經(jīng)驗(yàn)小波變換-同步提取及其在滾動(dòng)軸承故障診斷中的應(yīng)用

李志農(nóng)，劉躍凡，胡志峰，溫 聰，王成軍

（1.南昌航空大學(xué)無(wú)損檢測(cè)技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江西南昌330063；2.安徽理工大學(xué)礦山智能裝備與技術(shù)安徽省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，安徽淮南232001）

引言

軸承是機(jī)械設(shè)備中起承載作用的關(guān)鍵零部件，對(duì)軸承進(jìn)行及時(shí)準(zhǔn)確的故障診斷在機(jī)械設(shè)備的安全使用過(guò)程中至關(guān)重要［1］，目前針對(duì)軸承的故障診斷取得了一定的進(jìn)展，文獻(xiàn)［2-3］是基于滾動(dòng)軸承的微弱特征提取研究；潘海洋等［4］提出了基于拉普拉斯特征映射流形學(xué)習(xí)算法和改進(jìn)多變量預(yù)測(cè)模型，實(shí)現(xiàn)了滾動(dòng)軸承的特征提取和故障識(shí)別全過(guò)程；文獻(xiàn)［5-9］是針對(duì)變工況下的滾動(dòng)軸承故障診斷方法的研究；文獻(xiàn)［10-13］開(kāi)發(fā)了針對(duì)滾動(dòng)軸承的故障診斷系統(tǒng)；文獻(xiàn)［14-16］針對(duì)不同滾動(dòng)軸承的故障類型進(jìn)行了故障智能識(shí)別研究。然而，在復(fù)雜工況下，從軸承的故障信號(hào)中提取準(zhǔn)確的故障頻率及時(shí)變特征仍是一個(gè)一直在探討的問(wèn)題。文獻(xiàn)［17］采用了經(jīng)驗(yàn)小波變換（EWT）對(duì)軸承故障信號(hào)進(jìn)行分解，對(duì)提取得到的模態(tài)進(jìn)行Hilbert變換，得到Hilbert譜，該方法能夠表征故障信號(hào)的時(shí)頻特性，但是Hilbert變換會(huì)將兩信號(hào)的頻率差作為所求解的信號(hào)的頻率特征，因此得到的瞬時(shí)頻率和瞬時(shí)幅值會(huì)與實(shí)際信號(hào)有所偏差。文獻(xiàn)［18］采用譜峭度和同步提取變換方法應(yīng)用到變轉(zhuǎn)速的軸承故障診斷中，為變轉(zhuǎn)速軸承故障診斷提供了新思路，但是當(dāng)信號(hào)的瞬時(shí)頻率差過(guò)小時(shí)，傳統(tǒng)的同步提取變換方法［19］處理故障信號(hào)時(shí)易發(fā)生混疊，為解決上述問(wèn)題，本文提出了一種基于同步提取變換（SET）和經(jīng)驗(yàn)小波變換（EWT）［20］的滾動(dòng)軸承故障診斷方法，為了敘述方便，將該方法稱為EWT-SET方法，該方法結(jié)合了SET和EWT優(yōu)點(diǎn)，即高時(shí)頻聚集性與信號(hào)的有效分解。進(jìn)行了仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，同時(shí)與傳統(tǒng)的SET診斷方法進(jìn)行了對(duì)比研究，仿真結(jié)果驗(yàn)證了提出的EWT-SET的時(shí)頻結(jié)果相比傳統(tǒng)的SET有更清晰的瞬時(shí)頻率軌跡與更高的頻率分辨率，實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證表明，該方法能夠有效地提取故障軸承的故障頻率，同時(shí)也能清晰地表示故障信號(hào)的時(shí)變特性，可以有效用于分析滾動(dòng)軸承的損傷程度。

1 經(jīng)驗(yàn)小波變換-同步提取變換故障診斷方法

1.1 同步提取變換

同 步 提 取 變 換（SET）［19］是 短 時(shí) 傅 里 葉 變 換（STFT）的后處理過(guò)程，因此SET的理論推導(dǎo)先從STFT開(kāi)始，STFT定義式如下

式中s(u)為待分析的信號(hào)，g(u)為可移動(dòng)的窗函數(shù)。將一維的時(shí)間信號(hào)變換到了二維的時(shí)間和頻率域中，令gω(u)=g(u-t)?ejωu，根 據(jù)帕斯瓦爾定理對(duì)式（1）進(jìn)行變換，得到

式中S(ξ)與分別為s(u)與gω(u)的傅里葉變換，上標(biāo)*表示取復(fù)共軛，Gh(ω-ξ)為窗函數(shù)的傅里葉變換。為了表達(dá)方便，對(duì)STFT的時(shí)頻結(jié)果G(t，ω)添加相移ejωt，由于觀察到的時(shí)頻譜均為幅值譜，因此增加相移不會(huì)影響結(jié)果，令

取 一 個(gè) 單 分 量 信 號(hào)sh(t)=A?e-jω0t，它 的 傅 里葉變換為Sh(ξ)=2πA?δ(ω-ω0)，A表示振幅，ω0表示頻率，將信號(hào)sh(t)的傅里葉變換代入式（3）得到單分量信號(hào)的STFT表達(dá)

計(jì)算式（4）中Ge(t，ω)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)能夠得到STFT的瞬時(shí)頻率軌跡ω0(t，ω)為

若Ge(t，ω)不為零，式（5）對(duì)任何的(t，ω)都成立，STFT的瞬時(shí)頻率的系數(shù)應(yīng)該總是等于ω0，并且瞬時(shí)頻率軌跡ω0(t，ω)在時(shí)頻域中的表示為，在任意時(shí)間t下，頻率范圍[ω0-Δ，ω0+Δ]內(nèi)的數(shù)值恒為ω0（Δ表示窗函數(shù)的頻寬），因此STFT受窗函數(shù)頻寬的限制難以精確表示瞬時(shí)頻率軌跡。式（4）中，根據(jù)海森堡測(cè)不準(zhǔn)原理，為得到最佳的時(shí)間與頻率分辨率，選取窗函數(shù)為高斯窗，因此Gh(ω)是緊湊的，由于|ejω0t|=1，所以|Ge(t，ω)|在ω=ω0時(shí)取得最大值，并且能量最高，SET的目的便是提取ω0(t，ω)中ω=ω0時(shí)的瞬時(shí)頻率軌跡，以及時(shí)頻系數(shù)|Ge(t，ω0)|，從而使STFT的時(shí)頻表達(dá)逼近理想時(shí)頻分析。設(shè)SET的時(shí)頻表達(dá)為Te(t，ω)，定義如下表明，Te(t，ω)只保留STFT瞬時(shí)頻率軌跡ω0(t，ω)范圍內(nèi)，即[ω0-Δ，ω0+Δ]范圍內(nèi)中ω=ω0時(shí)的時(shí)頻系數(shù)，其余的時(shí)頻系數(shù)被移除，因此相比STFT會(huì)有更高的能量聚集度和頻率分辨率。稱δ(ωω0(t，ω))為同步提取算子（Synchroextracting Operator，SEO）。為了更準(zhǔn)確地表示SEO，求Ge(t，ω)對(duì)t的導(dǎo)數(shù)

將sh(t)寫為調(diào)幅-調(diào)頻（AM-FM）形式，sh(t)=A(t)?ejφ(t)，φ(t)表示相位，φ′(t)為頻率，由式（6）和（9）可以得到sh(t)的SET表達(dá)式

因此，信號(hào)sh(t)可由下式重構(gòu)

以上是SET處理單分量信號(hào)的過(guò)程，若對(duì)于多分 量 信 號(hào)表 示 各 分 量信號(hào)的相位，φ′k(t)表示頻率，SET的頻率分辨率由于受到窗函數(shù)頻寬Δ的限制，任意兩個(gè)分量必須滿足即 不同分量的瞬時(shí)頻率必須有一定的間隔SET才能有較好的結(jié)果，否則就會(huì)產(chǎn)生頻率混疊，時(shí)頻圖上看不到完整的瞬時(shí)頻率信息，而故障信號(hào)通常都是復(fù)雜的非平穩(wěn)信號(hào)，如果直接對(duì)故障信號(hào)進(jìn)行SET，時(shí)頻圖上關(guān)鍵的故障信息很有可能會(huì)被其他相鄰較近的頻率成分所覆蓋，從而造成誤判以及不可預(yù)知的后果，因此，本文提出結(jié)合EWT對(duì)SET進(jìn)行改進(jìn)。

1.2 經(jīng)驗(yàn)小波變換

在經(jīng)驗(yàn)小波變換（EWT）中，首先要對(duì)信號(hào)頻譜進(jìn)行自適應(yīng)的分割，將傅里葉譜[0，π]分割成N個(gè)連續(xù)的部分，設(shè)ωn表示相鄰兩個(gè)部分的邊界，定義ω0=0，ωN=π，其余N-1個(gè)邊界可以選擇為傅里葉譜相鄰局部各極大值的中點(diǎn)。每個(gè)部分表示為以 每 個(gè)ωn為 中心，定義帶寬Tn=2τn的濾波器過(guò)渡帶，經(jīng)驗(yàn)尺度函數(shù)和經(jīng)驗(yàn)小波函數(shù)定義如下：

式（12）和（13）實(shí)際上提供了低通濾波器和一系列帶通濾波器，對(duì)原信號(hào)進(jìn)行濾波后能得到各個(gè)信號(hào)分量。設(shè)待分解信號(hào)為f(t)，可以用類似經(jīng)典的小波變換方式來(lái)定義經(jīng)驗(yàn)小波變換，細(xì)節(jié)系數(shù)可由信號(hào)與經(jīng)驗(yàn)小波函數(shù)的卷積得到，逼近系數(shù)可由信號(hào)與尺度函數(shù)的卷積得到

F-1(?)表示傅里葉反變換分別由式（12）和（13）定義，分別是φ1(t)和ψn(t)的Fourier變換，信號(hào)f(t)的重建如下

f(t)各經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)fk(t)定義如下

EWT的關(guān)鍵在于對(duì)頻譜的自適應(yīng)劃分，對(duì)頻譜分割的合理性直接影響到對(duì)信號(hào)分解的效果，在頻譜分割前需要確定頻譜極大值的數(shù)量N，如果已知信號(hào)的頻譜特點(diǎn)，可預(yù)先給定合適的N進(jìn)行EWT，對(duì)于未知信號(hào)，Gilles在文獻(xiàn)［20］中提到了一種能夠自動(dòng)確定N的算法，設(shè)表示在頻譜上檢測(cè)到極大值的集合，數(shù)量為M，將這M個(gè)極大值降序排列后滿足M1＞M2＞…＞MM，定義閾值MM+α(M1-MM)，α∈(0，1)，只保留大于該閾值的極大值點(diǎn)，通過(guò)調(diào)整參數(shù)α能夠得到合適的N。若N取值過(guò)小，則不能對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行有效分解，N取得過(guò)大則會(huì)錯(cuò)誤地分割某些變頻信號(hào)的頻譜，因此N需要慎重選擇。為此，本文采用通過(guò)預(yù)先觀察待分析信號(hào)的頻譜的方法來(lái)確定合適的N，隨后將檢測(cè)到的極大值降序排列取前N個(gè)，在實(shí)際應(yīng)用中，若噪聲的頻譜幅值小于信號(hào)各頻率分量的幅值，所確定的N個(gè)極大值幾乎不會(huì)受到噪聲的影響。即使檢測(cè)到了因?yàn)樵肼暥a(chǎn)生的極大值，也可以只取前N個(gè)極大值來(lái)避免由噪聲產(chǎn)生的較小的極大值。

目前深基坑開(kāi)挖研究對(duì)圍護(hù)樁位移變化規(guī)律研究較多[6-9]，但對(duì)內(nèi)支撐軸力分析較少，且沒(méi)有明確的規(guī)律.所以本文就工程實(shí)例來(lái)主要研究深基坑內(nèi)支撐軸力變化進(jìn)行研究，為類似工程提供參考.

1.3 EWT-SET故障診斷方法

SET提取了STFT在信號(hào)瞬時(shí)頻率軌跡處的時(shí)頻參數(shù)，去除STFT多數(shù)發(fā)散的能量，因此SET的時(shí)頻結(jié)果具有能量集中，時(shí)頻分辨率高的特點(diǎn)，EWT能夠自適應(yīng)地將復(fù)雜信號(hào)有效分解成若干個(gè)帶寬有限的信號(hào)分量，能較好地提取信號(hào)的時(shí)變特性，本文所提方法結(jié)合了SET和EWT在時(shí)頻分析方面的優(yōu)點(diǎn)，提出的SET-EWT故障診斷方法具體步驟如下：

（1）利用EWT對(duì)軸承故障信號(hào)進(jìn)行分解，得到N個(gè)模態(tài)分量。

（2）對(duì)每個(gè)模態(tài)分量用SET進(jìn)行時(shí)頻分析，得到各個(gè)模態(tài)高能量集中的時(shí)頻分布與時(shí)變特征。

（3）將每一個(gè)模態(tài)的時(shí)頻結(jié)果疊加，得到故障信號(hào)的EWT-SET的時(shí)頻分布。

2 仿真研究

2.1 含相鄰的頻率成分的處理能力對(duì)比研究

這里，設(shè)計(jì)了兩個(gè)分量信號(hào)f1(t)=sin(2πf1t)與f2(t)=sin(2πf2t)，設(shè)f(t)為上述兩個(gè)不同頻率正弦波簡(jiǎn)單疊加構(gòu)成的，如下式所示

圖1 EWT-SET和傳統(tǒng)SET時(shí)頻圖Fig.1 Time-frequency diagram of EWT-SET and traditional SET

2.2 調(diào)幅調(diào)頻信號(hào)處理能力的對(duì)比研究

仿真信號(hào)f2（t）由正弦信號(hào)x1(t)和兩個(gè)調(diào)幅調(diào)頻信號(hào)x2(t)，x3(t)構(gòu)成，表達(dá)式如下

仿真信號(hào)f2（t）的時(shí)域波形與頻譜如圖2所示。利用EWT-SET和SET分別對(duì)f2（t）進(jìn)行時(shí)頻分析，得到的時(shí)頻分布如圖3（a）和（b）所示。在上述仿真信號(hào)的基礎(chǔ)加入噪聲，構(gòu)建信噪比為13 dB的仿真信 號(hào)，EWT-SET和SET的 結(jié) 果 如 圖3（c）和（d）所示。

圖2 仿真信號(hào)f2（t）的時(shí)域和頻域波形Fig.2 The time-domain and frequency-domain waveform of simulated signal

由圖3（a）可知，EWT-SET能夠清晰地表示信號(hào)的瞬時(shí)頻率軌跡，EWT通過(guò)自動(dòng)檢測(cè)信號(hào)頻譜局部極大值后自適應(yīng)分割頻譜，隨后再對(duì)EWT分解出的模態(tài)分量進(jìn)行SET。提出的EWT-SET方法在處理該信號(hào)的時(shí)候避免了因Δφ′(t)過(guò)小而得不到較好的結(jié)果。由圖3（b）可知，傳統(tǒng)的SET方法在0至2 s內(nèi)頻率混疊現(xiàn)象最嚴(yán)重，隨著分量x3(t)的瞬時(shí)頻率逐漸增加，分量x1(t)的頻率差增大，混疊現(xiàn)象就不再發(fā)生，分量x2(t)周期性與x1(t)產(chǎn)生頻 率 混 疊，對(duì) 比 圖3（c）和（d），在 加 入 噪 聲 后，EWT-SET仍能夠較好地分割頻譜，并較為清晰地表示出信號(hào)的瞬時(shí)頻率軌跡。而在圖3（d）中，SET的時(shí)頻結(jié)果依舊存在混疊情況。

圖3 EWT-SET和SET得到的時(shí)頻分布Fig.3 The time-frequency diagram of EWT-SET and SET

對(duì)于多分量的變頻信號(hào)，在每個(gè)分量的頻帶沒(méi)有重疊部分時(shí)，頻譜中可以確定分量的個(gè)數(shù)，假設(shè)每個(gè)分量的頻譜都存在一個(gè)幅值最大的頻率點(diǎn)，也是整個(gè)信號(hào)能夠檢測(cè)到的頻率極大值點(diǎn)，由于不同分量的頻帶沒(méi)有重疊，則通過(guò)選取頻率極大值點(diǎn)之間的頻譜幅值最小處所對(duì)應(yīng)的頻率點(diǎn)作為頻譜分割點(diǎn)，以便能夠有效地將各分量分離開(kāi)。

3 實(shí)驗(yàn)研究

為了進(jìn)一步驗(yàn)證EWT-SET算法的有效性，將提出的EWT-SET方法應(yīng)用到滾動(dòng)軸承的故障診斷中，并與傳統(tǒng)的SET進(jìn)行對(duì)比。軸承數(shù)據(jù)來(lái)源為凱斯西儲(chǔ)大學(xué)，軸承類型為深溝球軸承，規(guī)格如表1所示。軸承振動(dòng)信號(hào)由加速度傳感器采集，試驗(yàn)臺(tái)如圖4所示。采樣頻率12 kHz，轉(zhuǎn)速為1797 r/min，在軸承外圈分別用電火花加工直徑為0.1778與0.5334 mm的缺陷，用來(lái)模擬軸承的輕微與嚴(yán)重?fù)p傷。由于軸承發(fā)生故障時(shí)所測(cè)得的信號(hào)是調(diào)制信號(hào)，高頻率的共振頻率通常作為載波，調(diào)制波通常為低頻的沖擊信號(hào)，故障信息往往都包含在低頻的沖擊信號(hào)中，很大程度上會(huì)影響故障診斷，因此，需要對(duì)故障信號(hào)進(jìn)行Hilbert變換解調(diào)，原信號(hào)的時(shí)域波形與解調(diào)后的頻譜如圖5和6所示。

圖5 軸承外圈故障信號(hào)時(shí)域波形Fig.5 Time-domain diagram of fault signal of bearing outer ring

表1 軸承規(guī)格Tab.1 Bearing specifications

圖4 實(shí)驗(yàn)裝置結(jié)構(gòu)圖Fig.4 Experimental device structure diagram

經(jīng)過(guò)計(jì)算，軸承外圈故障頻率應(yīng)為107 Hz，由圖6（a）和（b）中均能看出故障頻率基頻，圖6（a）中的頻率成分較為明顯，而圖6（b）中出現(xiàn)了很多的頻率分量，僅從頻譜上難以看到故障頻率的倍頻，同時(shí)，圖6（a）和（b）中的頻譜也無(wú)法表示軸承外圈故障信號(hào)的時(shí)變特性。

根據(jù)頻譜分析，N的取值分別為13和9，如圖6所示。分別采用EWT-SET與傳統(tǒng)SET對(duì)不同損傷程度的外圈故障信號(hào)做時(shí)頻分析，得到的時(shí)頻分布 如 圖7所 示。其 中 圖7（a）和（c）為 利 用EWT-SET方法對(duì)兩種不同損傷程度進(jìn)行時(shí)頻分析得到的結(jié)果，圖7（b）和（d）為利用傳統(tǒng)SET方法對(duì)兩種不同損傷程度進(jìn)行處理得到的時(shí)頻分布。為了證明所提方法的優(yōu)越性，這里，給0.1778 mm損傷的軸承信號(hào)加入信噪比為10 dB的白噪聲，分別采用EWT-SET與傳統(tǒng)SET進(jìn)行分析，得到的時(shí)頻分布如圖7（e）和（f）所示。

軸承輕微損傷時(shí)，由圖7（a）可知，利用EWT-SET方法得到的時(shí)頻分布能夠看到一系列清晰的故障特征頻率和相應(yīng)的倍頻，且1X至9X持續(xù)存在，更高階的倍頻分量比較微弱，且呈周期性的激發(fā)。而在圖7（b）中，傳統(tǒng)的SET方法雖然也能夠看到故障頻率及倍頻，但是相比EWT-SET的結(jié)果，關(guān)鍵的故障頻率倍頻軌跡不夠清晰，并且在相鄰倍頻之間出現(xiàn)了額外的瞬時(shí)頻率軌跡，這個(gè)現(xiàn)象出現(xiàn)的原因正是仿真實(shí)驗(yàn)中圖1所表現(xiàn)的Δφ′(t)過(guò)小，而EWT-SET預(yù)先經(jīng)過(guò)圖6的頻譜分割，再進(jìn)行SET，得以清晰地表現(xiàn)故障頻率及其各個(gè)倍頻的時(shí)變特性，有效地診斷出故障。

圖6 故障信號(hào)解調(diào)后頻域波形（虛線表示EWT對(duì)頻譜分割的邊界）Fig.6 Frequency domain waveform after fault signal demodulation（The dotted line indicates the boundary of the EWT segmentation of the spectrum）

軸承出現(xiàn)嚴(yán)重故障時(shí)，由圖7（c）能夠看出，故障基頻與2X至9X均呈現(xiàn)周期性的激發(fā)，隨著倍頻階數(shù)增加，振幅逐漸微弱，而圖7（d）中SET的結(jié)果較為普遍的存在頻率混疊現(xiàn)象，雖然也能夠看出故障頻率的周期性激發(fā)，但是各倍頻的頻率軌跡十分模糊，尤其在400-800 Hz處，給故障診斷帶來(lái)困難。

圖7 軸承外圈故障的時(shí)頻分布Fig.7 Time-frequency distribution of bearing outer ring signal

對(duì)軸承故障信號(hào)加入噪聲時(shí)，EWT-SET的時(shí)頻結(jié)果中仍能觀察到清晰的故障頻率倍頻，隱約能觀察到高階倍頻分量的沖擊特性，SET的時(shí)頻結(jié)果頻率混疊情況加重，信號(hào)高階倍頻處的時(shí)頻結(jié)果幾乎被噪聲成分完全覆蓋。

通過(guò)上述分析，EWT-SET能夠準(zhǔn)確地表示軸承故障的時(shí)頻特性，得到的時(shí)頻結(jié)果清晰地反映了軸承外圈故障的關(guān)鍵信息。輕微損傷時(shí)，故障基頻和較低階的倍頻都持續(xù)穩(wěn)定存在，高階倍頻均呈現(xiàn)沖擊特性，而嚴(yán)重?fù)p傷時(shí)較低階的故障頻率倍頻甚至故障基頻也會(huì)出現(xiàn)沖擊特性，能夠作為軸承損傷嚴(yán)重程度判斷的依據(jù)，由此可見(jiàn)，EWT-SET方法為軸承故障診斷提供了一種有效的診斷方法。

4 結(jié)論

提出了一種基于同步提取變換（SET）與經(jīng)驗(yàn)小波變換（EWT）的軸承故障診斷方法，即EWT-SET方法。該方法首先通過(guò)EWT對(duì)故障信號(hào)的頻譜進(jìn)行自適應(yīng)分割，構(gòu)造正交小波濾波器提取故障信號(hào)頻譜的主要頻率分量，在經(jīng)過(guò)小波逆變換得到各經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)，隨后對(duì)每個(gè)模態(tài)進(jìn)行同步提取變換，以時(shí)頻譜的形式表示各模態(tài)的瞬時(shí)頻率軌跡和瞬時(shí)幅值，最后將所有模態(tài)的時(shí)頻譜疊加得到故障信號(hào)的時(shí)頻分布，提出的方法預(yù)先通過(guò)EWT對(duì)信號(hào)進(jìn)行模態(tài)分解，再對(duì)每個(gè)模態(tài)進(jìn)行SET，在很大程度上解決了信號(hào)瞬時(shí)頻率分量距離過(guò)小導(dǎo)致SET的結(jié)果出現(xiàn)瞬時(shí)頻率混疊的問(wèn)題。最后，將所提方法成功應(yīng)用到了滾動(dòng)軸承故障診斷中，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，相比傳統(tǒng)SET方法，EWT-SET具有明顯的優(yōu)勢(shì)，利用EWT-SET方法能揭示軸承不同損傷程度時(shí)的振動(dòng)特性，可以作為軸承損傷程度判斷的依據(jù)。