空化泡表面附近馬蘭戈尼力的數(shù)值模擬研究

王小伍，李雙君，虎驍

(華南理工大學(xué)物理學(xué)院，廣州 510640)

由于表面張力與溫度有關(guān)，當(dāng)表面溫度不一致時(shí)，將在表面上產(chǎn)生熱毛細(xì)力，受這個(gè)切向應(yīng)力作用，液體形成馬蘭戈尼(Maragoni)對(duì)流或熱毛細(xì)對(duì)流。在薄膜噴涂[1]、液滴蒸發(fā)[2]和熔體單晶生長(zhǎng)[3]等領(lǐng)域中，馬蘭戈尼對(duì)流或熱毛細(xì)對(duì)流起到重要作用。

一般液體的表面張力都隨溫度升高而降低，因此溫度高的地方表面張力相對(duì)較小，該處的流體就會(huì)向溫度低的地方流動(dòng)。在一些換熱設(shè)備中，工質(zhì)需要由溫度較低處流回溫度較高處，以實(shí)現(xiàn)工質(zhì)的循環(huán)，如果以一般液體為工質(zhì)，馬蘭戈尼對(duì)流使得液體由溫度較高處流回溫度較低處，此時(shí)馬蘭戈尼對(duì)流將不利于換熱。一些醇類(lèi)水溶液表面張力與溫度的關(guān)系與一般液體不同，在一定濃度和溫度范圍內(nèi)，其表面張力隨溫度升高而增大[4]，從而將形成由溫度較低處到溫度較高處的馬蘭戈尼對(duì)流，這種對(duì)流與換熱設(shè)備要求的液體循環(huán)方向一致，能增強(qiáng)換熱設(shè)備的傳熱性能。

在超聲波作用下，當(dāng)液體局部壓力低于某一臨界壓力時(shí)，液體內(nèi)部或液固界面處產(chǎn)生空化泡，在超聲場(chǎng)和熱動(dòng)力聯(lián)合作用下，空化泡將經(jīng)歷膨脹、收縮和崩潰。本文研究了超聲波在2.5%的正戊醇水溶液和純水中產(chǎn)生的空化泡的氣液界面附近的馬蘭戈尼力，以期為進(jìn)一步研究超聲波強(qiáng)化傳熱提供參考。

1 物理數(shù)學(xué)模型

根據(jù)陳淑玲等[4]的實(shí)驗(yàn)研究，在一定溫度范圍內(nèi)，2.5%的正戊醇水溶液的表面張力隨溫度增加而增大的現(xiàn)象較為明顯，由最小二乘法擬合得到的2.5%的正戊醇水溶液的表面張力σ與溫度T的關(guān)系為：

σ=[0.016 7×(T-273)2-1.268(T-273)+48.714)]×10-3

(1)

如圖1(a)所示，簡(jiǎn)化后的空化泡模型為附著在固體表面的一球冠狀氣泡，在超聲波的作用下氣泡半徑r隨時(shí)間發(fā)生變化。假設(shè)：1)空化泡球心固定并保持以球心對(duì)稱(chēng)；2)液體不可壓縮；3)忽略重力作用和擴(kuò)散作用；4)泡內(nèi)氣體為理想氣體；5)除了表面張力，空化泡外的液體和空化泡內(nèi)的氣體的物理特性均為常數(shù)。如圖1(b)所示，空化泡壁附近存在一厚度為δ的熱邊界層，空化泡內(nèi)氣體通過(guò)熱邊界層與周?chē)后w進(jìn)行熱量交換。

圖1 空化泡物理模型

空化泡邊界方程：

x2+y2+z2=r(t)2z>h

(2)

式(2)中，h為球心到達(dá)空化泡附著固體面的距離。r(t)為某時(shí)刻空化泡半徑，滿(mǎn)足方程：

(3)

式(3)中，ρl、ρv分別為液體、空化泡內(nèi)氣體的密度；c為液體中的聲速；pwall及pfar分別為空化泡壁外側(cè)及遠(yuǎn)處液體中的壓強(qiáng)，pwall滿(mǎn)足方程：

(4)

式(4)中，r0為空化泡初始半徑；γ為空化泡內(nèi)氣體的絕熱指數(shù)；μ為粘滯系數(shù)；pv為空化泡內(nèi)的蒸汽壓。若將空化泡內(nèi)氣體視為理想氣體，pv可以根據(jù)理想氣體狀態(tài)方程近似求得。

(5)

(6)

熱邊界層內(nèi)與球心距離為r'處某點(diǎn)的溫度Tδ為：

(7)

式(7)中，Twall、Tfar分別為空化泡壁和遠(yuǎn)處液體的溫度?？栈荼跍囟葹椋?/p>

(8)

式(8)中，kl、kg分別為液體和空化泡內(nèi)氣體的導(dǎo)熱系數(shù)；Tc為空化泡中心的溫度，將空化泡的膨脹、壓縮視為理想氣體絕熱過(guò)程，Tc可以根據(jù)理想氣體絕熱過(guò)程方程算得。

空化泡內(nèi)與球心距離為r'的某點(diǎn)的溫度Tr為：

(9)

計(jì)算中用到的相關(guān)參數(shù)取值為：Tfar=353 K，ρl=1 000 kg/m3，ρv=1.205 kg/m3，pv=3.169×103MPa，c=1 483m/s，pfar=1.013×105Pa，μ=1.022×104kg·s/m3，超聲波聲壓p=-pmsin2πft，pm取為0.5 MPa，f為超聲波頻率，本文取為20 kHz。

2 結(jié)果與討論

空化泡半徑隨時(shí)間的變化如圖2所示，從圖2中可以看出，一開(kāi)始空化泡半徑隨時(shí)間增大，達(dá)到峰值以后急速減小。當(dāng)t為9.9×10-6s時(shí)，空化泡處于膨脹狀態(tài)，空化泡內(nèi)溫度低于遠(yuǎn)處液體溫度；當(dāng)t為23.6×10-6s時(shí)，空化泡處于壓縮狀態(tài)，空化泡內(nèi)溫度高于遠(yuǎn)處液體溫度。

圖2 空化泡半徑隨時(shí)間的變化

圖3為t=9.9×10-6s時(shí)熱邊界層和空化泡內(nèi)的溫度分布。從圖3可見(jiàn)，隨著與球心距離的增加，邊界層內(nèi)溫度增加，溫度梯度值減小，在接近外部正戊醇水溶液時(shí)趨近于遠(yuǎn)處液體溫度。隨著與球心距離的增加，空化泡內(nèi)溫度增加，溫度梯度值變大。

圖3 時(shí)間為9.9×10-6 s時(shí)熱邊界層和空化泡內(nèi)溫度分布

圖4為t=23.6×10-6s時(shí)熱邊界層和空化泡內(nèi)的溫度分布。從圖4可見(jiàn)，隨著與球心距離的增加，邊界層內(nèi)溫度減小，溫度梯度值減小，在接近外部正戊醇水溶液時(shí)趨近于遠(yuǎn)處液體溫度。隨著與球心距離的增加，空化泡內(nèi)溫度減小，溫度梯度值變大。

圖4 時(shí)間為23.6×10-6 s時(shí)熱邊界層和空化泡內(nèi)的溫度分布

圖5為t=9.9×10-6s時(shí)2.5%的正戊醇水溶液中的空化泡壁面附近的馬蘭戈尼力。從圖5可見(jiàn)，空化泡壁面附近沿X軸和沿Y軸方向的馬蘭戈尼力呈馬鞍狀分布，除x>0且y>0區(qū)域的部分位置外，馬蘭戈尼力的方向均指向坐標(biāo)軸正軸；等高線(xiàn)呈拋物線(xiàn)狀，沿X軸方向的馬蘭戈尼力的等高線(xiàn)開(kāi)口向X軸正方向，沿Y軸方向的馬蘭戈尼力的等高線(xiàn)開(kāi)口向Y軸正方向?？栈荼诿娓浇豘軸方向的馬蘭戈尼力呈勺狀分布，以y=x平面對(duì)稱(chēng)，y>0且x>0區(qū)域的馬蘭戈尼力小于y<0且x<0區(qū)域的，大部分區(qū)域的力的方向指向Z軸正軸，部分y>0且x>0區(qū)域的力的方向指向坐標(biāo)軸負(fù)軸，部分等高線(xiàn)為閉合曲線(xiàn)。由矢量圖可知，大部分區(qū)域的馬蘭戈尼力的方向指向空化泡外側(cè)。

圖5 時(shí)間為9.9×10-6 s時(shí)2.5%的水溶液中的空化泡壁面附近的馬蘭戈尼力

圖6(a)給出的是t=9.9×10-6s時(shí)，純水中的空化泡壁面附近的馬蘭戈尼力。從圖6可見(jiàn)，空化泡壁面附近沿X軸和沿Y軸方向的馬蘭戈尼力呈馬鞍狀分布，除x>0且y>0的部分位置外，馬蘭戈尼力的方向均指向坐標(biāo)軸負(fù)軸；等高線(xiàn)呈拋物線(xiàn)狀，沿X軸方向的馬蘭戈尼力的等高線(xiàn)開(kāi)口向X軸正方向，沿Y軸方向的馬蘭戈尼力的等高線(xiàn)開(kāi)口向Y軸正方向?？栈荼诿娓浇豘軸方向的馬蘭戈尼力呈倒置的勺狀分布，勺把向Z軸正反向翻轉(zhuǎn)，以y=x平面對(duì)稱(chēng)，部分y>0且x>0位置的馬蘭戈尼力指向Z軸正軸，其它區(qū)域的馬蘭戈尼力均指向Z軸負(fù)軸，部分等高線(xiàn)為閉合曲線(xiàn)。由矢量圖可知，大部分區(qū)域的馬蘭戈尼力的方向指向空化泡內(nèi)側(cè)。

圖6 時(shí)間為9.9×10-6 s時(shí)純水中的空化泡壁面附近的馬蘭戈尼力

對(duì)比圖5和圖6可見(jiàn)，2.5%的正戊醇水溶液中的空化泡壁面附近的馬蘭戈尼力要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于純水中的馬蘭戈尼力，因此，2.5%的正戊醇水溶液中由馬蘭戈尼力引起的對(duì)流強(qiáng)度也將較大。此外，由于2.5%的正戊醇水溶液中的表面張力對(duì)溫度的相關(guān)特性與純水中的不同，兩種液體中沿X、Y以及Z軸方向的馬蘭戈尼力的方向相反，因此由馬蘭戈尼力引起的對(duì)流方向也將不同。由于t=9.9×10-6s時(shí)，空化泡正處于膨脹期，熱邊界層內(nèi)溫度沿徑向增加，2.5%的正戊醇水溶液中的馬蘭戈尼力指向空化泡外側(cè)，由此引起的馬蘭戈尼對(duì)流有利于空化泡膨脹以及熱量傳遞。

圖7 為t=23.6×10-6s時(shí)2.5%的正戊醇水溶液中的空化泡壁面附近的馬蘭戈尼力。從圖7可見(jiàn)，空化泡壁面附近沿X軸和沿Y軸方向的馬蘭戈尼力仍舊呈馬鞍狀分布，方向均指向坐標(biāo)軸正軸。在y<0區(qū)域，沿X軸方向的馬蘭戈尼力的等高線(xiàn)呈拋物線(xiàn)狀，開(kāi)口指向X軸正方向；在y>0區(qū)域，沿X軸方向的馬蘭戈尼力的等高線(xiàn)為不相交的曲線(xiàn)。在x<0區(qū)域，沿Y軸方向的馬蘭戈尼力的等高線(xiàn)呈拋物線(xiàn)狀，開(kāi)口指向Y軸正方向；在x>0區(qū)域，沿Y軸方向的馬蘭戈尼力的等高線(xiàn)為不相交的曲線(xiàn)?？栈荼诿娓浇豘軸方向的馬蘭戈尼力呈倒置的勺狀分布，以y=x平面對(duì)稱(chēng)，y<0且x<0區(qū)域的力的方向指向Z軸正軸，部分y>0且x>0區(qū)域的力的方向指向Z軸負(fù)軸。由馬蘭戈尼力的矢量圖可知，部分位置的馬蘭戈尼力的方向指向空化泡內(nèi)側(cè)。

圖7 時(shí)間為23.6×10-6 s時(shí) 2.5%正戊醇水溶液中的空化泡附近的馬蘭戈尼力

對(duì)比圖5和圖7可以發(fā)現(xiàn)，在t=9.9×10-6s、t=23.6×10-6s時(shí)，雖然2.5%的正戊醇水溶液中的沿X與Y軸方向的馬蘭戈尼力分布輪廓均呈現(xiàn)馬鞍狀，沿Z軸方向的馬蘭戈尼力分布輪廓均呈倒置的勺狀，但對(duì)應(yīng)t=23.6×10-6s時(shí)的馬鞍平坦，勺把也沒(méi)有反向翻轉(zhuǎn)，這是由于在t=23.6×10-6s時(shí)，空化泡迅速收縮，邊界層厚度較大，溫度梯度值較小，因此，t=23.6×10-6s時(shí)的馬蘭戈尼力要遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于t=9.9×10-6s時(shí)的馬蘭戈尼力，由此產(chǎn)生的馬蘭戈尼對(duì)流強(qiáng)度也將小于膨脹時(shí)的對(duì)流強(qiáng)度。此外，t=23.6×10-6s時(shí)，沿Z軸負(fù)方向的馬蘭戈尼力對(duì)應(yīng)的區(qū)域增加，即指向空化泡內(nèi)側(cè)的馬蘭戈尼力對(duì)應(yīng)的區(qū)域增加，由于此時(shí)空化泡處于壓縮期，指向空化泡內(nèi)側(cè)的馬蘭戈尼力有利于空化泡壓縮以及熱量傳遞。

3 結(jié)語(yǔ)

正戊醇水溶液表面張力隨溫度的變化關(guān)系與純水不同，本文研究了超聲波在2.5%的正戊醇水溶液中產(chǎn)生的空化泡的氣液界面附近的馬蘭戈尼力，并與純水中的空化泡的氣液界面附近的馬蘭戈尼力進(jìn)行了比較。主要結(jié)論如下：

(1)空化泡膨脹時(shí)，2.5%的正戊醇水溶液和純水中的空化泡壁面附近的馬蘭戈尼力的分布輪廓相似，但方向相反，2.5%的正戊醇水溶液中的空化泡壁面附近大部分區(qū)域的馬蘭戈尼力指向空化泡外側(cè)。此外，2.5%的正戊醇水溶液中的馬蘭戈尼力要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于純水中的馬蘭戈尼力，由馬蘭戈尼力引起的對(duì)流強(qiáng)度也將較大，有利于空化泡膨脹以及熱量傳遞。

(2)空化泡收縮時(shí)，相比膨脹時(shí)，2.5%的正戊醇水溶液中的空化泡壁面附近更多的區(qū)域的馬蘭戈尼力的方向指向空化泡內(nèi)側(cè)。由于空化泡收縮時(shí)，熱邊界層厚度較大，溫度梯度值較小，因此，2.5%的正戊醇水溶液中空化泡受到的馬蘭戈尼力小于其在膨脹時(shí)受到的馬蘭戈尼力，由此產(chǎn)生的馬蘭戈尼對(duì)流強(qiáng)度也將小于空化泡膨脹時(shí)的馬蘭戈尼對(duì)流強(qiáng)度。