基于設(shè)計(jì)參數(shù)靈敏度分析的模型修正方法研究

張開銀 許 燦 張 斌 方來文

(武漢理工大學(xué)交通與物流工程學(xué)院1) 武漢 430063) (中建三局國際工程公司2) 武漢 430071)

0 引 言

對于橋梁結(jié)構(gòu)而言，一方面橋梁在運(yùn)營過程中會出現(xiàn)構(gòu)件的性能退化，截面破壞等因素偏離設(shè)計(jì)參數(shù)(如截面尺寸、密度、彈性模量等)；另一方面，在建模過程中難免存在一些理想化或簡單化的構(gòu)件模擬(如對單元的離散程度與邊界條件進(jìn)行簡化處理)，二者都會導(dǎo)致有限元模型與實(shí)際結(jié)構(gòu)的差異.因此，為了使有限元模型與實(shí)橋結(jié)構(gòu)的響應(yīng)一致，對有限元模型進(jìn)行準(zhǔn)確的修正顯得尤為重要[1-3].

目前，國內(nèi)外眾多學(xué)者對橋梁結(jié)構(gòu)有限元模型修正方法進(jìn)行過大量的理論分析與試驗(yàn)研究[4-5]，并對其研究方法進(jìn)行系統(tǒng)性分類，根據(jù)優(yōu)化方法的不同，分為子結(jié)構(gòu)模型修正法、代理模型修正法、隨機(jī)類模型修正法.依據(jù)實(shí)測信息的來源，分為基于靜力的模型修正方法、基于動(dòng)力的有限元模型修正方法、基于靜動(dòng)力的有限元模型修正方法.按照修正對象不同，分為設(shè)計(jì)參數(shù)型修正方法、矩陣型修正方法與響應(yīng)面法.其中以靈敏度法為基礎(chǔ)的有限元模型修正技術(shù)得到了廣泛的應(yīng)用，文獻(xiàn)[6]對基于靈敏度的有限元模型修正方法進(jìn)行了系統(tǒng)、全面的討論，成功應(yīng)用到Lynx直升機(jī)機(jī)身的有限元模型中.文獻(xiàn)[7]根據(jù)橋梁現(xiàn)場實(shí)測的模態(tài)數(shù)據(jù)，運(yùn)用基于靈敏度的有限元模型修正方法對一懸索橋進(jìn)行了修正，修正后精度滿足要求.文獻(xiàn)[8]通過攝動(dòng)待修正參數(shù)模擬試驗(yàn)數(shù)據(jù)，運(yùn)用靈敏度分析技術(shù)對某抗震橋梁進(jìn)行了準(zhǔn)確的修正.一系列基于靈敏度分析的模型修正法表明其具有重大的理論與工程實(shí)踐意義，值得推廣與進(jìn)一步研究.

文中提出一種將靈敏度分析與設(shè)計(jì)參數(shù)法相結(jié)合的有限元模型修正方法，以懸臂梁結(jié)構(gòu)為例建立有限元模型模擬修正過程.以實(shí)測的固有頻率為基準(zhǔn)，通過比較有限元模型計(jì)算的固有頻率與實(shí)測頻率之間的相對誤差大小，并對其進(jìn)行靈敏度分析，找出對結(jié)構(gòu)固有頻率誤差影響較大的設(shè)計(jì)參數(shù)，通過設(shè)計(jì)參數(shù)修正法確定其修正量，對初始有限元模型進(jìn)行準(zhǔn)確修正.

1 模型修正基本理論

任何結(jié)構(gòu)都是由剛度、質(zhì)量、阻尼三個(gè)物理特性組成的系統(tǒng)，則可建立結(jié)構(gòu)振動(dòng)微分方程

(1)

(2)

設(shè)上述方程的解的形式為

y=Ysin(fit+α)

(3)

代入式(2):消去公因子sin(fit+α)，即得

(4)

上述是位移幅值的齊次方程，為了得到Y(jié)的非零解，應(yīng)使系數(shù)行列式為0，即

(5)

(6)

式(6)與式(5)的解可以展開為一個(gè)一元高次方程，在有限元模型中，結(jié)構(gòu)的固有頻率和固有振型與它的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣有關(guān).結(jié)構(gòu)有限元模型修正步驟見圖1.

圖1 結(jié)構(gòu)有限元模型修正的基本步驟

2 設(shè)計(jì)參數(shù)靈敏度分步修正

2.1 靈敏度分析

(7)

對式(7)左乘YiT

(8)

對式(4)進(jìn)行轉(zhuǎn)置：

(9)

根據(jù)模態(tài)振型的正交性

YiTMYi=1

(10)

YiTKYi=1

(11)

將式(9)～(10)與式(11)代入式(8)中，則待修正參數(shù)p對結(jié)構(gòu)第i階固有頻率的靈敏度為

(12)

式(12)即為結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)參數(shù)p對結(jié)構(gòu)第i階固有頻率的靈敏度計(jì)算方法，經(jīng)過靈敏度分析，找出對結(jié)構(gòu)固有頻率靈敏度影響較大的設(shè)計(jì)參數(shù)，再對其進(jìn)行排序并依次對結(jié)構(gòu)的有限元模型進(jìn)行合理的修正.但是如何確定修正量，這就涉及到設(shè)計(jì)參數(shù)法了.

2.2 設(shè)計(jì)參數(shù)法

設(shè)計(jì)參數(shù)修正法是根據(jù)結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)參數(shù)(如面積、高度，以及彈性模量、密度、泊松比等)對結(jié)構(gòu)進(jìn)行一定的修改，從而使得修正后結(jié)構(gòu)的靜動(dòng)力特性更加接近結(jié)構(gòu)的真實(shí)值.對于梁式結(jié)構(gòu)，建立由n個(gè)自由度組成的有限元模型，其中質(zhì)量矩陣為M，剛度矩陣為K，結(jié)構(gòu)第i階固有頻率為fie，結(jié)構(gòu)第i階固有振型為Yie.設(shè)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)經(jīng)過修正后的第i階固有頻率為fia,結(jié)構(gòu)第i階固有振型為Yia.

為了得到結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)的修正量，將修正后模型的固有頻率fia作為這些參數(shù)的目標(biāo)函數(shù)，在其初始值p處按照泰勒公式展開.

(13)

(14)

式中：Δp為結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)的修改量，對于實(shí)際工程結(jié)構(gòu)，只需要考慮參數(shù)的微小變化，可以忽略高階的影響，僅考慮一階泰勒展開對式(13)與式(14)得

(15)

式中：pj為第j個(gè)欲修改的參數(shù)，要使得修正后的有限元模型的固有頻率fia與實(shí)測結(jié)構(gòu)的固有頻率fie一致，則必須保證兩者之間誤差最小.將式(15)變形得

(16)

即設(shè)計(jì)參數(shù)得修改量為

(17)

對以上方程進(jìn)行線性求解即可得到結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)Δp的具體修改量，再加上初始值即可得到修改后的設(shè)計(jì)參數(shù).選定的待修正參數(shù)必須對結(jié)構(gòu)的固有頻率反應(yīng)敏感，且便于修正.結(jié)構(gòu)固有頻率與參數(shù)之間靈敏度的關(guān)系復(fù)雜，不僅同一階次頻率對不同參數(shù)的靈敏度存在差異，不同階次頻率對同一參數(shù)的靈敏度同樣存在差異.因此，需要對設(shè)計(jì)參數(shù)的靈敏度進(jìn)行排序，剔除靈敏度低的參數(shù)，將靈敏度高的參數(shù)保留作為待修正參數(shù).圖2為待修正參數(shù)的選擇過程.

圖2 待修正參數(shù)的選擇過程

2.3 相關(guān)性分析

目前基于動(dòng)力的相關(guān)性分析一般都利用結(jié)構(gòu)的實(shí)測頻率和計(jì)算頻率做相關(guān)性分析，采用的相關(guān)性計(jì)算公式見式(7).誤差精度為

(18)

式中：ωie為計(jì)算自振頻率；ωia為測試自振頻率；i為結(jié)構(gòu)對應(yīng)階次；p為相應(yīng)的設(shè)計(jì)參數(shù).對于工程而言，要求-5%≤ε≤5%，ε絕對值越小，說明修正效果越好.

3 數(shù)值模擬

3.1 初始模型的建立

現(xiàn)以一懸臂梁為基本模型，選用其固有頻率作為目標(biāo)模態(tài)，模擬靈敏度法修正結(jié)構(gòu)模型誤差的過程.懸臂梁的參數(shù)如下：全長l=1.8 m，截面寬度b=60 mm，高度h=10 mm，彈性模量E=206 GPa，密度ρ=7.85×10-6kg/mm3.將懸臂梁結(jié)構(gòu)的有限元模型分為30個(gè)單元，每個(gè)單元長度60 mm.

根據(jù)結(jié)構(gòu)材料與剛度之間的關(guān)系，通過折減彈性模量的方式模擬單元發(fā)生裂縫損傷的工況.將實(shí)際結(jié)構(gòu)的運(yùn)營狀況預(yù)設(shè)為以下兩種工況(假設(shè)為實(shí)測頻率).

工況1 結(jié)構(gòu)在單元3、10、17、24處材料的彈性模量依次減少10%、30%、50%、70%，其他參數(shù)保持不變.

工況2 結(jié)構(gòu)在單元2、7、12、17、22、27處材料的彈性模量依次減少10%、20%、30%、40%、50%、60%，其他參數(shù)保持不變.

3.2 有限元結(jié)果分析

將懸臂梁結(jié)構(gòu)的原始參數(shù)建立有限元模型作為初始模型，工況1、工況2作為懸臂梁的實(shí)測響應(yīng).實(shí)測頻率與初始模型前10階固有頻率的相對誤差見表1.

表1 有限元模型固有頻率與結(jié)構(gòu)實(shí)測頻率(模擬假設(shè))

3.3 靈敏度分析

對于復(fù)雜結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)參數(shù)較多，包含截面尺寸、彈性模量、密度以及邊界條件等.不同的參數(shù)類型的量綱和量級對目標(biāo)參數(shù)的影響都不同，現(xiàn)以固有頻率對設(shè)計(jì)參數(shù)的靈敏度為例，說明不同量綱和量級對固有頻率靈敏度的影響.

表2 不同設(shè)計(jì)參數(shù)初始值及靈敏度比較

由表2可知，不同類型的設(shè)計(jì)參數(shù)靈敏度結(jié)果分析的量綱不同，當(dāng)設(shè)計(jì)參數(shù)的微小變化(如同等單位改變量的密度和彈性模量)不足引起梁結(jié)構(gòu)發(fā)生較大的變化.因此當(dāng)設(shè)計(jì)參數(shù)的量綱和量級不統(tǒng)一時(shí)，各設(shè)計(jì)參數(shù)的靈敏度不具有可比性，難以難以判斷設(shè)計(jì)參數(shù)的靈敏度程度，同時(shí)也不利于設(shè)計(jì)參數(shù)的取值.

為解決設(shè)計(jì)參數(shù)的靈敏度量綱與量級之間的差異，現(xiàn)利用固有頻率變化比ε與設(shè)計(jì)參數(shù)變化比P代替中的?fi、P.則靈敏度的表達(dá)式為

(19)

式(18)中固有頻率的變化率ε與固有頻率、設(shè)計(jì)參數(shù)的變化率P與設(shè)計(jì)參數(shù)本身具有相同的性質(zhì)，從而結(jié)構(gòu)固有頻率關(guān)于設(shè)計(jì)參數(shù)的靈敏度量綱得以統(tǒng)一.即各參數(shù)在微小變化P下，引起的固有頻率變化不會因?yàn)樵O(shè)計(jì)參數(shù)的量綱與量級而產(chǎn)生誤差.

3.4 設(shè)計(jì)參數(shù)修正

由式(12)對懸臂梁結(jié)構(gòu)有限元模型各參數(shù)進(jìn)行分析，得出對該懸臂梁結(jié)構(gòu)的固有頻率較為敏感的參數(shù)主要有：材料參數(shù)(密度ρ，彈性模量E)，尺寸參數(shù)(截面寬度b、高度h).選取彈性模量和密度作為結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計(jì)變量，根據(jù)式(19)(假設(shè)上限為10%)，通過midas Civil有限元軟件計(jì)算出密度的靈敏度值為-0.541(隨著密度的增大，固有頻率減小)，彈性模量的改變量為0.514(彈性模量的增加，固有頻率變大).

在對設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行修正時(shí)，若修改參數(shù)過少，必然會造成該修改參數(shù)的修改量過大，這往往與實(shí)際不相符合.且結(jié)構(gòu)固有頻率往往是由于多個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)相互影響而造成，因此應(yīng)該首先選擇靈敏度值較大的密度作為修正參數(shù)對結(jié)構(gòu)的初始有限元模型進(jìn)行修正，再對彈性模量依次進(jìn)行迭代修正，直至模型的固有頻率誤差在合理范圍.密度與彈性模量修正量與結(jié)果分別見表3～7.

表3 工況一懸臂梁模型密度、彈性模量單獨(dú)迭代修正結(jié)果

表4 工況二懸臂梁模型密度、彈性模量單獨(dú)迭代修正結(jié)果

表5 懸臂梁模型密度、彈性模量同時(shí)迭代修正結(jié)果

表6 懸臂梁模型密度、彈性模量單獨(dú)迭代修正變化量

表7 懸臂梁模型密度、彈性模量迭代修正變化量

對懸臂梁結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)(密度與彈性模量)的修正結(jié)果表明：

1) 在統(tǒng)一結(jié)構(gòu)固有頻率對設(shè)計(jì)參數(shù)的靈敏度量綱后，選取密度與彈性模量作為修改量，使得修改后懸臂梁的計(jì)算固有頻率與實(shí)測頻率十分相近，從而驗(yàn)證了靈敏度設(shè)計(jì)參數(shù)法的正確性.

2) 將密度與彈性模量同時(shí)對懸臂梁分步迭代的修正方法，相比單獨(dú)迭代修正法，修改量更小，修正精度更高.

4 結(jié) 論

1) 當(dāng)結(jié)構(gòu)初始建立的有限元模型所得到的靜動(dòng)力學(xué)響應(yīng)與結(jié)構(gòu)的實(shí)測的靜動(dòng)力學(xué)響應(yīng)相差較大時(shí)，將設(shè)計(jì)參數(shù)法與靈敏度分析法相結(jié)合起來，能快速、高效的對結(jié)構(gòu)有限元模型精準(zhǔn)修正，從而為橋梁健康監(jiān)測與損傷識別提供良好依據(jù).

2) 在采用設(shè)計(jì)參數(shù)靈敏度法時(shí)，設(shè)計(jì)參數(shù)的量綱與量級不同會到影響模型修正的效果.將靈敏度統(tǒng)一量綱后，能減小結(jié)構(gòu)目標(biāo)模態(tài)的修正誤差.

3) 結(jié)構(gòu)的目標(biāo)模態(tài)往往受多個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)的影響，在進(jìn)行模型修正時(shí)，若選取修正參數(shù)數(shù)量過少，會導(dǎo)致參數(shù)修正量過大且修正精度偏低，應(yīng)選取多個(gè)參數(shù)進(jìn)行迭代求解.