基于波利亞解題理論的極值點偏移問題教學(xué)案例

廣東省廣州市華南師范大學(xué)(510631) 黃麗純 黃詩尹

1 教學(xué)背景

函數(shù)是貫穿高中數(shù)學(xué)課程的主線,而導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)基本性質(zhì)的重要工具.歷年來,函數(shù)與導(dǎo)數(shù)常以壓軸題的形式出現(xiàn)在高考數(shù)學(xué)中,而“極值點偏移問題”自2010年出現(xiàn)于天津高考理科卷以來,一度成為函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識板塊的熱門考點.

對于初次接觸該類問題的學(xué)生而言,理解極值點偏移問題“是什么”以及“怎么做”存在較大困難.為了幫助學(xué)生掌握解決極值點偏移問題的通性通法,解決學(xué)生知其然而不知其所以然的問題,本文對此專題進行教學(xué)設(shè)計,旨在為一線教師上好極值點偏移問題的第一課時提供參考,為學(xué)生有效理解并掌握此類問題提供學(xué)習(xí)資源.

2 教學(xué)理念

本節(jié)課分為兩大部分:極值點偏移的含義和解決極值點偏移問題的通性通法.

根據(jù)何小亞(2012)[1]提出的有關(guān)數(shù)學(xué)概念形成的理論,學(xué)生獲取“極值點偏移的含義”的方式是“概念的同化”,故本節(jié)課基于學(xué)生已有的“函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)”的認(rèn)知結(jié)構(gòu)進行教學(xué),以便于學(xué)生接納新知,建構(gòu)良好的“極值點偏移含義”的認(rèn)知圖式.

為深度探究極值點偏移問題的求解策略,剖析解決問題的思路來源,本節(jié)課根據(jù)波利亞的“怎樣解題”理論[2]設(shè)置問題串,引導(dǎo)學(xué)生運用已有知識探索問題解決的方案,為學(xué)生掌握解決極值點偏移問題的通性通法搭建“腳手架”.

3 設(shè)計的創(chuàng)新之處

3.1 選題有價值

極值點偏移問題既是熱點,也是難點,對于提升學(xué)生對函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識板塊的理解有重要作用.近年來,關(guān)于“極值點偏移問題”的文獻層出不窮,大多數(shù)學(xué)者熱衷于研究此類問題的題設(shè)形式、解題策略,但對于應(yīng)如何進行極值點偏移問題的專題教學(xué),卻少有學(xué)者進行研究.因此,以極值點偏移問題為選題,創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計并開展課堂實證,具有創(chuàng)新價值.

3.2 與技術(shù)結(jié)合

本節(jié)課的設(shè)計充分使用現(xiàn)代信息技術(shù),借助GeoGebra軟件,引導(dǎo)學(xué)生主動參與并感性認(rèn)知極值點偏移問題的特點,進而發(fā)現(xiàn)并探究解決問題;利用智慧課堂教學(xué)系統(tǒng),鼓勵學(xué)生面向全班進行展示講解,深化學(xué)生對知識的理解,開發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新潛能.

4 教學(xué)設(shè)計

4.1 教學(xué)目標(biāo)

(1)理解極值點偏移問題的含義,掌握解決極值點偏移問題的通性通法;

(2)靈活運用導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識,掌握不同函數(shù)類型的極值點偏移問題求解策略;

(3)培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力,滲透數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng).

4.2 情意基礎(chǔ)

高二階段學(xué)生普遍具有較強的學(xué)習(xí)自主性.善于思考,樂于探究,但仍有不少學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)存在信心不足和畏難的現(xiàn)象.據(jù)此,本節(jié)課通過學(xué)生動手繪圖,直觀感知極值點偏移的特點,總結(jié)極值點偏移的含義、類型及基本性質(zhì),幫助學(xué)生從具體實例中掌握一般性的數(shù)學(xué)概念.通過層層遞進的問題串這一腳手架,引導(dǎo)學(xué)生一步步探究解決此類問題的通性通法,幫助學(xué)生完成知識生成過程,實現(xiàn)感性認(rèn)識向理性認(rèn)識的飛躍.

4.3 教學(xué)重難點

重點:極值點偏移的含義、解決極值點偏移問題的通性通法;

難點:解決極值點偏移問題的通性通法.

4.4 教學(xué)方法與手段

引導(dǎo)探究法、問題驅(qū)動法

4.5 教學(xué)過程

4.5.1 情境引入

【任務(wù)1】用GeoGebra 軟件畫出下列函數(shù)的圖像,觀察圖像的特點.

(1)f(x) = (x-3)2-2;(2)f(x) =xe-x(2010年天津高考);(3)f(x) = (x-2)ex+(x-1)2(2016年全國Ⅰ卷理科).

圖1

圖2

圖3

【問題1】求出函數(shù)的極值點x0,并比較函數(shù)圖像在極值點兩端的變化快慢情況.

【問題2】在所得圖像中畫出一條垂直于y軸且與函數(shù)f(x)有兩個交點(分別為x1,x2,且x1＜x2)的直線l,并比較x0與的大小關(guān)系.

圖6

【問題3】結(jié)合問題1 與問題2,你發(fā)現(xiàn)了什么?

設(shè)計意圖:通過繪圖,觀察三個函數(shù)圖像在極值點x0兩側(cè)的變化快慢特點,即當(dāng)x0=時,極值點x0左右兩端函數(shù)變化快慢一樣;當(dāng)x0＜時,極值點x0左端圖像變化快于右端;當(dāng)x0＞時,極值點x0右端圖像變化快于左端.從而幫助學(xué)生從直觀上感受“極值點偏移”的含義,獲得感性認(rèn)識,為接下來進一步分析“什么是極值點偏移”奠定思維基礎(chǔ).

4.5.2 新知探究

【問題4】 如圖4 所示,當(dāng)x0=(即函數(shù)f(x)關(guān)于直線x=x0對稱)時,x0左右兩端到其距離相等的點對應(yīng)的函數(shù)值有何大小關(guān)系?

圖4

圖5

表1 極值點偏移問題中的大小關(guān)系

此時,我們稱極值點x0相對于中點發(fā)生偏移,簡稱“極值點偏移”.

【問題6】極值點偏移有哪些類型?

分析:以極小值點的偏移為例,若x0＜,則稱為極值點左偏,如圖7;若x0＞,則稱為極值點右偏,如圖8.

圖7

圖8

設(shè)計意圖:通過層層設(shè)問,比較函數(shù)值f(x0+x) 和f(x0-x)的大小關(guān)系,理解并掌握極值點偏移的含義和基本性質(zhì).

【問題7】如何證明極值點偏移問題?

設(shè)計意圖:為接下來通過具體例題深入學(xué)習(xí)極值點偏移問題的證明方法做思維準(zhǔn)備.

4.5.3 例題精講

【例題】 (2010年天津卷理第21 改編) 已知函數(shù)f(x)=xe-x(x ∈R).

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;

(ⅠⅠ)若x1/=x2,且f(x1)=f(x2),證明:x1+x2＞2.

分析:通過第(Ⅰ) 問的求解可知函數(shù)f(x) 的增區(qū)間為(-∞,1),減區(qū)間為(1,+∞),f(x)有極大值f(1) =無極小值.第(ⅠⅠ)問是典型的極值點偏移問題,教學(xué)難點在于學(xué)生初次接觸此類問題,不懂得如何根據(jù)極值點x0構(gòu)造并運用差函數(shù)F(x)=f(x0+x)-f(x0-x)來解決問題.在此,本次教學(xué)基于波利亞解題理論設(shè)置問題串,以突破重難點.

教學(xué)過程 設(shè)計意圖弄清問題 【問題8】有哪些已知條件? 要證明什么?找出已知數(shù)與未知數(shù)之間的聯(lián)系【問題9】可以怎樣變換x1+x2 ＞2 的形式?【預(yù)設(shè)1】x1 ＞2-x2.【追問9.1】x1,2-x2 的取值范圍分別是多少?【追問9.2】在此不妨設(shè)0 ＜x1 ＜1 ＜x2 ＜2,那么0 ＜2-x2 ＜1.根據(jù)函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,1)上的單調(diào)性,f(x1),f(2-x2)有何大小關(guān)系?【追問9.3】如何證明f(x1)＞f(2-x2)?【問題10】回到要證明的問題,除了第一種變換方式外,還有其他變換方式嗎?【預(yù)設(shè)2】x1+x2 2 ＞1.【追問10.1】注意到1 是f(x)的極大值點,要證x1+x2 2 ＞1,就是要證明什么?通過分析法將自變量不等關(guān)系的證明轉(zhuǎn)化為函數(shù)值不等關(guān)系的證明,第一次變形轉(zhuǎn)化后學(xué)生遇到證明瓶頸,根據(jù)波利亞解題理論中強調(diào)的“你能不能

images/BZ_47_537_432_944_679.png圖9師生活動:運用GeoGebra 軟件再次繪制函數(shù)f(x)=xe-x 的圖像(如圖9 所示),以驗證學(xué)生的猜想.【問題11】觀察圖像,聯(lián)系前半節(jié)課所學(xué)的知識,函數(shù)的極大值點1 發(fā)生左偏,其左右兩邊的函數(shù)圖像有哪些特點?【追問11.1】如若證明了f(1+x)＞f(1-x),是否可以證明x1+x2 ＞2?【追問11.2】應(yīng)如何證明f(1+x)＞f(1-x)?用不同的方法重新敘述它? ”,引導(dǎo)學(xué)生對原不等式再次變形轉(zhuǎn)化.通過不等式證明的基本思路(作差法),學(xué)生體會差函數(shù)的來源,有效梳理求解策略,完成求解計劃的擬訂.實行計劃教師板書示范解題過程(ⅠⅠ)解:構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(1+x)-f(1-x)= (1+x)e1+x - (1-x)e1-x ,(x ＞0)則F′(x)=x( 1 e1-x - 1 e1+x)∵x ＞0 ∴F′(x)＞0 恒成立,∴F(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,∴F(x)＞F(0)=0恒成立,即f(1+x)＞f(1-x)對x ∈(0,+∞)恒成立,又∵x1 /=x2,不妨設(shè)x1＜x2,由(1)知x1 ＜1 ＜x2,∴f(x1)=f(x2)=f[1+(x2-1)]＞f[1-(x2-1)]=f(2-x2),又∵x1 ＜1 ＜x2 ∴x1,2-x2 ∈(-∞,1),而f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞增,∴x1 ＞2-x2 ∴x1+x2 ＞2,得證.教師展示規(guī)范的解題過程,完成計劃.總結(jié)求解策略求解極值點偏移問題的一般步驟(要點:構(gòu)造函數(shù),兩次單調(diào)):(1)求出函數(shù)f(x)的極值點x0;(2)構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x0+x)-f(x0-x)(注意函數(shù)F(x)的定義域);(3)由F(x)的單調(diào)性確定f(x0+x)與f(x0-x)的大小關(guān)系;(4)由f(x1)=f(x2)=f[x0+(x2-x0)]＞(或＜)f[x0-(x2-x0)]=f(2x0-x2),得到f(x1)與f(2x0-x2)的大小關(guān)系;(5)結(jié)合f(x)的單調(diào)性得到結(jié)論.教師重新梳理求解策略,加深學(xué)生的理解.

4.5.4 鞏固提升

【練習(xí)】 設(shè)函數(shù)f(x) = ex -ax+a(a ＞0),若存在x1,x2且x1/=x2,滿足f(x1)=f(x2).

(Ⅰ)求f(x)的極值;(ⅠⅠ)證明:x1+x2＜2 lna.

【變式】將(ⅠⅠ)改為證明:＜0,該如何證明?

分析:練習(xí)的設(shè)計旨在幫助學(xué)生鞏固所學(xué)內(nèi)容,同時實現(xiàn)思維提升.練習(xí)中的第(Ⅰ) 問可求得x= lna為函數(shù)f(x)的極小值點;第(ⅠⅠ)問要證明的是函數(shù)f(x)的極小值點x= lna右偏,運用上述求解策略可完成證明,但與例題相比,本題含有參數(shù)a,抽象性更高,更具一般性.

另外,變式的設(shè)計旨在幫助學(xué)生積累更多極值點偏移問題的題設(shè)形式,從而幫助學(xué)生在鞏固已學(xué)的同時,建構(gòu)更為系統(tǒng)全面的“極值點偏移問題”的認(rèn)知結(jié)構(gòu).變式等價于證明而由第(ⅠⅠ)問中可知f′(x)=ex-a為R 上的單調(diào)遞增函數(shù),且＜lna,故得證.

4.5.5 課堂小結(jié)

【問題12】本節(jié)課你有何收獲?

4.5.6 課后作業(yè)

(1)(2013 湖南文)已知函數(shù)f(x) =,證明:當(dāng)f(x1)=f(x2)(x1/=x2)時,x1+x2＜0.

(2)已知函數(shù)f(x)=ex-ax有兩個不同的零點x1,x2,其極值點為x0.

(Ⅰ)求a的取值范圍;(ⅠⅠ)求證:x1+x2＜2x0;(ⅠⅠⅠ)求證:x1+x2＞2;

5 教學(xué)反思

5.1 合理評估把握教學(xué)容量

極值點偏移問題題設(shè)形式多樣,解法變化萬千,難度較大,教師應(yīng)該合理評估學(xué)生的思維水平,對第一課時的教學(xué)內(nèi)容安排不宜過滿,以免學(xué)生因初學(xué)時課堂節(jié)奏過快而對此類問題產(chǎn)生畏難情緒.

從實際上課效果來看,即便對于廣州市重點中學(xué)重點班的學(xué)生,在理解極值點偏移問題的含義后,也只能在課上學(xué)習(xí)完成一道例題和一道練習(xí),對于其他題設(shè)形式和解法,需留到下一課時再逐步突破.

5.2 層層遞進突破思維難關(guān)

教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生從已有知識出發(fā),分步解決問題.既可以利用綜合法,借助函數(shù)圖像的性質(zhì)來構(gòu)造新函數(shù),從而得到不等關(guān)系式;也可以利用分析法,從所要證明的式子出發(fā),通過變形和等價轉(zhuǎn)化,推導(dǎo)出所需滿足的條件.本節(jié)課的教學(xué)采用了對例題設(shè)置問題串的方式,將解題思路分解成多步,以便于學(xué)生深度學(xué)習(xí)解決極值點偏移問題的通性通法.

從作業(yè)情況來看,大多數(shù)學(xué)生都采用了課上講解的解題步驟來完成解答;此外,部分基礎(chǔ)較好的同學(xué)不局限于通性通法,還會借助函數(shù)圖像的特殊點與基本性質(zhì)等方法解決問題,整體上作業(yè)的完成情況是較好的.

5.3 善學(xué)善用熟練技術(shù)操作

本次授課的班級使用了暢言智慧課堂教學(xué)系統(tǒng).本節(jié)課的教學(xué)采用了智慧課堂與傳統(tǒng)課堂相結(jié)合的模式,其中涉及到信息技術(shù)的有:一是教學(xué)內(nèi)容上,在引入環(huán)節(jié)學(xué)生通過Geogebra 軟件繪制三個函數(shù)圖像,從直觀上初步感受極值點偏移問題;二是課堂互動上,教師借助“學(xué)生講解”功能,使得學(xué)生可以向全班展示其學(xué)習(xí)作品,并進行講解;三是課堂管理上,教師利用“隨機點名”、“屏幕廣播”、“鎖屏”等功能,有效地維持課堂紀(jì)律,提高上課效率.

在實際的授課過程中,由于師生對信息技術(shù)還不夠熟悉,可能會出現(xiàn)課上短暫的停頓等影響教學(xué)進度的情況.因此師生應(yīng)該有意識地挖掘并熟悉智慧課堂系統(tǒng)里常用功能的技術(shù)操作,在合適的時機使用,使信息技術(shù)的效益最優(yōu)化.

6 總結(jié)與展望

在本節(jié)課的設(shè)計與實施中,我們利用信息技術(shù)、借助Geogebra 軟件,使得學(xué)生對極值點偏移的含義有了直觀的認(rèn)識;以及結(jié)合波利亞解題理論,設(shè)置問題串進行探究,總結(jié)出了解決極值點偏移問題的通性通法.在今后的教學(xué)中,仍需積極探索信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)整合的模式,提高課堂效率,從而提升課堂教學(xué)效果.

此外,對于此類難度較大的專題教學(xué),用好基本模型,練熟常規(guī)方法,悟透基本思想至關(guān)重要.應(yīng)讓學(xué)生在課上知其然,也知其所以然,從而能夠在課堂之外,借助已學(xué)的解題思想和方法解決其他相似的問題.

例(拐點的偏移問題) 設(shè)函數(shù)f(x) =a2x -2aln(ax)(a ＞0),A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))是f(x)的圖像上不同的兩點,且滿足f(x1)+f(x2)=0,證明:x1+x2＞