圓形均勻帶電薄板電場的數(shù)值積分和可視化

周群益,莫云飛,侯兆陽,周麗麗

(1.廣州理工學(xué)院 通識教育學(xué)院,廣東 廣州,510540;2.長沙學(xué)院 電子信息與電氣工程學(xué)院,湖南 長沙,410022;3.長安大學(xué) 理學(xué)院應(yīng)用物理系,陜西 西安,710064;4.贛南醫(yī)學(xué)院 醫(yī)學(xué)信息工程學(xué)院,江西 贛州,341000)

均勻帶電圓形薄板電場的計算比較復(fù)雜,一般只推導(dǎo)了軸線上的電勢和電場強(qiáng)度的公式[1–5]。這個問題沒有一般的解析解,少有研究這個問題的文獻(xiàn)。本文利用環(huán)電荷的場強(qiáng)公式,建立了電勢和電場強(qiáng)度的積分公式,用MATLAB的數(shù)值積分方法解決了計算問題,并繪制電勢和場強(qiáng)的曲面、二維等勢線和電場線。

1 圓板電荷的電勢和場強(qiáng)

(1)電勢。在直角坐標(biāo)系中,圓環(huán)電荷的電勢為[7–9],其中:Q是圓環(huán)的帶電量,默認(rèn)為Q>0。RM是圓環(huán)上的點(diǎn)到場點(diǎn)的最大距離;K(m)是第一類完全橢圓積分[10–11],m是模數(shù)(a是圓環(huán)的半徑)。

圖1 圓板電荷電勢的示意圖

當(dāng)x=0時,最大距離為,模數(shù)為m=m(0,z)=0,第一類完全橢圓積分為K(0)=π/2。圓板在軸線上產(chǎn)生的電勢為

當(dāng)z→∞時,U(0,z)→0,即:無窮遠(yuǎn)處是零勢點(diǎn)。當(dāng)z=0時,可得圓心處的電勢

當(dāng)x=0時,第二類完全橢圓積分為E(0)=π/2。圓板在軸線上產(chǎn)生的場強(qiáng)分別為Ex=0,。這是電磁學(xué)中的結(jié)果。當(dāng)a→∞時,可得無限大帶電薄板的場強(qiáng)。

2 公式的無量綱化

3 電場的可視化

利用MATLAB設(shè)計程序,用數(shù)值積分方法很容易求出電勢和電場強(qiáng)度的積分值(見附錄)。

(1)如圖2(a)所示,均勻帶電圓板在軸線上的電勢U(0,z)是偶對稱曲線,z=0處是一個尖點(diǎn),表示圓心的電勢最高U(0,0)=2U0;在離圓心較遠(yuǎn)的地方,帶電圓板產(chǎn)生的電勢接近于點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電勢。如圖2(b)所示,均勻帶電圓板在軸線上的場強(qiáng)Ez(0,z)是奇對稱曲線,在z=0處,Ez(0,0)=0,這是圓心的場強(qiáng);在z=0+處,Ez(0,0+)=2E0,這是上表面的場強(qiáng);在z=0-處,Ez(0,0-)=-2E0,這是下表面的場強(qiáng),負(fù)號表示方向相反;在離圓心較遠(yuǎn)的地方,帶電圓板產(chǎn)生的場強(qiáng)接近于點(diǎn)電荷產(chǎn)生的場強(qiáng)。

圖2 均勻帶電圓板在軸線的電勢(a)和場強(qiáng)(b)

(2)如圖3所示,均勻帶電圓板的電勢U(x,z)是一個單峰曲面,是關(guān)于x和z的偶函數(shù);三維等勢線分布在曲面上,沿著Oz方向的電勢U(0,z)曲線也分布在曲面上。點(diǎn)(0,0)處的電勢最高,當(dāng)z=0而x在區(qū)間[-a,a]的電勢U(x,0)并不是常數(shù),說明圓板表面并不是一個等勢面。

圖3 均勻帶電圓板的電勢

(3)如圖4所示,圓板電荷場強(qiáng)的x分量Ex(x,z)是關(guān)于x的奇函數(shù),關(guān)于z的偶函數(shù);Ex在(±a,0)處各有1個尖銳的“峰”和“谷”,說明兩處的Ex很大而方向相反。當(dāng)x=0時,Ex=0的直線在曲面上。

圖4 均勻帶電圓板場強(qiáng)的x分量

(4)如圖5所示,場強(qiáng)的z分量Ez(x,z)是關(guān)于x的偶函數(shù),關(guān)于z的奇函數(shù);當(dāng)-a

圖5 均勻帶電圓板場強(qiáng)的z分量

(5)如圖6所示,合場強(qiáng)E的大小E(x,z)是關(guān)于x和z的偶函數(shù),曲面在(±a,0)處有一對“犄角”,這是因?yàn)?±a,0)處的場強(qiáng)E比較大。當(dāng)x=0時,E=|Ez|的曲線在曲面上,這是軸線上場強(qiáng)的大小,(0,0)處是一個鞍點(diǎn)。

圖6 均勻帶電圓板的合場強(qiáng)

(6)如圖7所示,合場強(qiáng)E的方向角α隨著Oxz平面的極角φ(極軸是x軸,逆時針方向?yàn)檎?的增加而增加,在φ=0且x>a處,α=0;在φ=±π/2處,α=±π/2;在φ=π且x<-a處,α發(fā)生從π到-π的躍變,這是因?yàn)棣泻?π是同一角度;在圓板的兩邊(-a

圖7 均勻帶電圓板合場強(qiáng)的方向

(7)如圖8所示,二維等勢線就是圖2中的三維等勢線在Oxz平面上的投影。電勢較低的等勢線包圍圓板,電勢越低,等勢線越圓;電勢較高的等勢線穿過圓板,說明均勻帶電的圓板表面不是等勢面。除了軸線上之外,圓板表面的電場線與表面并不垂直,也說明圓板表面不是等勢面。電場線與等勢線垂直,在點(diǎn)(±a,0)附近,電場線比較密集,說明兩處的場強(qiáng)比較大。

圖8 均勻帶電圓板的等勢線和電場線

4 結(jié)束語

本文建立了圓板電荷的電勢和電場強(qiáng)度的積分公式,將公式無量綱化,用MATLAB的數(shù)值積分的方法計算數(shù)值,用簡單的指令繪制了電勢和電場強(qiáng)度的分布曲面和二維等勢線和電場線,說明了電場分布的規(guī)律。當(dāng)積分公式?jīng)]有解析解時,數(shù)值積分是十分有用的方法。由繪制的圖形可知:均勻帶電圓板并不是等勢面(體),場強(qiáng)并不與表面垂直,因而不是導(dǎo)體。圓形帶電導(dǎo)體薄板的電勢和電場還需要深入研究。

附錄: