時變阻尼系數(shù)的等溫可壓縮歐拉方程組光滑解的爆破研究

于慧敏 隋 瑩

( 山東師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院, 250358, 濟南 )

1 引 言

在拉格朗日坐標系下, 本文考慮含時變阻尼系數(shù)的一維可壓縮Euler方程

(1)

(τ,u)(x,0)=(τ0,u0)(x)

(2)

下古典解的爆破現(xiàn)象.

關于雙曲守恒律方程組的奇性形成問題, 已有大量的文章進行了研究. 文獻[1]中有關于該問題研究的綜述. 總體來說, 在一維空間中, 小初值解(即在常狀態(tài)附近的解)的爆破結果已經(jīng)比較完善[2-6].但是, 目前關于大初值問題的研究還遠遠不夠. 對于2×2的一致嚴格雙曲系統(tǒng), Lax[3]在1964年給出了一個奇性的形成結果, 這種方法可直接應用于γ>3的p-系統(tǒng)的研究中, 但是對于3>γ≥1的情況Lax的方法并不適用, 其主要的原因是原來的p-系統(tǒng)隨著t→∞可能失去嚴格雙曲性.

陳庚等人[7]通過研究p-系統(tǒng)在3>γ>1時密度的下界估計, 成功地繞開了Lax[3]文章中所需要的嚴格雙曲條件, 并得到了等熵(γ>1)p-系統(tǒng)“大”初值解爆破的充要條件.眾所周知,阻尼效應從能量估計的角度來看不能提高解的正則性. 一個自然的問題為：若在p-系統(tǒng)中考慮(與時間相關的)阻尼效應的影響, 光滑解的爆破會如何變化呢？

另外, 一般來講系統(tǒng)(1)光滑解的爆破有三種重要的形式：

若方程組(1)、(2)的古典解爆破, 那么它們是以1)-3)中的哪種形式產生的奇性呢？是否形成了“激波”(即未知函數(shù)自身有界但導數(shù)爆破)？這些都是值得研究的問題.

2020年,陳庚等人[8]研究了含時變阻尼可壓縮Euler方程的Cauchy問題光滑解的整體存在性與有限時間爆破的問題. 作者指出阻尼系數(shù)中的參數(shù)λ和m會影響方程光滑解的全局性. 然而, 文獻[8]中有個重要的假設：即初始的兩個Riemann空間變量必須是單調的. 在本文中,研究帶有時間依賴阻尼系數(shù)的等溫Euler方程光滑解的激波形成問題, 值得指出的是本文并不需要初始Riemann不變量的單調性假設, 并且本文所采用的方法可應用到γ>1的情況.

受文獻[3]與文獻[7]的啟發(fā), 本文定義了與Riemann不變量空間導數(shù)相關的兩個變量, 并證明了這兩個變量沿著相應的方向導數(shù)滿足Riccati方程, 利用Riccati方程解的形式得到了帶有時變阻尼系數(shù)的等溫Euler方程組Riemann不變量導數(shù)爆破的充分條件. 特別地, 當λ=0時, 系統(tǒng)(1)轉化為具有常系數(shù)阻尼的等溫可壓縮Euler方程, 當m=0時, 系統(tǒng)(1)對應于著名的等溫Euler方程. 在這兩種情況下,可以得到光滑解存在的充要條件. 另外, 作為主要結論的副產品,本文給出了初值問題(1)、(2)任意光滑解密度的下界估計, 這對進一步研究該方程組整體解的其他性態(tài), 諸如大BV解的整體存在性、長時間行為等提供了基礎.

2 預備知識和Riccati型方程

對于齊次可壓縮的等溫Euler方程

(3)

用c表示非線性拉格朗日聲速, 則

(4)

通過計算, 可以得到方程(3)的兩個特征值為

λ1=-λ2=c.

(5)

兩個Riemann不變量是

(6)

利用Riemann不變量z和w將方程(1)對角化為

(7)

(8)

其中

(9)

設α=wx,β=zx, 現(xiàn)定義兩個新變量

(10)

(11)

下證y和q滿足以下引理1：

引理1設τ(x,t)和u(x,t)為方程(1)、(2)的古典解,y和q如(10)式與(11)式所定義, 則y和q滿足如下方程

y'=-a2y2-a0,

(12)

q、=-a2q2-a0,

(13)

其中

(14)

(15)

證由(7)式可得

則

(16)

又由(4)式和(6)式得

因此(16)式變成

(17)

同理可得

(18)

以上兩個方程(17)和(18)是關于α和β沿兩個不同特征方向的方程.

下面將Riemann不變量關于空間變量的導數(shù)(α或β)轉化成比容沿特征線的導數(shù), 從而實現(xiàn)方程(17)和方程(18)的解耦. 由(1)式和(9)式得

(19)

因此

再由(17)式得

(20)

(21)

即

(22)

現(xiàn)定義一個新的變量

(23)

則

從而(21)式可以變?yōu)?/p>

(24)

這里

(25)

令

(26)

(27)

則(24)式變成

y、=-a2y2-a0，

其中

(28)

(29)

同理, 由(1)式和(9)式可得

故

并由(18)式得

因此

(30)

類似(23)式,定義一個新的變量

(31)

因此

故(30)式可以寫成

(32)

q'=-a2q2-a0,

(33)

3 密度的下界估計

引理2由問題(1)與(2)的古典解τ(x,t)和u(x,t)出發(fā)所定義的變量y和q,可得下面的估計：

y(x,t)≤max {1,sup(y(x,0))}∶=Y,

(34)

q(x,t)≤max {1,sup(q(x,0))}∶=Q.

(35)

證當λ>0時,a0,a2都是非負的, 很容易由引理1證得引理2成立.

下面給出任意經(jīng)典解的密度隨時間變化的下界估計, 這一點在本文主要結論的證明中起著非常重要的作用.

引理3對于方程組(1)與(2)的古典解τ(x,t)和u(x,t), 下述結論成立：

(36)

其中Y和Q如(34)式和(35)式中所定義.

證當λ≠1時, 由引理2和(7)式、(10)式可得

(37)

類似地, 由引理2和(8)式、(11)式可得

因此

對上式兩邊關于t積分可得

(38)

于是有

τ-1(x,t)=ρ(x,t)

(39)

當λ=1時, 與上面的證明類似可得

(40)

從而可以得到

證明完畢.

4 主要結果

定理1假設初值(τ,u)(x,0)∈C1(R)滿足下述條件：

1)τ(x,t),|u(x,t)|,|τx(x,t)|,|ux(x,t)|一致有上界, 即存在某一常數(shù)M0>0, 使得

τ(x,t)+|u(x,t)|+|τx(x,t)|+|ux(x,t)|

2)τ(x,0)一致遠離零, 即存在δ0>0使得τ(x,0)>δ0;

3) 如果存在某一點x0∈R滿足

(41)

或者

(42)

則ux或者τx一定在有限時間內爆破, 即存在t*>0,使得

(43)

證由(12)可得

y'=-a2y2-a0<-a2y2<0,

將上述不等式的兩邊關于t沿特征積分得

(44)

則

(45)

因此

(46)

由不等式(46)可知：若存在x0∈R使得y(x0,0)<0, 并且

則一定存在有限時間t*使得y(x(t),t)在t*之前爆破.

(47)

由(14)式可得

(48)

類似,當λ=1時, 由(40)式可知, 存在一個T>0，當t>T時有

又由(14)式可得

(49)

5 評論和展望

1) 由Riemann不變區(qū)域理論容易知道問題(1)與(2)的古典解τ(x,t)和u(x,t)都是關于時間一致有界的, 即存在M(僅與初值有關)使得0≤τ-1(x,t)≤M, |u(x,t)|≤M, 從而定理1說明形成奇性是由激波引起的.

2) 當m=0或λ=0時, 引理1中的a0=0, 此時, 利用關于標準的Riccati方程的討論, 可得如下經(jīng)典解爆破的充要條件的定理2.

定理2假設初值(τ,u)(x,0)∈C1(R),滿足：

1)τ(x,t),|u(x,t)|,|τx(x,t)|,|ux(x,t)|一致有上界, 即存在某一常數(shù)M0>0, 使得

τ(x,t)+|u(x,t)|+|τx(x,t)|+|ux(x,t)|

2)τ(x,0)一致遠離零, 即存在δ0>0使得τ(x,0)>δ0,

則問題(1)與(2)存在整體古典解的充要條件為：對任意x∈R都有

和

即初始Riemann不變量處處不壓縮(wx(x,0)≥0,zx(x,0)≥0，?x∈R)，原方程存在整體古典解；只要w或z存在一點壓縮, 原方程的解就會爆破.

3) 由定理2可知, 相比于p-系統(tǒng), 對于帶有阻尼的p-系統(tǒng)需要初始Riemann不變量“更大”的壓縮性(即(41)式和(42)式)才能保證古典解的爆破. 這說明從能量估計的角度來看阻尼效應雖不能得到系統(tǒng)解更高的正則性, 但還是能在一定程度上阻礙系統(tǒng)古典解的爆破.