFT spectrum of disc spring vibration isolation unit under free vibration condition

由相對(duì)位移與絕對(duì)加速度的FFT譜可知，系統(tǒng)固有頻率取8.58 Hz為宜。基于此，展開定頻試驗(yàn)，其定頻試驗(yàn)的測試頻率區(qū)間為：2-40 Hz，其中2-20 Hz頻 率 段，每2 Hz選取一個(gè)采 樣 點(diǎn)；20-40 Hz頻率段，每10 Hz選取一采樣點(diǎn)。為保證定頻試驗(yàn)得到測量數(shù)據(jù)的穩(wěn)定與準(zhǔn)確性，每組定頻試驗(yàn)的振動(dòng)持續(xù)時(shí)間設(shè)為1 min。如圖10所示為對(duì)合碟簧隔振單元樣機(jī)定頻試驗(yàn)圖。

圖10 對(duì)合碟簧隔振單元樣機(jī)定頻試驗(yàn)Fig.10 Fixed frequency test of prototype of vibration isolation unit with opposed disc spring

圖10中振動(dòng)試驗(yàn)臺(tái)上放置有B&K4384壓電式加速度傳感器，用以監(jiān)控實(shí)驗(yàn)臺(tái)的振動(dòng)情況。振動(dòng)試驗(yàn)臺(tái)由ECON公司生產(chǎn)的液壓振動(dòng)試驗(yàn)機(jī)，其最大推力為100 kN，振動(dòng)頻率范圍為0.1-200 Hz。采用ECON公司生產(chǎn)的MI7016型16通道數(shù)據(jù)采集儀進(jìn)行數(shù)據(jù)采集，采用MTS公司生產(chǎn)的CS系列磁致非接觸型位移傳感器對(duì)配重與試驗(yàn)臺(tái)面間的相對(duì)位移時(shí)域信號(hào)進(jìn)行測量，試驗(yàn)臺(tái)面的絕對(duì)位移時(shí)域信號(hào)由振動(dòng)試驗(yàn)臺(tái)本身的位移傳感器提供。如圖11所示，分別為不同激勵(lì)頻率條件下，激勵(lì)的絕對(duì)位移時(shí)域曲線與隔振系統(tǒng)響應(yīng)的相對(duì)位移曲線（此處僅給出典型位移的時(shí)域曲線）。

圖11中由于激勵(lì)的絕對(duì)位移時(shí)域曲線是由振動(dòng)試驗(yàn)臺(tái)內(nèi)部位移傳感器測量并提供，響應(yīng)的相對(duì)位移時(shí)域曲線由MI7016型數(shù)據(jù)采集儀提供，而本試驗(yàn)主要關(guān)注的是位移幅值，因此為簡化數(shù)據(jù)處理過程，圖中不包含以上兩個(gè)位移時(shí)域曲線的相位信息。基于以上定頻試驗(yàn)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)與隔振單元本身固有頻率信息，可得隔振系統(tǒng)的幅頻特性曲線如圖12所示。

圖11 激勵(lì)的絕對(duì)位移與響應(yīng)的相對(duì)位移時(shí)域曲線Fig.11 Time domain curve of absolute displacement of excitation and relative displacement of response

由圖12（a）的試驗(yàn)幅頻特性響應(yīng)曲線與理論幅頻特性響應(yīng)曲線對(duì)比可知，兩者吻合較好；圖12（b）中，為了界定隔振區(qū)間，選取絕對(duì)位移傳遞率作為其判定條件，并以dB為單位的絕對(duì)位移傳遞率系數(shù)進(jìn)行表征，現(xiàn)定義絕對(duì)位移傳遞率Td為：配重的絕對(duì)位移最大值與振動(dòng)試驗(yàn)臺(tái)引起激勵(lì)的絕對(duì)位移最大值之比，則絕對(duì)位移傳遞率系數(shù)T′d可表達(dá)為

由此可知，在上述參數(shù)條件下，碟簧隔振系統(tǒng)在全頻域內(nèi)存在三種振動(dòng)狀態(tài)區(qū)間，即：當(dāng)激振頻率小于2.8 Hz時(shí)，系統(tǒng)處于自鎖狀態(tài)，此時(shí)碟簧隔振單元表現(xiàn)為剛性支撐狀態(tài)，振動(dòng)被完整的傳遞；當(dāng)激振頻率介于2.8-14.5 Hz之間時(shí)，系統(tǒng)處于共振放大區(qū)，此時(shí)碟簧隔振系統(tǒng)對(duì)基礎(chǔ)傳遞的振動(dòng)起到放大作用；而當(dāng)激振頻率高于14.5 Hz以后，系統(tǒng)進(jìn)入隔振區(qū)間，此區(qū)間內(nèi)碟簧隔振系統(tǒng)發(fā)揮隔振作用，且隨著激勵(lì)頻率地進(jìn)一步增大，系統(tǒng)隔振效果越理想。試驗(yàn)結(jié)果與理論計(jì)算得到的規(guī)律相吻合。

5 結(jié)論

（1）建立了一種考慮邊界摩擦條件下的對(duì)合碟簧隔振單元，求解得到了其幅頻特性方程與其解的振動(dòng)穩(wěn)定性區(qū)間，并發(fā)現(xiàn)幅頻特性方程與其解的穩(wěn)定區(qū)間僅與非線性剛度三次項(xiàng)無量綱系數(shù)α2、黏性阻尼無量綱系數(shù)μ1以及附加支持力無量綱系數(shù)μ2相關(guān)，與非線性剛度二次項(xiàng)無量綱系數(shù)α1無關(guān)。

（2）該對(duì)合碟簧隔振單元存在一個(gè)脫離頻率Ωb，其值與系統(tǒng)的黏性阻尼無量綱系數(shù)μ1無關(guān)，但其平方與系統(tǒng)的附加支持力無量綱系數(shù)μ2成正比。且選取過大的非線性剛度三次項(xiàng)無量綱系數(shù)α2對(duì)改善隔振并無益處。

（3）當(dāng)系統(tǒng)中黏性阻尼無量綱系數(shù)μ1值很小時(shí)，隨著附加支持力無量綱系數(shù)μ2值由小增大，隔振系統(tǒng)會(huì)分別進(jìn)入異常跳躍狀態(tài)與不向穩(wěn)定共振分支跳躍的微共振或無共振狀態(tài)。而增大μ1值，會(huì)使系統(tǒng)到達(dá)異常跳躍狀態(tài)與不向穩(wěn)定共振分支跳躍的微共振或無共振狀態(tài)所需的μ2值變小。

（4）系統(tǒng)中黏性阻尼無量綱系數(shù)μ1與附加支持力無量綱系數(shù)μ2的增大，會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)解的不穩(wěn)定空間向高頻與自身內(nèi)部方向回縮，使得上跳躍點(diǎn)向低頻、高振幅方向移動(dòng)。

（5）基礎(chǔ)激勵(lì)條件下，理論計(jì)算與試驗(yàn)均表明隨激振頻率的增大，該對(duì)合碟簧隔振單元存在三種振動(dòng)傳遞狀態(tài)，即：等值傳遞、振動(dòng)放大以及振動(dòng)隔離，且激振頻率越高，系統(tǒng)的隔振效果越顯著。