凸度量空間中的廣義凸性*

甘慶齡， 曠華武**， 楊光惠

(貴州大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，貴陽(yáng) 550025)

0 引 言

凸集與凸映射、廣義凸集與廣義凸映射，分別是凸性理論和廣義凸性理論的主要研究?jī)?nèi)容之一，在線性規(guī)劃、無(wú)約束優(yōu)化、約束優(yōu)化、多目標(biāo)規(guī)劃、博弈論等最優(yōu)化理論，以及不動(dòng)點(diǎn)理論、非線性分析等研究中有非常重要的應(yīng)用。有關(guān)廣義凸性的研究可參考文獻(xiàn)[1-9]。在通常意義下，例如在Rn中，凸函數(shù)、擬凸函數(shù)等概念是基于基礎(chǔ)線性空間中的標(biāo)準(zhǔn)凸結(jié)構(gòu)W(x,y,λ)=λx+(1-λ)y[1]。因此，關(guān)于凸性與廣義凸性的研究，通常在線性空間中進(jìn)行[1-3,7-9]，在沒(méi)有線性結(jié)構(gòu)的度量空間中，相關(guān)理論較少。另一方面，正如線性空間，度量空間也是數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的基本空間之一。因?yàn)槎攘靠臻g不必具有線性結(jié)構(gòu)，不一定能像線性空間一樣引進(jìn)標(biāo)準(zhǔn)的凸集、凸函數(shù)等概念，所以能否突破這種限制，即能否在度量空間中引入某種結(jié)構(gòu)，使它具有線性空間中標(biāo)準(zhǔn)凸結(jié)構(gòu)的某些性質(zhì)，從而可以在度量空間中定義“凸集”與“凸函數(shù)”等，是值得探討的。

1970年，Takahashi[4]首次在度量空間中引進(jìn)了凸結(jié)構(gòu)，命名這類度量空間為凸度量空間，并介紹了凸度量空間中的一些基本概念和基本理論，推廣了一些不動(dòng)點(diǎn)定理；2016年，Abdelhakim[5]在凸度量空間首次引入了W-凸函數(shù)與W-嚴(yán)格凸函數(shù)概念，討論了其性質(zhì)，建立了一個(gè)W-凸函數(shù)的判別準(zhǔn)則，獲得了兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)定理；2017年，Jafari[6]在凸度量空間首次引入了W-擬凸函數(shù)，研究了平衡問(wèn)題。注意到：第一，自Takahashi定義凸度量空間以來(lái)，對(duì)凸度量空間中不動(dòng)點(diǎn)定理的研究較多[4-6,11]，對(duì)凸度量空間中廣義凸集與廣義凸函數(shù)的研究較少；第二，與線性空間比較，例如與文獻(xiàn)[1]比較，文獻(xiàn)[4-6]中對(duì)廣義凸函數(shù)類型的定義是不完善的，W-凸函數(shù)的判別準(zhǔn)則僅有一個(gè)且條件較強(qiáng)。本文的目的是應(yīng)用研究凸性及廣義凸性的基本思想方法，尤其是文獻(xiàn)[1]及[2,7]中的基本思想方法,針對(duì)凸度量空間中的抽象凸結(jié)構(gòu)，引進(jìn)3種新廣義W-凸函數(shù)，研究6種廣義W-凸函數(shù)相關(guān)問(wèn)題，包括中間點(diǎn)W-凸函數(shù)的性質(zhì)、稠密性定理及其應(yīng)用、W-凸函數(shù)的一些判別準(zhǔn)則等。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[4]設(shè)(X,d)是度量空間，W:X×X×[0,1]→X是映射，如果d(z,W(x,y,λ))≤λd(z,x)+(1-λ)d(z,y),?x,y,z∈X，λ∈[0,1]，則稱W是(X,d)上的一個(gè)凸結(jié)構(gòu)，(X,d,W)是一個(gè)凸度量空間。

定義2[4]設(shè)(X,d,W)是凸度量空間，K?X，若任意x,y∈K，任意λ∈[0,1]，有W(x,y,λ)∈K，則稱K是W-凸集。

雙曲空間(hyperbolic space),包括具有線性結(jié)構(gòu)的賦范線性空間，不具有線性結(jié)構(gòu)的CAT(0)空間和Busemann凸空間，是凸度量空間。特別地，賦范線性空間按照標(biāo)準(zhǔn)凸結(jié)構(gòu)W(x,y,λ)=λx+(1-λ)y(?x,y∈X,?0≤λ≤1)構(gòu)成凸度量空間，W-凸集就是通常意義下的凸集。由于凸度量空間不一定具有線性結(jié)構(gòu)，不一定是線性空間，所以W-凸集不一定是通常意義下的凸集。

現(xiàn)在引進(jìn)凸度量空間中的3種廣義凸函數(shù)，為方便讀者，將已有3種一并列出。

定義3設(shè)(X,d,W)是凸度量空間，K?X是W-凸集，f:K→R。

(1) 如果?x,y∈K，?λ∈[0,1]，都有

f(W(x,y,λ))≤λf(x)+(1-λ)f(y)

稱f(x)為K上的W-凸函數(shù)[5]。

(2) 如果?x,y∈K，x≠y，?λ∈(0,1)，都有

f(W(x,y,λ))<λf(x)+(1-λ)f(y)

稱f(x)為K上的W-嚴(yán)格凸函數(shù)[5]。

(3) 如果?x,y∈K，f(x)≠f(y)，?λ∈(0,1)，都有

f(W(x,y,λ))<λf(x)+(1-λ)f(y)

稱f(x)為K上的W-半嚴(yán)格凸函數(shù)。

(4) 如果?x,y∈K，?λ∈[0,1]，都有

f(W(x,y,λ))≤max{f(x),f(y)}

稱f(x)為K上的W-擬凸函數(shù)[6]。

(5) 如果?x,y∈K，x≠y，?λ∈(0,1)，都有

f(W(x,y,λ))

稱f(x)為K上的W-嚴(yán)格擬凸函數(shù)。

(6) 如果?x,y∈K，f(x)≠f(y)，?λ∈(0,1)，都有

f(W(x,y,λ))

稱f(x)為K上的W-半嚴(yán)格擬凸函數(shù)。

對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)凸結(jié)構(gòu)，W-凸函數(shù)、W-嚴(yán)格凸函數(shù)、W-半嚴(yán)格凸函數(shù)、W-擬凸函數(shù)、W-嚴(yán)格擬凸函數(shù)，W-半嚴(yán)格擬凸函數(shù)分別就是通常意義的凸函數(shù)，嚴(yán)格凸函數(shù)、半嚴(yán)格凸函數(shù)、擬凸函數(shù)、嚴(yán)格擬凸函數(shù)、半嚴(yán)格擬凸函數(shù),后6種函數(shù)的定義見(jiàn)文獻(xiàn)[1]。

嚴(yán)格W-凸函數(shù)既是W-凸的，又是W-半嚴(yán)格凸的和W-嚴(yán)格擬凸的；W-凸函數(shù)既是W-擬凸的，又是W-半嚴(yán)格擬凸的；嚴(yán)格W-擬凸函數(shù)既是W-擬凸的，又是W-半嚴(yán)格擬凸的；半嚴(yán)格W-凸函數(shù)是半嚴(yán)格W-擬凸的。這8種蘊(yùn)含關(guān)系的反蘊(yùn)含關(guān)系，甚至對(duì)線性空間中的標(biāo)準(zhǔn)凸結(jié)構(gòu)都不真，反例見(jiàn)文獻(xiàn)[1]。

為討論凸度量空間中的廣義凸性，引入條件(W)[10]。

(W)W(W(x,y,t),W(x,y,s),λ)=

W(x,y,λt+(1-λ)s)

?x,y∈X,t,s,λ∈[0,1]

賦范線性空間中的標(biāo)準(zhǔn)凸結(jié)構(gòu)、CAT(0)空間和Busemann空間中的凸結(jié)構(gòu)都滿足條件(W)。

取x0=(1,0,0)∈X，令f:X→R為

f(x)=arccosx1,?x=(x1,x2,x3)∈X

則f是W-凸函數(shù)，這是因?yàn)?/p>

f(W(x,y,λ))=d1(x0,W(x,y,λ))≤λd1(x0,x)+(1-λ)d1(x0,y)=λf(x)+(1-λ)f(y)?x,y∈X,?λ∈[0,1]

例2 設(shè)X為閉區(qū)間族[ai,bi]，其中0≤ai

W(Ii,Ij,λ)=[λai+(1-λ)aj,λbi+(1-λ)bj]

再通過(guò)Hausdorff距離定義X上的度量d，則(X,d,W)是凸度量空間[4]。容易驗(yàn)證凸結(jié)構(gòu)滿足條件(W)。令f,g:X→R為f([x,y])=x2+y2，?[x,y]∈X，有

易知f是W-嚴(yán)格凸函數(shù)，g是W-半嚴(yán)格凸函數(shù)，從而也是W-半嚴(yán)格擬凸函數(shù)，但不是其他4類函數(shù)。

引理1[4]設(shè)(X,d,W)是凸度量空間，那么?x,y∈X，λ∈[0,1]，有

(1)W(x,x,λ)=x,W(x,y,0)=y

W(x,y,1)=x

(2)d(x,W(x,y,λ))=(1-λ)d(x,y)

d(y,W(x,y,λ))=λd(x,y)

引理2[10]設(shè)(X,d,W)是凸度量空間，凸結(jié)構(gòu)W滿足條件(W)，有

(1)W(x,y,λ)關(guān)于λ是連續(xù)的；

(2) Synchronized性質(zhì)成立，即

W(x,y,λ)=W(y,x,1-λ)

?x,y∈X，λ∈[0,1]

2 中點(diǎn)W-凸性與稠密性定理

除非特別聲明，下文總設(shè)(X,d,W)是凸度量空間，凸結(jié)構(gòu)W滿足條件(W)，K?X是W-凸集，f:K→R。

引理3 設(shè)f為K上的W-半嚴(yán)格擬凸函數(shù)，x,y∈K且f(x)=f(y)，則

(1) 至多存在一個(gè)β∈(0,1)，使得

f(W(x,y,β))>f(x)=f(y)

(2) 若存在β∈(0,1)，使得

f(W(x,y,β))>f(x)=f(y)

則?λ∈[0,1]，λ≠β，有

f(W(x,y,λ))=f(x)=f(y)

W(x,y,λ1)=W(W(x,y,λ2)，W(x,y,0),λ)

由f為K上W-半嚴(yán)格擬凸函數(shù)與引理1,得

f(W(x,y,λ1))

f(W(x,y,λ2))

W(x,y,λ2)=W(y,x,(1-λ2))=

W(W(y,x,(1-λ1)),W(y,x,0),1-u)

注意到W(y,x,1-λ1)=W(x,y,λ1)，則由f的W-半嚴(yán)格擬凸性,得

f(W(x,y,λ2))

f(W(x,y,λ1))

這與f(W(x,y,λ1))

(2) 用反證法，由引理3(1)知，f(W(x,y,λ))≤f(x)=f(y),?λ∈(0,1),λ≠β。假設(shè)?λ0∈(0,1)，λ0≠β，使

f(W(x,y,λ0))

W(x,y,β)=W(y,x,(1-β))=

W(W(y,x,(1-λ0)),W(y,x,0),1-u)

以及

f(W(x,y,β))<

max{f(W(y,x,(1-λ0)))，f(x)}=f(x)

與已知條件矛盾。

引理4 若存在α∈(0,1)，使?x,y∈K，f(W(x,y,α))≤αf(x)+(1-α)f(y)，則有

(1) 對(duì)?x,y∈K，成立

(2) Λn?TW，其中

以及

TW={λ∈[0,1]|f(W(x,y,λ))≤

λf(x)+(1-λ)f(y),?x,y∈K}

證明(1) 因?yàn)?/p>

所以由條件(W)，對(duì)?x,y∈K，成立

因此由已知條件，得

等價(jià)于

α(1-α)f(x)+α(1-α)f(y)

事實(shí)上，當(dāng)0≤m≤2k時(shí)，因?yàn)?/p>

當(dāng)2k

設(shè)(X,d,W)是凸度量空間，K?X是W-凸集，f:K→R，如果存在α∈(0,1)，使

f(W(x,y,α))≤αf(x)+(1-α)f(y),?x,y∈K

對(duì)線性空間X及其標(biāo)準(zhǔn)凸結(jié)構(gòu)，若f:X→R且f是中間點(diǎn)凸的，那么[0,1]∩Q?T，其中T={t∈[0,1]:f(y+t(x-y))≤tf(x)+(1-t)f(y),?x,y∈X}。下證上述結(jié)果對(duì)中點(diǎn)W-凸函數(shù)也成立。

證明注意到：

k=λ1(λ1k)+(1-λ1)[λ2+(1-λ2)k]=

由W滿足條件(W)，成立

W(x,y,k)=

W(W(x,y,λ1k),W(x,y,λ2+(1-λ2)k,λ1)

W(x,y,λ1k)=

W(W(x,y,k),W(x,y,0),λ1)

W(x,y,λ2+(1-λ2)k)=

W(W(x,y,1),W(x,y,k),λ2)。

由λ1,λ2∈TW,知

f(W(x,y,k))≤λ1f(W(x,y,λ1k))+

(1-λ1)f(W(x,y,(λ2+(1-λ2)k)))≤

λ1[λ1f(W(x,y,k))+(1-λ1)f(y)]+

(1-λ1)[λ2f(x)+(1-λ2)f(W(x,y,k))]=

(1-λ1)λ2f(x)+(1-λ1)(1-λ2)f(W(x,y,k))

因此，得到

λ1(1-λ1)f(y)+(1-λ1)λ2f(x)

即有

證明由引理4，知

現(xiàn)在討論稠密性定理在優(yōu)化問(wèn)題中的應(yīng)用。

證明設(shè)x0∈K是f的局部極小值點(diǎn)，則?ε>0，?x∈Bε(x0)∩K，f(x0)≤f(x)。任取y∈K，由于K是W-凸集，知?λ∈(0,1)，W(x0,y,λ)∈K。由稠密性定理得[0，1]∩Q?TW。取充分接近1的有理數(shù)λ0∈[0，1]∩Q?TW，使

d(x0,W(x0,y,λ0))≤λ0d(x0,x0)+

(1-λ0)d(x0,y)=(1-λ0)d(x0,y)<ε

則W(x0,y,λ0)∈Bε(x0)∩K，從而

f(x0)≤f(W(x0,y,λ0))≤

λ0f(x0)+(1-λ0)f(y)

進(jìn)而f(x0)≤f(y)。由y的任意性，知x0是f的全局極小值點(diǎn)。

設(shè)(X,d,W)是凸度量空間，W滿足條件(W)，K?X是W-凸集，考慮多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題(MP)：

(MP) minF(x)=(f1(x),…,fm(x))T,x∈K

其中,fi:K→R1(i=1,2,…,m)，F(xiàn):K→Rm是向量值函數(shù)。記

TWi={t∈[0,1]|fi(W(x,y,t))≤tfi(x)+

(1-t)fi(y),?x,y∈K},i=1,2,…,m

證明由稠密性定理得[0，1]∩Q?TWi。設(shè)x0∈K為問(wèn)題(MP)的局部有效解，即存在x0的鄰域Bε(x0)，不存在x∈Bε(x0)∩K，使得fi(x)≤fi(x0)，i=1,2,…,m，至少存在一個(gè)1≤j≤m，使fj(x)

若x0∈K不是全局有效解，那么?x*∈K，使fi(x*)≤fi(x0)，i=1,2,…,m，至少存在1≤j≤m，使fj(x*)

d(x0,W(x0,x*,λ))≤

λd(x0,x0) +(1-λ)d(x0,x*)<ε

則W(x0,x*,λ)∈Bε(x0)∩K，從而

fi(W(x0,x*,λ))≤

λfi(x0)+(1-λ)fi(x*)≤fi(x0)

i=1,2,…,m，且

fj(W(x0,x*,λ))≤

λfj(x0)+(1-λ)fj(x*)

矛盾，故定理得證。

3 W-凸函數(shù)判別準(zhǔn)則

本節(jié)討論W-凸函數(shù)的一些判別準(zhǔn)則。設(shè)(X,d,W)是凸度量空間，W滿足條件(W)，K?X是W-凸集，f:K→R。

證明?x,y∈K,?λ∈[0,1]，由定理1，TW在[0,1]中是稠密的，因此存在收斂于λ的序列{λn}?TW。由引理2，W(x,y,t)關(guān)于t連續(xù)且f下半連續(xù)，則有

λf(x)+(1-λ)f(y)

這說(shuō)明f是W-凸函數(shù)。

證明?x,y∈K，?λ∈[0,1]，只需證明f(W(x,y,λ))≤λf(x)+(1-λ)f(y)。

不妨λ≠0,λ≠1,x≠y。由TW在[0,1]中稠密，取λn∈TW，λn>λ，使λn→λ，則

f(W(x,y,λ))=

f(W(x,y,λ))≤λf(x)+(1-λ)f(y)

證明?x,y∈K，?t∈(0,1)，只需證明f(W(x,y,t))≤tf(x)+(1-t)f(y)。

(1) 當(dāng)f(x)=f(y)時(shí)，由f的W-擬凸性得到

f(W(x,y,t))≤max{f(x),f(y)}=

f(x)=tf(x)+(1-t)f(y)

(2) 當(dāng)f(x)≠f(y)時(shí)，有

① 若f(y)

1) 當(dāng)?t

f(W(x,y,t))=

max{f(W(x,y,t′)),f(y)}=f(y)<

tf(x)+(1-t)f(y)

f(W(x,y,t))≤

max{f(W(x,y,0)),f(W(x,y,tn))}=

f(W(x,y,tn))≤tnf(x)+(1-tn)f(y)

n→∞，得

f(W(x,y,t))≤tf(x)+(1-t)f(y)

② 若f(x)

f(W(x,y,t))≤max{f(W(x,y,t′)),f(x)}=f(x)≤

tf(x)+(1-t)f(y)

W(x,y,t)=W(W(x,y,1),W(x,y,tn),αn)

f(W(x,y,t))≤max{f(x),f(W(x,y,tn))}=

f(W(x,y,tn))≤tnf(x)+(1-tn)f(y)

令n→∞，有

f(W(x,y,t))≤tf(x)+(1-t)f(y)

證明W-半嚴(yán)格凸函數(shù)是W-半嚴(yán)格擬凸函數(shù)，因此不妨設(shè)f是W-半嚴(yán)格擬凸函數(shù)。由定理6，現(xiàn)只需證明f為W-擬凸函數(shù)。

如果f不是W-擬凸函數(shù)，那么

?x,y∈K,x≠y,?λ0∈(0,1)

f(W(x,y,λ0))>max{f(x),f(y)}

(1) 當(dāng)f(x)≠f(y)時(shí)，由f的W-半嚴(yán)格擬凸性，有

f(W(x,y,λ0))

矛盾。

(2) 當(dāng)f(x)=f(y)時(shí)，由引理3，f(W(x,y,λ))=f(x)=f(y),?λ∈[0,1]，λ≠λ0，

f(W(x,y,λ0))=

矛盾。以上說(shuō)明f為W-擬凸函數(shù)，從而由定理6知結(jié)論成立。

4 結(jié) 論

針對(duì)凸度量空間中的抽象凸結(jié)構(gòu)，將線性空間中基于標(biāo)準(zhǔn)凸結(jié)構(gòu)的3種廣義凸函數(shù)概念引入了凸度量空間，定義了3種新廣義W-凸函數(shù)，證明了中間點(diǎn)W-凸函數(shù)是中點(diǎn)W-凸的以及[0,1]∩Q-W-凸的，獲得了稠密性定理；利用中點(diǎn)W-凸性，建立了W-凸函數(shù)的判別準(zhǔn)則等。獲得稠密性定理的方法有一定的技巧性與新意，可以應(yīng)用于一些其他凸或廣義凸映射稠密性問(wèn)題的研究，例如對(duì)中間點(diǎn)預(yù)不變凸函數(shù)的相關(guān)稠密性問(wèn)題的研究。利用中點(diǎn)廣義凸性而不是中間點(diǎn)廣義凸性建立判別準(zhǔn)則的方法，可以應(yīng)用于建立其他一些凸或廣義凸或錐凸或廣義錐凸映射的判別準(zhǔn)則。例如，利用本文及文獻(xiàn)[1]中的思想方法，可以作如下樂(lè)觀的預(yù)期：一方面，可以將文獻(xiàn)[1]中建立凸函數(shù)判別準(zhǔn)則的條件中間點(diǎn)凸性簡(jiǎn)化為中點(diǎn)凸性；另一方面，可以將文獻(xiàn)[1]中嚴(yán)格凸函數(shù)、擬凸函數(shù)等的一些判別準(zhǔn)則相應(yīng)推廣到凸度量空間。