二元雙n次多項(xiàng)式插值問(wèn)題研究

崔利宏， 聶碧宏， 李 雪

(遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，遼寧 大連 116029)

多元函數(shù)插值與逼近是計(jì)算數(shù)學(xué)的一個(gè)重要研究方向.近年來(lái)，隨著電子計(jì)算機(jī)運(yùn)算以及處理能力的不斷提升，多元函數(shù)插值在相關(guān)學(xué)科領(lǐng)域的應(yīng)用也愈加廣泛和深入，這使得對(duì)多元函數(shù)插值問(wèn)題的研究也就顯得愈加重要.目前，對(duì)多元分次插值的研究更是許多科研、實(shí)際生產(chǎn)等領(lǐng)域所涉獵的重要內(nèi)容.例如：在解決彈性力學(xué)問(wèn)題時(shí)采用的有限元法，在飛行器(飛機(jī)、載人飛船)、艦船、高鐵、汽車等產(chǎn)品外形設(shè)計(jì)過(guò)程中的曲面拼接技術(shù)等.這些問(wèn)題都與多元函數(shù)插值密切相關(guān)，而二元雙n次多項(xiàng)式插值則是多元函數(shù)插值的一種特殊情形，目前，在計(jì)算力學(xué)研究領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.本文在以往學(xué)者對(duì)二元插值研究的基礎(chǔ)上[1-5]，結(jié)合多元函數(shù)插值與逼近的相關(guān)理論知識(shí)[6-8]，進(jìn)一步研究了二元雙n次插值正則結(jié)點(diǎn)組的基本拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和幾何特征，得到了構(gòu)造二元雙n次插值多項(xiàng)式空間及沿二元雙n次代數(shù)曲線插值正則結(jié)點(diǎn)組的構(gòu)造方法.最后給出兩個(gè)實(shí)驗(yàn)算例檢驗(yàn)本文研究結(jié)果.通過(guò)應(yīng)用Matlab軟件編程，得到了被插值函數(shù)和插值函數(shù)在同一坐標(biāo)系下的圖像，進(jìn)而明顯地看出了插值與逼近的效果，同時(shí)給出了誤差估計(jì).

1 基本概念及主要定理

p(Qi)=fi,i=1,2,…d.

(1)

下面給出二元雙n次插值空間的基本概念和二元雙n次多項(xiàng)式插值的基本定義.

(2)

(3)

(4)

本文主要結(jié)果如下：

2 定理的證明

為了證明上述定理，需要如下基本引理.

g(Qi)=0,?Qi∈A

(5)

g(X)=q(X)·r(X).

(6)

證引理的充分性是顯然的，只需證引理的必要性即可.

又因?yàn)間(Qi)=0,?Qi∈A,由定義4知，沿曲線q(X)=0恒有g(shù)(X)=0.則V(I1)?V(I2),I(V(I1))?I(V(I2)).

定理1的證明插值結(jié)點(diǎn)組C中所包含的點(diǎn)數(shù)為

(n+1)2+[(n+k+1)2-(n+k+1-k)2]=(n+k+1)2,

dn+k(X)=q(X)·r(X).

(7)

因?yàn)閐n+k(Qi)=0,?Qi∈A,所以0=dn+k(Qi)=q(Qi)·r(Qi),?Qi∈A.但是q(Qi)≠0,?Qi∈A.所以只有r(Qi)=0,?Qi∈A.

故有r(X)≡0,進(jìn)而dn+k(X)≡0,這與假設(shè)矛盾.定理1證畢.

定理2的證明插值結(jié)點(diǎn)組A∪B中所含的點(diǎn)數(shù)為

2mk+[(n+1)2-(n+1-k)2]=(n+m+1)2-(n+m+1-k)2,

g(X)=α(X)p(X)+β(X)q(X).

(8)

又因?yàn)?/p>

g(Qi)=0,?Qi∈A,

(9)

將式(9)代入式(8)中有α(Qi)p(Qi)=0,?Qi∈A.而p(Qi)≠0,?Qi∈A.故只有α(Qi)=0,?Qi∈A.

(10)

將式(10)代入式(8)中有g(shù)(X)=q(X)·r(X).證畢.

3 實(shí)驗(yàn)算例

設(shè)被插值函數(shù)為f(x,y)=2x+y，取點(diǎn)Q1(0,0)∈2，則不經(jīng)過(guò)Q1(0,0)在直線y=x-1上任取3個(gè)點(diǎn)Q2(0,-1),Q3(1,0),Q4(2,1)，根據(jù)定理1，這4個(gè)點(diǎn)構(gòu)成二元雙一次空間的正則結(jié)點(diǎn)組，且所確定的唯一一條插值函數(shù)為

d1(x,y)=1+x+0.5y+2.25xy.

由Matlab做出被插值函數(shù)f(x,y)和插值函數(shù)d1(x,y)的圖像如圖1所示.

圖1 二元雙一次插值效果圖Fig.1 Binary double linear function interpolation rendering

由Matlab做出被插值函數(shù)f(x,y)和插值函數(shù)d2(x,y)的圖像如圖2所示.

圖2 二元雙二次插值效果圖Fig.2 Binary double quadratic interpolation rendering

下面對(duì)二元雙一次插值多項(xiàng)式和二元雙二次插值多項(xiàng)式的插值逼近效果進(jìn)行分析.

因此求得兩個(gè)算例的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差分別為

r1=|2-2.312 5|=0.312 5，r2=|2-1.937 5|=0.062 5，

通過(guò)以上數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)插值函數(shù)的次數(shù)越高，插值函數(shù)越逼近被插值函數(shù)，即插值的效果越好.