搭建問題的橋梁 實現(xiàn)思維的聯(lián)通
——以圓的習題課為例

廣州市白云區(qū)金沙小學(510168) 吳厚儀

數(shù)學教學的根本目標,是培養(yǎng)學生的數(shù)學思維.而數(shù)學思想方法作為數(shù)學的“靈魂”,在培養(yǎng)學生數(shù)學思維的過程中起決定性作用.因此,數(shù)學思想方法的傳授是數(shù)學教學過程的核心.然而,數(shù)學基本思想方法總是被掩蓋在教材所呈現(xiàn)的概念、定理等具體數(shù)學知識的背后,看不見、摸不著.在數(shù)學課堂上,教師如何在教材知識和數(shù)學問題的講解過程中,做到“不著痕跡”地傳授數(shù)學思想方法,潛移默化地培養(yǎng)學生的數(shù)學思維? 本文從一節(jié)圓的習題課出發(fā),探討教師如何在數(shù)學習題課上為學生提供數(shù)學思維策略的指導和數(shù)學思想方法的傳授,讓學生在逐步感悟數(shù)學思想方法的過程中,提升數(shù)學思維.

1 教學過程

《義務教育數(shù)學課程標準(2011年版)》中強調(diào),學生在積極參與教學活動的過程中,通過獨立思考、合作交流,逐步感悟數(shù)學思想.本課例中,筆者將從“初探問題——再探問題——總結歸納——方法應用——拓展深化”五個環(huán)節(jié)開展教學活動.

1.1 初探問題

例1如圖1,AB是⊙O的直徑,CD是⊙O的一條弦.求證:∠BCO=∠D.

圖1

例2如圖2,在ΔABC中,∠ACB= 90°,以BC為直徑的圓O交AB于點D.

圖2

求證:∠ACD=∠DEC.

例3如圖3,AB是⊙O的直徑,點C、F在⊙O上,CD⊥AB,垂足為D,CD的延長線交BF于點E,求證:∠BCE=∠BFC.

圖3

1.2 再探問題

問題1:請分別講解這三道例題的解題思路.

問題2:這三道例題有沒有共通點? (提示:可從條件、設問、解題思路等方面出發(fā)進行思考)

【教學片斷】

師:剛剛三位同學都不約而同地從知識點這個角度來分析解題思路的共通點,為大家總結了以后在遇到這類問題的時候,應該首先聯(lián)想到哪些知識點進行解決.很實用的總結!那么除了知識點以外,這三道題在解題方法上有沒有共通點呢?

(生靜靜思考,似乎沒有答案)

師:在這三道例題里,我們能不能直接證明設問里所提出的兩個角相等呢?

生(齊聲答):不能.

師:既然無法直接證明,那么我們是如何間接證明的?

生1:例如說,題目要求我們證明∠1 = ∠2,我們先分別證明∠1 和∠2 都等于∠3,這樣就可以運用等量代換,得到∠1=∠2.

生2:或者說先分別證明∠1 = ∠3,∠2 = ∠4,然后再證明∠3=∠4,最后可以通過等量代換,得到這四個角相等.

師:也就是說,由于無法直接證明兩個角相等,所以我們借助了∠3 甚至是∠4 的力量,然后運用了等量代換的方法證明是嗎?

生(齊聲答):是的.

師:在等量代換的過程中,引入的∠3 和∠4 起到了什么作用?

生9:被代換的等量.

師:是的! 它們就像一座鵲橋一樣,讓兩邊需要證明相等的∠1 和∠2 牽起了雙手,結成一段良緣,然后默默退出,深藏功與名.

(生開心地笑了)

師:所以,我們在發(fā)現(xiàn)“證明∠1 = ∠2”這一問題無法一下子解決時,我們就考慮引入∠3,把問題退一步,轉化為先證明∠1 = ∠3,∠2 = ∠3,最后運用等量代換得到∠1=∠3=∠2,搭建∠3 這座橋梁把∠1 和∠2 牽起來.搭建橋梁的這一過程,不僅僅運用了等量代換的方法,更重要地是,它體現(xiàn)了一種數(shù)學基本思想方法——轉化與化歸.

1.3 總結歸納

轉化與化歸思想,就是在解決數(shù)學問題時通過觀察、聯(lián)想、等價轉化等環(huán)節(jié),將隱蔽的條件明顯化,把未知的問題轉化為已知的問題,進而達到解決問題的思想.其中,等量代換就是轉化與化歸思想的一種重要體現(xiàn).

【設計意圖】

著名數(shù)學教育家波利亞在《怎樣解題》一書中提出“變化問題”,意即把問題轉化為一個等價的問題,去考慮一個可能相關的問題,先解決一個更特殊的問題……“變化問題”揭示了探索解題思路的途徑與實質(zhì),是波利亞解題思想的精髓.如今,“變化問題”成為重要的數(shù)學基本思想方法之一——轉化與化歸.如何讓學生在解決具體數(shù)學問題的過程中,領悟體會這一重要的數(shù)學思想方法,并逐步內(nèi)化為一般思維方式? 在本課中,解題完畢后學生再次梳理解題思路,隨后教師啟發(fā)引導學生對三道例題的解題思路進行觀察、類比,最終從條件、設問、所用知識方法等多個角度具體分析和歸納其共通點,得出更一般化的解題思想方法.經(jīng)歷分析、觀察、類比、總結的過程,學生不僅能逐步培養(yǎng)歸納概括能力和數(shù)學表達能力,還能提高數(shù)學學習的自我效能感.

另一方面,在教師引導下,學生通過觀察、類比、歸納等手段從特殊解法的思路中得到一般解法的信息,這實質(zhì)是一個解題回顧的過程.解題回顧作為數(shù)學解題的基本程序之一,對于數(shù)學思維和創(chuàng)造能力的培養(yǎng)有極大的促進作用.教師引導學生進行解題回顧,不僅能提煉和儲備解題經(jīng)驗,為數(shù)學思維的升華提供經(jīng)驗基礎,同時,教師的適時啟發(fā)和總結歸納以及適量的練習訓練,也使學生對于轉化與化歸這一數(shù)學思想方法模糊的感性認識逐步上升為清晰的理性認識.

1.4 方法應用

練習1:如圖4,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,∠DAE是四邊形ABCD的一個外角,且AD平分∠CAE.求證:DB=DC.

圖4

練習2:如圖5,AB是O的直徑,C是弧BD的中點,CE⊥AB,垂足為E,BD交CE于點F.求證:CF=BF.

圖5

1.5 拓展深化

例4如圖6,ΔABC中,AB=BC,點O為高AD上一點,以OD為半徑的⊙O與AB相切于點E.連接CE,點O在CE上.若AE:EB= 2 :3,AC=求⊙O的半徑.

圖6

練習:如圖7,在ΔABC中,AB=AC,以AB為直徑的O分別交BC、AC于點D、E,連接EB交OD于點F.(1)求證:OD⊥BE;(2)若DE=,求AE的長.

圖7

例5(2020年陜西中考):如圖8,ΔABC是⊙O的內(nèi)接三角形,∠BAC= 75°,∠ABC= 45°.連接AO并延長,交⊙O于點D,連接BD.過點C作⊙O的切線,與BA的延長線相交于點E.(1)求證:AD//EC;(2)若AB= 12,求線段EC的長.

圖8

【設計意圖】

在圓的問題中,除了角的轉化外,還有線段的轉化.一類問題是直接進行線段的等量代換,把某一線段作為“橋梁”構建方程進行求解.在例4 中,經(jīng)過思考不難發(fā)現(xiàn),不論從哪一個直角三角形入手,AD都是問題解決的“擋路石”,為清除這一障礙,不妨考慮轉化問題,把“擋路石”變成“墊腳石”.首先在RtΔABD和RtΔACD中,根據(jù)勾股定理,分別表示出AD的關系式,然后進行等量代換,將AD作為搭建方程的“橋梁”,進行求解.

另一類問題則是借助輔助線把線段進行平移,把“橋梁”移到所需之處進行問題轉化.在例5 第(2)問中,直接求CE比較困難,所以聯(lián)想到過點A作CE的垂線達到分割CE、平移半徑的目的.此時,半徑充當了轉化問題的“橋梁”,不僅轉化為CE的部分已知長度,也成為了利用三角函數(shù)求CE未知長度部分的關鍵.總之,例4、5 的解題過程不僅是圓與三角函數(shù)、一元二次方程、勾股定理等內(nèi)容的拓展與綜合,更是轉化與化歸思想方法運用靈活化與豐富化的體現(xiàn).

2 總結

2.1 準確把握學生認知結構,激活學生的思維活動

數(shù)學是思維的活動,思維的主體性要求人們在學習數(shù)學時必須充分發(fā)揮自己的主觀能動性.數(shù)學基本思想方法作為數(shù)學家思維活動的精粹,被簡明的數(shù)學結論所掩蓋,要想使其暴露出來,更是離不開學生積極主動的思維活動.如何使學生自發(fā)地進行數(shù)學思維活動? 首先需要教師準確地把握學生的數(shù)學認知結構.一方面,教師只有在充分了解學生數(shù)學學習的基礎上,才能創(chuàng)造適當?shù)慕虒W情境,引起學生思維的矛盾沖突,從而引起學生的學習興趣,激發(fā)學生積極地進行數(shù)學思維活動.另一方面,數(shù)學思想方法的高度抽象性與學生的認知發(fā)展仍處于從具體到抽象的過渡階段之間的矛盾,也決定了數(shù)學基本思想方法的教學要以學生現(xiàn)有的數(shù)學認知水平為基礎,以“最近發(fā)展區(qū)”為定向,才能有效地激發(fā)學生的求知欲,促進學生數(shù)學思維的發(fā)展.

2.2 用心鉆研課標和教材,還原專家的思維活動

數(shù)學家真實的思維過程蘊含在教材中,但由于學生的認知水平有限,學生獨立從教材中揭露數(shù)學家的思維活動過程是十分困難的.這就要求教師用心鉆研教材和新課程標準,對數(shù)學學科整體的知識結構有較完整的把握,并結合專業(yè)理論去重新認識、理解教材,注意到數(shù)學知識所包含的基本原理,方能深入挖掘出教材背后所掩蓋的數(shù)學家的思維活動,從而通過思維策略的指導來調(diào)控學生的思維活動進程,幫助學生解決矛盾沖突,總結思維規(guī)律和方法,潛移默化地引導學生的思維活動向數(shù)學家的思維活動靠近,理解數(shù)學的本質(zhì),運用數(shù)學思維和方法分析和解決問題.

2.3 引導學生進行解題回顧,培養(yǎng)數(shù)學思維品質(zhì)

由于中學生的年齡特征以及數(shù)學認知結構水平的限制,學生在解答問題以后,往往缺乏對解題過程的反思,不對自己的思維過程進行提煉、概括,為解題而解題,因而解題僅停留在具體經(jīng)驗方法的水平上.如果不對解題的具體方法進行提煉、概括,那么它的適用性就很小,不易產(chǎn)生遷移,不利于數(shù)學認知結構靈活性和層次性的提高.因此在學生解題以后,教師必須引導學生結合自己已有的解題經(jīng)驗,回顧整理解題思路,從中歸納概括出一般的、具有廣泛應用性的數(shù)學思想方法.在教師引導下,學生有層次地對數(shù)學思想方法進行概括,使數(shù)學思維由個別推廣至一般,將解題提高到數(shù)學基本思想的熏陶、數(shù)學基本方法的訓練的層次,這樣不僅使學生對數(shù)學思想方法的認知不斷豐富和深刻,而且有助于學生數(shù)學思維品質(zhì)的提升.

2.4 努力學會稚化思維,實現(xiàn)思維的聯(lián)通

由于教師與學生在年齡、思維方式、經(jīng)驗豐富程度等方面的差異,教師與學生在數(shù)學理解上往往存在較大鴻溝.教師如何能跨越這一鴻溝,在引導學生進行解題回顧的過程中,準確地抓住學生數(shù)學思維的盲點和痛點,從而使學生對數(shù)學基本思想方法的內(nèi)化過程更為自然活躍? 關鍵是教師在啟發(fā)引導時,要學會稚化思維,即模擬學生的思維方式去分析、思考問題,這樣才能明確認識學生在思路尋求的困惑和障礙.然后,教師再以學生的身份展示自然真實的思維過程,努力揭示對方法的思考和選擇過程,特別重視對歧途的剖析.如此,教師方能更好地引導學生搭建數(shù)學問題的橋梁,促進學生對數(shù)學思想方法的內(nèi)化,實現(xiàn)教師、學生與數(shù)學家之間思維的“聯(lián)通”.