2020年全國Ⅰ卷圓錐曲線解答題的拓展探究與教學(xué)啟示*

廣東省佛山市順德區(qū)容山中學(xué)(528303) 賈中偉

云南省云南師范大學(xué)信息學(xué)院(650503) 唐明超

廣東省佛山市順德區(qū)容山中學(xué)(528303) 潘敬貞

1 試題呈現(xiàn)

(2020年課標(biāo)全國Ⅰ卷理科第20 題)已知A,B分別為橢圓E:+y2= 1(a ＞1)的左、右頂點(diǎn),G為E的上頂點(diǎn),= 8,P為直線x= 6 上的動點(diǎn),PA與E的另一交點(diǎn)為C,PB與E的另一交點(diǎn)為D.

(1)求E的方程;

(2)證明:直線CD過定點(diǎn).

該題以橢圓為背景,結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算給出一個(gè)確定的橢圓,研究定直線上的動點(diǎn)與長軸兩端點(diǎn)的連線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)所確定的直線的性質(zhì).試題呈現(xiàn)方式較常規(guī),符合課標(biāo)要求,是學(xué)生較為熟悉的定點(diǎn)問題.重點(diǎn)考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算,邏輯推理與數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng),文理同題亦體現(xiàn)了試題的命制緊扣新高考改革的方向.

2 試題解析

(1)由已知可得:A(-a,0),B(a,0),G(0,1),即可求得=a2-1,結(jié)合已知條件可得a2= 9,所以E的方程為+y2=1.

(2)設(shè)P(6,y0),可得直線AP的方程為:y=聯(lián)立直線AP的方程與橢圓方程可得:整理得(y20+9)x2+6y20x+9y20-81 = 0,所以x1x2=由x1=-3 得x2=從而y2=所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為同理可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為所以,直線CD的方程為:

整理可得:

化簡得:y=故直線CD過定點(diǎn)

試題的解答過程突出通法常法,還原解析幾何最本質(zhì)的特征即用代數(shù)運(yùn)算研究幾何性質(zhì),以求解直線與曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為突破口,進(jìn)而得出直線方程,再基于直線方程的特點(diǎn)得出直線的位置關(guān)系.試題整體上思維難度不大,具有鮮明的起點(diǎn)低、入口寬等特點(diǎn),第(2)題要解決的問題目標(biāo)明確,重點(diǎn)考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的基本方法與能力.

3 問題提出

問題1:該題呈現(xiàn)的是一個(gè)具體的橢圓和一條確定的直線,如果將橢圓一般化即給出的橢圓是任意的橢圓(文章為了討論方便,默認(rèn)橢圓均為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓),直線CD還能過定點(diǎn)嗎?

問題2:如果既將橢圓一般化,也將直線一般化為垂直于x軸的任意直線x=m(m /= 0),此時(shí)直線CD還能過定點(diǎn)嗎?

問題3:逆向思考,已知直線CD過定點(diǎn)(m,0),與橢圓分別交于點(diǎn)C、D,記A、B分別為橢圓的左右頂點(diǎn),設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)P,動點(diǎn)P的軌跡是一條垂直于x軸的直線嗎?

4 問題探究

4.1 探究問題1

題設(shè)1:已知A、B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn),P為直線x=6 上的動點(diǎn),PA與E的另一交點(diǎn)為C,PB與E的另一交點(diǎn)為D;證明直線CD過定點(diǎn).

證明:設(shè)P(6,y0),可得直線AP的方程為:y=聯(lián)立方程可得:整理得[b2(a+6)2+a2y20]x2+2a3y20x+a4y20-a2b2(a+6)2=0,所以x1x2=又因?yàn)閤1=-a,所以另一個(gè)根x2=從而y2=所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為同理可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為由兩點(diǎn)式求直線CD的方程為:y=故直線CD過定點(diǎn)

從問題1 的探究過程可以看出代數(shù)運(yùn)算較為復(fù)雜,但是最終推理結(jié)果卻相對簡潔.結(jié)合幾何畫板動態(tài)演示發(fā)現(xiàn)動直線CD確實(shí)經(jīng)過位于x軸上的一個(gè)定點(diǎn),說明該問題具有一般性.觀察問題1 的結(jié)論發(fā)現(xiàn)定點(diǎn)橫坐標(biāo)為x=恰好包含了橢圓方程的基本元素a2與定直線方程x=6,不能排除這是巧合,但是亦有可能說明定點(diǎn)確實(shí)只與a2及定直線方程有關(guān).可以猜想在一般情況下,給定直線x=m(m /= 0)時(shí),直線CD的定點(diǎn)坐標(biāo)為

4.2 探究問題2

由于計(jì)算過程較復(fù)雜,可以借助幾何畫板動態(tài)演示,發(fā)現(xiàn)猜想成立,從而可以得出結(jié)論1 如下.

結(jié)論1:已知A、B分別為橢圓E:=1(a ＞1)的左、右頂點(diǎn),P為直線x=m上的動點(diǎn),PA與E的另一交點(diǎn)為C,PB與E的另一交點(diǎn)為D,則直線CD過定點(diǎn)

4.3 探究問題3

借助幾何畫板動態(tài)演示后發(fā)現(xiàn)問題3 的猜想成立,從而可以得出結(jié)論2 如下.

結(jié)論2:已知A、B分別為橢圓E:=1(a ＞1)的左、右頂點(diǎn),點(diǎn)M(m,0)是橢圓長軸上異于左右端點(diǎn)的任意一點(diǎn),過點(diǎn)M(m,0)的動直線交橢圓于C、D兩點(diǎn),則動直線AC與BD交點(diǎn)P的軌跡是直線x=

5 問題的推廣

基于以上3 個(gè)問題的探究過程,可以大膽猜想當(dāng)AB是橢圓上過定點(diǎn)(m,0)的一條動弦時(shí),相交弦AB與CD的端點(diǎn)連線AC與BD的交點(diǎn)P的軌跡也是一條定直線,且方程為x=結(jié)合幾何畫板動態(tài)演示發(fā)現(xiàn)猜想成立,從而可以得出結(jié)論3 如下.

結(jié)論3:如果A、B是橢圓上的任意兩點(diǎn),C、D也是橢圓上的任意兩點(diǎn),且線段AB與CD相交于點(diǎn)M(m,0),則稱線段AB與CD是交點(diǎn)在長軸上的兩條相交弦,那么動直線AC與BD交點(diǎn)P的軌跡是直線x=

6 問題的進(jìn)一步推廣

既然橢圓有如此優(yōu)美的性質(zhì),那么雙曲線會不會也有類似的性質(zhì)呢? 按照從特殊到一般的思路探究雙曲線中的情況,先對試題進(jìn)行簡單變式得到問題4,接著在問題4 的基礎(chǔ)上借助幾何畫板動態(tài)演示進(jìn)行推廣.

6.1 問題4 推廣

問題4:已知A、B分別為雙曲線E:-y2= 1 的左、右頂點(diǎn),P為直線x=6 上的動點(diǎn),PA與E的另一交點(diǎn)為C,PB與E的另一交點(diǎn)為D.證明:直線CD過定點(diǎn).

解析:設(shè)P(6,y0),可得直線AP的方程為:y=(x+3),聯(lián)立直線AP的方程與橢圓方程可得:整理得(y20-9)x2+ 6y20x+ 9y20+81 = 0,所以x1x2=因?yàn)閤1=-3 得x2=從而y2=所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為同理可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為所以,直線CD的方程為:

整理可得:

故直線CD過定點(diǎn)

從問題4 的解答過程中發(fā)現(xiàn)直線CD過定點(diǎn)而且不應(yīng)該只是巧合,所以大膽猜想結(jié)論1 與結(jié)論2對雙曲線也成立.進(jìn)一步利用幾何畫板檢驗(yàn)結(jié)論3 對雙曲線也一樣成立.

6.1 推廣到拋物線

通過以上的探究發(fā)現(xiàn)橢圓與雙曲線具有相同的性質(zhì),接下來探究拋物線中的情況.由于拋物線是非閉合曲線,只有一個(gè)頂點(diǎn),可以從最特殊的情況著手探究.

問題5:已知拋物線E的方程為y2=4x,過焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P是準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn),延長AP交拋物線于點(diǎn)C,延長BP交拋物線于點(diǎn)D,求直線CD與直線AB的交點(diǎn)坐標(biāo).

解析:依題意知A(1,-2),B(1,2),設(shè)P(-1,1),則lP A:y=聯(lián)立直線lP A與拋物線E,解得; 聯(lián)立直線lP B與拋物線E,解得D(9,6); 所以lCD:y=聯(lián)立lAB與lCD得解得交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0).

問題6:已知拋物線E的方程為y2= 4x,過點(diǎn)(2,0)的兩條相交弦所在直線方程分別為lAB:y=x -2,lCD:y=-x+2,其中A，B，C，D 為相交弦與拋物線的交點(diǎn)，點(diǎn)A,C均在第一象限,求直線AC與BD的交點(diǎn)P的坐標(biāo).

解析:聯(lián)立直線lAB與拋物線E,解得同理可得所以lAC:y=聯(lián)立lAC與lBD解得交點(diǎn)坐標(biāo)為P(-2,0),即交點(diǎn)P(-2,0)在直線x=-2 上.

從問題5 的解答過程可以看出當(dāng)定直線為x=-1 時(shí),過定點(diǎn)F(1,0)的弦與拋物線交于A,B兩點(diǎn),連接PA交拋物線于點(diǎn)C,連接PB交拋物線于點(diǎn)D,則直線CD也過定點(diǎn)F(1,0).從問題6 的解答過程中可以看出,過定點(diǎn)(2,0)的兩條相交弦分別交拋物線于A,B,C,D四點(diǎn),且直線AC與BD相交于定直線x=-2 上一點(diǎn)x=-m.

由于代數(shù)運(yùn)算推理非常復(fù)雜,仍然選擇使用幾何畫板進(jìn)行演示驗(yàn)證,猜想成立,得出結(jié)論4 如下.

結(jié)論4:過拋物線對稱軸上任意一定點(diǎn)M(m,0) 的兩條弦分別為AB與CD,則同側(cè)兩端點(diǎn)所在直線AC與BD的交點(diǎn)P的軌跡是一條定直線x=-m.反之,連接定直線x=-m上任意一點(diǎn)P與拋物線的任意弦AB的兩個(gè)端點(diǎn),直線PA,PB分別交拋物線于C,D兩點(diǎn),則弦AB與弦CD有公共點(diǎn)M(m,0).

文中前后給出了四個(gè)結(jié)論,其中結(jié)論1、結(jié)論2 與結(jié)論3的本質(zhì)都是一樣的,反映的是橢圓或雙曲線中兩條相交弦端點(diǎn)所在直線的交點(diǎn)軌跡是一條垂直于對稱軸的直線,而且直線方程與兩條相交弦的交點(diǎn)坐標(biāo)有著密切聯(lián)系,即直線方程與交點(diǎn)橫坐標(biāo)的乘積為定值a2.結(jié)論3 是結(jié)論1 與結(jié)論2 的加強(qiáng).結(jié)論4 反映了同一個(gè)問題背景在拋物線,橢圓和雙曲線中所呈現(xiàn)的情況是不一樣的,在拋物線中相交弦的交點(diǎn)橫坐標(biāo)與定直線方程的和為定值0.總之,由試題引出的四個(gè)結(jié)論是圓錐曲線焦點(diǎn)弦問題中的瑰寶,同時(shí)也體現(xiàn)了命題者的高超技藝與淵博學(xué)識,試題看似平淡無奇,實(shí)則內(nèi)涵豐富,可以對其進(jìn)行深入挖掘和拓展學(xué)習(xí).

7 教學(xué)啟示

7.1 理解《課標(biāo)》,明確方向

《課標(biāo)》是教學(xué)與考試的依據(jù),教學(xué)過程是將課程標(biāo)準(zhǔn)相關(guān)要求進(jìn)行分解完成的過程,考試是對課程標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的學(xué)習(xí)任務(wù)及學(xué)習(xí)目標(biāo)完成情況的檢測與評價(jià).量變的積累是發(fā)生質(zhì)變的必要過程,考試的成績是教學(xué)過程中所有活動經(jīng)驗(yàn)的集中體現(xiàn),所以抓實(shí)過程,夯實(shí)基礎(chǔ),在落實(shí)“四基”與“四能”上下功夫很重要.課標(biāo)明確要求學(xué)生在學(xué)習(xí)解析幾何專題的過程中認(rèn)識直線、圓、橢圓、拋物線、雙曲線的幾何特征,能建立它們的標(biāo)準(zhǔn)方程,會運(yùn)用代數(shù)方法進(jìn)一步認(rèn)識并研究圓錐曲線的性質(zhì)以及它們的位置關(guān)系.所以該部分的基礎(chǔ)知識是要能熟練掌握曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單性質(zhì);基本技能是要能在建系的基礎(chǔ)上用代數(shù)運(yùn)算描述曲線的幾何特征;由淺入深,在問題解決的過程中體會并深化轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合等思想;過程的積累與方法的掌握關(guān)鍵在于反思和實(shí)踐.所以,注重基礎(chǔ)知識的積累,引導(dǎo)學(xué)生去體驗(yàn)并經(jīng)歷知識的發(fā)生與發(fā)展過程,積極總結(jié)反思形成能力是教學(xué)活動應(yīng)該堅(jiān)持并遵循的基本原則[1].

7.2 研究考題,創(chuàng)設(shè)探究性學(xué)習(xí)活動

學(xué)習(xí)的目的在于提升能力,結(jié)果將付諸于實(shí)際運(yùn)用.引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會是教學(xué)活動的基礎(chǔ),發(fā)展能力是階段性教學(xué)目標(biāo),關(guān)鍵要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會主動學(xué)習(xí).圓錐曲線中的一些定點(diǎn)定值問題是高考考查的重點(diǎn),承載著試題的主要區(qū)分功能,解決這些問題往往需要具有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)學(xué)建模能力,而這些能力的形成和發(fā)展離不開必要的探究性學(xué)習(xí)過程.探究性學(xué)習(xí)活動往往需要在有計(jì)劃有組織的前提下開展,文章所呈現(xiàn)的試題研究過程就可以作為探究性學(xué)習(xí)活動組織學(xué)生學(xué)習(xí).所以探究性學(xué)習(xí)課程的開發(fā)離不開研究試題,尤其是研究高考試題,在研究中體會命題者的思想,思考命題規(guī)律,尋找教學(xué)增長點(diǎn).

7.3 注重過程性教學(xué)

過程性教學(xué)強(qiáng)調(diào)回歸問題的本質(zhì),回歸知識的發(fā)生與發(fā)展過程.問題解決過程中有意識的追問本質(zhì)是什么,能不能進(jìn)行特殊化或者一般化,能不能將結(jié)論進(jìn)行遷移或者推廣就顯得很重要[2].在階段性學(xué)習(xí)過程中,基于學(xué)生的元認(rèn)知發(fā)展水平,由淺入深,實(shí)現(xiàn)知識與能力的層級遞進(jìn)式發(fā)展;在復(fù)習(xí)備考階段,以點(diǎn)帶面,嘗試多角度探究同一個(gè)問題,甚至可以是一題一課或者一題多課,實(shí)現(xiàn)知識的橫向遷移,引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建知識體系,形成關(guān)鍵能力.遵循從特殊到一般、從具體到抽象、從簡單到復(fù)雜的探究原則,厘清知識的發(fā)生與發(fā)展邏輯,體驗(yàn)知識的發(fā)生與發(fā)展過程,夯實(shí)過程,積累活動經(jīng)驗(yàn),將學(xué)習(xí)者的角色適當(dāng)加入一點(diǎn)研究者的元素,在研究中學(xué)習(xí),在學(xué)習(xí)中開展研究,進(jìn)而實(shí)現(xiàn)素養(yǎng)的真正提升.