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——談新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的幾點(diǎn)思考

深圳高級中學(xué)(集團(tuán))東校區(qū)(518118)張培蘭

新高考試行以來,山東海南先行,新八省聯(lián)考緊跟其后,為我們復(fù)習(xí)備考提供了一些新的方向和啟發(fā).

一、新高考及新八省適應(yīng)性考試試卷分析

1.基于核心素養(yǎng)的命題原則,突出理性思維,考察關(guān)鍵能力

縱觀2020 新高考試題和八省模擬演練數(shù)學(xué)試題,可以發(fā)現(xiàn)兩大特點(diǎn).一是圍繞數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),突出數(shù)學(xué)通性通法,淡化解題技巧,關(guān)注數(shù)學(xué)的本源性問題,關(guān)注蘊(yùn)含數(shù)學(xué)概念和思想方法的有意義問題.二是試題均體現(xiàn)了秉承素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重的原則下,突出考查學(xué)生的理性思維和探究能力,彰顯了綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法、發(fā)展“四能”的意識.將數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力與理性思維、數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)文化等學(xué)科素養(yǎng)統(tǒng)一在理性思維的主線上,在數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)探究等方面突出體現(xiàn)了理性思維和探究能力等關(guān)鍵能力的考察.

2.結(jié)構(gòu)創(chuàng)新,力爭打破形式套路

結(jié)構(gòu)形式上有所創(chuàng)新,從12 道單選題變?yōu)? 道單選題和4 道多選題,多選題又從漏選得3 分變?yōu)榈? 分;出現(xiàn)了邏輯題、數(shù)據(jù)分析題;填空出現(xiàn)雙空題、開放性試題、舉例題;閱讀材料題、數(shù)學(xué)文化題可能出現(xiàn)在選擇題,填空題甚至解答題.通過調(diào)整試卷結(jié)構(gòu),打破固有模式,探索試題排序方式和考核方法,努力打破原來復(fù)習(xí)備考中題海戰(zhàn)術(shù)和套路訓(xùn)練的影響.此外,不僅在結(jié)構(gòu)形式上創(chuàng)新,在內(nèi)容、解法及結(jié)論上均有可能創(chuàng)新.

3.試題創(chuàng)新基于問題情境和數(shù)學(xué)文化背景

近兩年的數(shù)學(xué)高考題文字量增多,閱讀量大大提升,有點(diǎn)像“考語文”.這體現(xiàn)了課標(biāo)在命題建議中提出的: 命題時,應(yīng)有一定數(shù)量的應(yīng)用問題,還應(yīng)包括開放性問題和探究性問題,重點(diǎn)考察學(xué)生的思維過程、實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識,問題情境的設(shè)計(jì)要合理.[1]在命題中,選擇合適的問題情境是考察數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要載體,情境包括現(xiàn)實(shí)情境、數(shù)學(xué)情境和科學(xué)情境.情境可以來自于現(xiàn)實(shí)生活,數(shù)學(xué)文化背景,數(shù)學(xué)問題情境的變式以及跨學(xué)科融合.這是試題內(nèi)容創(chuàng)新的途徑之一.

二、新八省聯(lián)考、高考與教材的聯(lián)系

每逢高考改革,學(xué)生就認(rèn)為高考數(shù)學(xué)更難.但這種難,有時候不是數(shù)學(xué)真的難,而是在于“新”.“新”對于習(xí)慣題海戰(zhàn)術(shù),靠刷題、靠背套路的學(xué)生而言,就意味著各種變數(shù)和不確定性.正是這種對未知數(shù)的恐懼和不適應(yīng),學(xué)生認(rèn)為難.但其實(shí)不管怎么變化,仔細(xì)研究試卷,便可發(fā)現(xiàn)很多知識點(diǎn)是相互貫通的,甚至是有所依托,有跡可循的.

這個依托就是我們的教材.市面上的教輔資料甚多,大多版面制作精美,把知識點(diǎn)、考點(diǎn)、題型分門別類,整理完善.這導(dǎo)致了很多老師舍本逐末,忘記了根本,棄教材于不顧,忽略知識的產(chǎn)生過程,一不小心就帶領(lǐng)學(xué)生走上了刷題的道路.八省聯(lián)考題目的設(shè)置,恰巧就踩在這個“痛點(diǎn)”上.其實(shí),仔細(xì)研究試題可以發(fā)現(xiàn),雖然內(nèi)容形式上有所創(chuàng)新,但是題目內(nèi)容始終離不開教材和課程標(biāo)準(zhǔn).例如:

例1(2021年八省適應(yīng)性考試第6 題)(1+x)2+(1+x)3+···+(1+x)9的展開式中x2的系數(shù)是( )

A.60 B.80 C.84 D.120

對接教材 (人教A 版選修2-3: 1.2.2 組合探究與發(fā)現(xiàn):組合數(shù)的兩個性質(zhì))

性質(zhì) 1.Cmn=Cn-mn; 2.Cmn+1=Cmn+Cm-1n.

(人教A 版選修2-3: 第一章復(fù)習(xí)參考題B5)

在(1+x)3+(1+x)4+...+(1+x)n+2的展開式中,含x2項(xiàng)的系數(shù)是多少?

八省適應(yīng)性考試第6 題,學(xué)生們可以列式計(jì)算C22+C23+···+C29的值,不過大部分是一個一個算累加起來的.若學(xué)生知道教材對應(yīng)的探究,利用性質(zhì):Cmn+1=Cmn+Cm-1n,就會發(fā)現(xiàn)可以減少很多計(jì)算量,也可以解決n更大的情況:C22+C23+···+C29=C33+C23+···+C29=C34+C24+···+C29=C310.

例2(2021年八省適應(yīng)性考試第17 題)已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足an+2=2an+1+3an.

(1)證明: 數(shù)列{an+an+1}為等比數(shù)列;

(2)若a1=,求{an}的通項(xiàng)公式.

對接教材 人教A 版必修5: P32,閱讀與思考: 斐波那契數(shù)列

(人教A 版必修5: 習(xí)題2.1B 組3)已知數(shù)列{an}的第一項(xiàng)是1,第2 項(xiàng)是2,以后各項(xiàng)由an=an-1+an-2(n ＞2)給出.

(1)寫出這個數(shù)列的前5 項(xiàng);

(2)利用上面的數(shù)列{an},通過公式bn=構(gòu)造一個新的數(shù)列{bn},試寫出數(shù)列{bn}的前5 項(xiàng).

很多同學(xué)處理八省適應(yīng)性考試第17 題是,聯(lián)想到累加法,自創(chuàng)“累減法”.實(shí)際上這道題可以通過隔項(xiàng)分奇偶實(shí)現(xiàn)累加法.其次,學(xué)生很少接觸或者幾乎沒有接觸到相鄰兩項(xiàng)的和的類型.實(shí)際上教材的斐波那契數(shù)列就是個很好的載體.

例3(2021年八省適應(yīng)性考試第20 題)北京大興國際機(jī)場的顯著特點(diǎn)之一是各種彎曲空間的運(yùn)用.刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容.用曲率刻畫空間彎曲性,規(guī)定: 多面體頂點(diǎn)的曲率等于2π與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差(多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角,角度用弧度制),多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零,多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和.例如: 正四面體在每個頂點(diǎn)有3 個面角,每個面角是所以正四面體在各頂點(diǎn)的曲率為2π-3×=π,故其總曲率為4π.

(1)求四棱錐的總曲率;

(2)若多面體滿足: 頂點(diǎn)數(shù)-棱數(shù)+面數(shù)= 2,證明: 這類多面體的總曲率是常數(shù).

對接教材 如圖: (新教材必修第二冊第八章立體幾何復(fù)習(xí)參考題的第一題)歐拉公式:

多邊形的內(nèi)角和是幾何學(xué)的一個基本問題,人教版《數(shù)學(xué)(八年級上冊)》(第21 頁)第11 章§11.3.2 的標(biāo)題即為:“多邊形的內(nèi)角和”也有相關(guān)知識.

從上面的例題可以看出,這幾個題目出的題目相對新穎,學(xué)生乍看之間可能反應(yīng)不過來,但是題目其實(shí)都來自于課本的閱讀材料、探究與思考以及課后習(xí)題.

除了來自于教材,還有不少題目可以在歷年高考題中找到蹤跡.例如:

例4(2021年八省適應(yīng)性考試第3 題)關(guān)于x的方程x2+ax+b=0,有下列四個命題: 甲:x=1 是該方程的根;乙:x= 3 是該方程的根;丙: 該方程兩根之和為2;丁: 該方程兩根異號.如果只有一個假命題,則該命題是( )

A.甲 B.乙 C.丙 D.丁

對接高考 (2019年高考全國II 卷文科第5 題)在“一帶一路”知識測驗(yàn)后,甲、乙、丙三人對成績進(jìn)行預(yù)測.

甲: 我的成績比乙高.乙: 丙的成績比我和甲的都高.丙:我的成績比乙高.

成績公布后,三人成績互不相同且只有一個人預(yù)測正確,那么三人按成績由高到低的次序?yàn)? )

A.甲、乙、丙 B.乙、甲、丙 C.丙、乙、甲 D.甲、丙、乙

以上兩題均是邏輯推理題,對于考全國一卷的同學(xué)而言,如果沒有做全國II 卷這道題目,就會不適應(yīng),忙了陣腳.

例5(2021年八省適應(yīng)性考試第21 題)雙曲線C:= 1(a ＞0,b ＞0)的左頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為F,動點(diǎn)B在C上.當(dāng)BF⊥AF時,|AF|=|BF|.

(1)求C的離心率;

(2)若B在第一象限,證明: ∠BFA=2∠BAF.

對接高考 (2018年高考全國I 卷理科第19 題)設(shè)橢圓C:+y2= 1 的右焦點(diǎn)為F,過F的直線l與C交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0).

(1)當(dāng)l與x軸垂直時,求直線AM的方程;

(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),證明: ∠OMA=∠OMB.

學(xué)生一看解答題居然出現(xiàn)雙曲線,紛紛詢問自己老師,不是說不考雙曲線的嗎? 為什么雙曲線考的這么難.第一,這反映出刷題帶來的固定局限思維;第二,對比2018年全國1卷理科第19 題就可以看出來,這兩題均是證明傾斜角的關(guān)系,然后轉(zhuǎn)化為斜率的關(guān)系,體現(xiàn)的還是設(shè)而不求的數(shù)學(xué)思想方法.

其實(shí),以往高考題已經(jīng)十分注重教材習(xí)題和閱讀材料.由是2020年海南和山東新高考可見一斑.

例6(2020年新高考山東卷第5 題)某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉,其中有96%的學(xué)生喜歡足球或游泳,60%的學(xué)生喜歡足球,82%的學(xué)生喜歡游泳,則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是( )

A.62% B.56% C.46% D.42%

對接教材 (人教A 版必修2,習(xí)題1.1 閱讀材料: 集合中元素的個數(shù))一般地,對任意兩個有限集合A,B,有card(A ∪B)=card(A)+card(B)-card(A ∩B).

其實(shí)很多學(xué)生并不會做這道高考題,復(fù)習(xí)集合的時候,老師們也會忽略這個閱讀材料,也就忽略了關(guān)于集合中元素個數(shù)的補(bǔ)充.

例7(2020年新高考山東卷第14 題)將數(shù)列{2n-1}與{3n-2}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列{an},則{an}的前n項(xiàng)和為____.

對接教材 (人教A 版必修5,習(xí)題2.3A 組6)

有兩個等差數(shù)列2,6,10,...,190 及2,8,14,...,200,由這兩個等差數(shù)列的公共項(xiàng)按從小到大的順序組成一個新數(shù)列,求這個新數(shù)列的各項(xiàng)之和.

很多學(xué)生第一次接觸新高考山東卷第14 題的時候,不理解什么叫“公共項(xiàng)”,也不知道兩個等差數(shù)列的公共項(xiàng)從小到大排列可以組成一個新的等差數(shù)列,實(shí)際上復(fù)習(xí)的時候也會忽略這種靈活的題目,主攻求通項(xiàng)公式、求和、性質(zhì)等.

三、高考復(fù)習(xí)策略方向

可以發(fā)現(xiàn),新高考無論怎么創(chuàng)新,都是基于教材和新課程標(biāo)準(zhǔn)層層遞進(jìn).這也就為我們?nèi)蘸蟮母呖紡?fù)習(xí)提供了幾個方向:

1.立足于教材這基本點(diǎn),深研新課標(biāo),發(fā)揮其引領(lǐng)作用

高考題近30%～45%的題目來源于課本中的典型例題、課后習(xí)題、復(fù)習(xí)參考題.八省適應(yīng)性考試甚至出現(xiàn)了教材的閱讀材料題、探究題.這引導(dǎo)我們復(fù)習(xí)要深挖教材,充分挖掘出教材中的典型例題的典型作用,加強(qiáng)對核心概念與核心數(shù)學(xué)思想的理解與掌握,達(dá)到增強(qiáng)知識理解,培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力和熟練運(yùn)用能力的目的.

2.抓好教研,聚焦課堂,突破關(guān)鍵能力的提升

數(shù)學(xué)知識的理解需要數(shù)學(xué)思維,在利用數(shù)學(xué)方法應(yīng)用到具體問題中.要提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力,關(guān)鍵是提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.需要深入研究學(xué)生的痛點(diǎn),以學(xué)生問題為導(dǎo)向,分析學(xué)生知識和能力不足的地方.抓好課堂主陣地,注重知識的產(chǎn)生過程.課堂練習(xí)和課后習(xí)題注意滲透數(shù)學(xué)思維方法和通性通法.有意識的訓(xùn)練學(xué)生的閱讀能力、思維能力和表達(dá)能力,這是學(xué)生的三大核心能力.

3.做好“不變”的,研究“可變”的,以不變應(yīng)萬變

教材及新課標(biāo)是試題創(chuàng)新的來源,歷屆高考真題是高考備考的絕佳素材.注重基礎(chǔ)題的考查,注重通性通法的提煉,淡化考試技巧.對于常考的問題常常講、常常練,高頻考點(diǎn)不回避中低難度的題.易錯問題精講精練,反復(fù)糾錯,提高學(xué)生對易錯題的辨識能力,避免一錯再錯.針對不同層次的學(xué)生,分段突破,分層要求.搜集整理教材的閱讀題、材料題和探究題,不回避閱讀材料題,以這些題目為依托,訓(xùn)練學(xué)生的閱讀能力和思維能力等關(guān)鍵能力.

教材和新課程標(biāo)準(zhǔn)匯聚了無數(shù)專家的心血煉制而成,只有真正熟悉教材并且將其物盡其用,才能在高考改革的洪流中站穩(wěn)腳跟,心中有度,無所畏懼.