“購房中的數(shù)學(xué)問題”及“九連環(huán)”探究性學(xué)習(xí)報告

四川省天府新區(qū)元音中學(xué)(610218) 馮利卿

1 設(shè)計背景

購房中的數(shù)學(xué)問題和九連環(huán)是《普通高中課程標準實驗教科書必修五》數(shù)列這一章后的研究性課題.生活中人們經(jīng)常遇到的像存款利息、購房貸款等實際問題,還有很多有趣的游戲等都蘊含了豐富的數(shù)學(xué)思想.學(xué)生們往往對生活中的數(shù)學(xué)問題很感興趣,希望從熟悉的事物中理解,體會數(shù)學(xué).而高中數(shù)學(xué)課程又倡導(dǎo)自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學(xué)等創(chuàng)新型學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式,這些方式有助于發(fā)揮學(xué)生的主動性,使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”過程.基于此,在老師的鼓勵下,班級分小組對“購房中的數(shù)學(xué)問題”和”九連環(huán)“進行了合作探究學(xué)習(xí).

2 設(shè)計目的

通過聯(lián)系實際,從生活中問題出發(fā),充分拓展數(shù)列的學(xué)習(xí)內(nèi)容,以促進學(xué)生對數(shù)列的理解,培養(yǎng)學(xué)生對學(xué)習(xí)數(shù)列的興趣.提高學(xué)生運用數(shù)列知識來分析、運用多方面的數(shù)學(xué)方法來進行全方位考慮和解決生活實際問題的能力.

通過兩個課題的研究,提高學(xué)生的探索應(yīng)用能力、理解能力和實踐能力的新方法,全面提高學(xué)生的綜合素質(zhì).

3 教學(xué)理念和策略

在教學(xué)中重視教學(xué)情景和小組合作學(xué)習(xí)環(huán)境的創(chuàng)設(shè),體現(xiàn)“以學(xué)生為主體,教師為主導(dǎo)”的教學(xué)原則.

本節(jié)課通過對兩個問題循序漸進的進行研究,使學(xué)生充分體會數(shù)列在分期付款和解九連環(huán)中的應(yīng)用.在整個教學(xué)過程中,學(xué)生積極發(fā)言,交流成果.老師在整個過程中則做到“導(dǎo)”和“引”.

4 實踐方法

資料收集法、實例分析法、學(xué)生探究教師引導(dǎo)法

5 探究內(nèi)容

在探究數(shù)列性質(zhì)的同時,我們要善于將數(shù)列與生活聯(lián)系在一起,將數(shù)列生活化,既加深了我們對數(shù)列的了解,又為生活提供了方便.而解決這些問題所涉及的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想和方法又都是高中數(shù)學(xué)所要求必須掌握的概念、公式、定理和法則等基礎(chǔ)知識.下面以兩個問題來呈現(xiàn)數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用.

5.1 購房中的數(shù)學(xué)問題

某地一位居民為了改善家庭的住房條件,決定在2005年重新購房.某日,他來到了一個房屋交易市場,面對著房地廠商林林總總的宣傳廣告,是應(yīng)該買商品房呢還是應(yīng)該買二手房呢? 他一時拿不定主意.表格中是他的家庭狀況以及可供選擇的方案.

購房還需要貸款.這位居民選擇了一家銀行申請購房貸款.該銀行的貸款評估員根據(jù)表格中的信息,向他提供了下列信息和建議:

申請商業(yè)貸款,貸款期限為15年比較合適,年利率為5.04%.購房的首期付款應(yīng)不低于實際購房總額的20%,貸款額應(yīng)不高于實際購房總額的80%.還款方式為等額本金還款,如果按季還款,每季還款額可以分成本金部分和利息部分,其計算公式分別為本金部分=貸款部分÷貸款期季數(shù),利息部分=(貸款本金-已歸還貸款本金累計額)×季利率.

家庭經(jīng)濟狀況:家庭每月總收入3000 元,也就是年收入3.6 萬元.現(xiàn)有存款6 萬元,但是必須留2 萬元—3 萬元以備急用.

預(yù)選方案:1.買商品房:一套面積為80m2的住宅,每平方米售價為1500 元;2.買二手房:一套面積為110m2左右的二手房,售價為14.2 萬元,要求首付4 萬元.

準備工作:了解商品房二手房的概念,了解貸款購房的一般流程,以及購房貸款,分期付款的相關(guān)背景.

提出問題:結(jié)合數(shù)列等相關(guān)數(shù)學(xué)知識,根據(jù)以上購房貸款方式,判斷方案1、2 哪個是他的最佳選擇?

課堂任務(wù):

1、將前期布置的教材中“買商品房和買二手房的比較”探究成果進行交流.

2、在此基礎(chǔ)上,進一步對兩個實際問題“等額本金還款和等額本息還款的比較”“按季還款和按月還款的比較”進行探究.

學(xué)生的成果展示與交流:

方案1:如果首付3.6 萬(約為住房總價值的30%),貸款8.4 萬,季利率為5.04%÷4=1.26%.以貸款期為15年為例.

每季等額歸還本金:84000÷(15×4)=1400(元),第一個季度利息:84000×1.26%=1058.4(元),則第一個季度還款額為1400+1058.4 = 2458.4(元),…,第60 個季度利息:(84000-14000×59)×1.26% = 17.64(元),則第60 個季度(最后一期)的還款額為1400+17.64 = 1417.64(元),可見,15年中的每個季度支付的利息成等差數(shù)列,公差為17.64元,其和為:= 32281.2(元),15年中每個季度的還款額也成等差數(shù)列,公差為17.64 元,其和為:

方案2:因為首付4 萬,所以需要貸款10.2 萬,季利率為5.04%÷4=1.26%.以貸款期為15年為例.

每季等額歸還本金:102000÷(15×4) = 1700(元),第一個季度利息:102000×1.26% = 1285.2(元),則第一個季度還款額為:1700+1285.2=2985.2(元)……,第60 個季度利息:(102000-1700×59)×1.26% = 21.42(元),則第60個季度(最后一期)的還款額為1700+21.42 = 1721.42(元),可見,15年中的每個季度支付的利息成等差數(shù)列,公差為21.42 元,其和為:= 39198.6(元),15年中每個季度的還款額也成等差數(shù)列,公差為21.42 元,其和為:=141198.6(元).

探究結(jié)果:建議這個居民采用方案1,理由如下:

(1)因為這個居民每月的家庭總收入為3000 元,那么每個月用于償還購房貸款的金額為600～900 元較為合適,每個季度為1800～2700 元.如果采用方案1,滿足上述條件.如果采用方案2,由于15年中每季度需支付的還款額構(gòu)成一個首項為a1= 2985.2,公差為d= 21.42 的等差數(shù)列.若an= 2985.2+21.42(n-1)＞2700,則n ＜15.也就是說,當n ＜15(個季度)時,每個季度的還款額大于2700 元,償還銀行的錢占這個家庭收入的30%以上,顯然給這個家庭生活造成了較大的負擔.

(2)以貸款15年為例,方案2 比方案1 需要多支付利息39198.6-32281.2=6917.4(元).

(3)方案2 中的住房是舊房,使用年限較短.

進一步地:

按月還款和按季還款的比較:

類比按季還款,學(xué)生可以很容易構(gòu)建出按月還款的數(shù)學(xué)模型.

等額本息還款和等額本金還款比較:

學(xué)生交流,教師引導(dǎo),并在黑板呈現(xiàn)等額本息還款的具體方法并概括兩種方法的優(yōu)缺點.

結(jié)論:按月分期付款比按季分期付款更優(yōu);等額本金付款比等額本息付款更優(yōu).(相對)

設(shè)計意圖:

通過實際問題的探究,激發(fā)了學(xué)生合作的積極性,點燃了學(xué)生思維的火花.通過探究,學(xué)會在多種分期付款的方式中,能夠做出最佳選擇,從而使學(xué)生感受到成功的喜悅.

歸納總結(jié):

1、了解購房問題中的貸款政策,利率,等額本金,等額本息等背景知識.

2、能把等額本金和等額本息問題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列和等比數(shù)列的模型.

3、數(shù)學(xué)思想,列方程解未知數(shù)

(附問題一活動過程圖片展示)

5.2 九連環(huán)問題

九連環(huán)是中國的一種古老智力游戲,它環(huán)環(huán)相扣,趣味無窮.玩九連環(huán)就是要把這九個圓環(huán)全部從框架上解下或者套上.但無論是解下還是套上圓環(huán),都要遵循一定的規(guī)則.

準備工作:準備九連環(huán)數(shù)個,熟悉九連環(huán)的歷史背景,基本結(jié)構(gòu)和原理.

提出問題:

1、歸納解環(huán)規(guī)則(課前進行學(xué)情調(diào)查,發(fā)現(xiàn)班級里只有少數(shù)學(xué)生精通九連環(huán),大部分學(xué)生對其知之甚少,因此讓學(xué)生在課前進行小組合作,探究解環(huán)規(guī)則,在課內(nèi)交流)

a.要想下/上第n個環(huán)需要滿足什么條件?

b.要想下/上前n個環(huán)需要滿足什么條件?

2、結(jié)合數(shù)列知識,建立模型,并計算下/上九連環(huán)至少需要移動圓環(huán)多少次?

學(xué)生的成果展示與交流:

小組中分工明確,選代表在黑板展示成果.其中一位講解九連環(huán)的基本構(gòu)造,解九連環(huán)的數(shù)學(xué)原理,同時演示解九連環(huán)的整個過程和細節(jié).

另一個同學(xué)在黑板上推導(dǎo)解九連環(huán)所蘊含的數(shù)列遞推關(guān)系,同時得出結(jié)果.

最后小組之間再互相探討研究,合作學(xué)習(xí),比賽解九連環(huán).

回顧反思:

回顧解決問題運用的數(shù)學(xué)思想:化歸、遞歸、類比、歸納

(附問題二活動過程圖片展示)

總結(jié)階段:

把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列的模型是解決以上兩個問題的關(guān)鍵.

首先學(xué)生將實際問題數(shù)學(xué)化,其次教師引導(dǎo)學(xué)生在實踐探究過程中體會數(shù)學(xué)思想以及模型的建立.化抽象為形象,將數(shù)學(xué)課堂提升到一個新的高度.

6 探究結(jié)果

探究性學(xué)習(xí)使學(xué)生們對數(shù)列的內(nèi)容進行深入了解,提高了學(xué)生對數(shù)學(xué)的趣味.整個課堂氛圍活躍,學(xué)生們積極投入,互相學(xué)習(xí),理論與實踐相結(jié)合的過程提高了他們對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情,充分享受其中.將數(shù)列應(yīng)用,推及到日常的生活中,留給他們獨立思考的時間,不僅提高了課堂質(zhì)量,同時更好的培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的學(xué)習(xí)素養(yǎng).

7 學(xué)生體會與收獲

(1)這次活動讓學(xué)生深切感受到數(shù)學(xué)知識源于生活,又為實際生活服務(wù)的意義.數(shù)學(xué)的運用廣泛自如,生活中處處皆數(shù)學(xué),日常生活中蘊含的許多新奇的數(shù)學(xué)問題,都可以用我們課本的知識解決.

(2)探究性活動讓學(xué)生學(xué)會更好的領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的價值,知道數(shù)學(xué)不僅限于課堂,要懂得用數(shù)學(xué)眼光,數(shù)字思維,數(shù)學(xué)方法觀察生活,認識世界.在生活中多思考運用,不斷探索和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律.

(3)探究活動讓學(xué)生從感興趣的項目入手,合作探究,利用信息,借助工具,深入調(diào)查,多方面研究,最后得出研究結(jié)果.這個活動加強了學(xué)生的合作精神,也使得學(xué)生能真正沉靜下來體會數(shù)學(xué)感悟真理.

8 教學(xué)反思

在數(shù)列這一章節(jié)學(xué)習(xí)時,要求學(xué)生對生活中購房的問題以及九連環(huán)中蘊涵的數(shù)學(xué)問題進行研究和探討,學(xué)生通過搜集統(tǒng)計數(shù)據(jù),動手實踐,體驗發(fā)現(xiàn)和構(gòu)建數(shù)學(xué)的過程,建立與其相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型,再通過研究數(shù)列的性質(zhì),提出優(yōu)化方案,使問題得到解決.在這次活動中,同學(xué)們不僅了解到利用數(shù)列知識可以解決生活中的實際問題,也在研究的過程中學(xué)會了小組合作和資料收集、篩選等多種方法,體會到了研究的鉆研精神和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要性.所以探究性學(xué)習(xí)理念對于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)有著深遠的意義,當然能探索出更多更好的數(shù)學(xué)教學(xué)方法于教師而言依然任重道遠,著眼于把學(xué)生培養(yǎng)成一個積極思考,勇于探索的問題研究者和問題解決者,我們一直在路上.