“入乎其內(nèi)”與“出乎其外”
——再談“平面的基本性質(zhì)”教材研讀與教學(xué)策略

尤善培

(江蘇省揚(yáng)州市邗江區(qū)教師發(fā)展中心，225000)

王國維在《人間詞話》中有一段文字:“詩人對宇宙人生,須入乎其內(nèi),又須出乎其外.入乎其內(nèi),故能寫之,出乎其外,故能觀之.入乎其內(nèi),故有生氣,出乎其外,故有高致.”意思可以理解為:詩人對宇宙人生,既要進(jìn)得去,又要出得來.進(jìn)得去,才有內(nèi)容可寫;出得來,才能對之有思考和提煉.進(jìn)得去,寫出來的詩才會有生命力;出得來,才能有超脫高雅的情致.同樣的道理,在數(shù)學(xué)教學(xué)中,解讀教材必須入乎其內(nèi),教學(xué)設(shè)計方可出乎其外.

以“平面的基本性質(zhì)”的教學(xué)安排為例.傳統(tǒng)的立體幾何教材將“平面的基本性質(zhì)”安排在第一單元的第一課,也就是立體幾何的起始課,而現(xiàn)行的教材則安排在第二單元的第一課.教材安排上的變化,用意何在?為什么這樣安排?首先需要深度解讀教材,深刻領(lǐng)會其內(nèi)涵,才能有準(zhǔn)確的目標(biāo)定位,進(jìn)而才有引人入勝的教學(xué)設(shè)計.

一、研讀教材要“入乎其內(nèi)”

1.重溫傳統(tǒng)教材

(1)開門見山

傳統(tǒng)教材開宗明義:“常見的桌面、黑板面、平靜的水面以及紙板等,都給我們以平面的形象,幾何里所說的平面就是從這樣的一些物體抽象出來的.但是,幾何里的平面是無限延展的”,這里直觀地描述了平面.

(2)提出性質(zhì)

接著不兜圈子,進(jìn)一步指出:“在生產(chǎn)與生活中,人們經(jīng)過長期的觀察與實踐,總結(jié)出了平面的三個基本性質(zhì),我們把它們當(dāng)作公理,作為進(jìn)一步推理的基礎(chǔ)”.這是從生活情境中抽象出數(shù)學(xué)概念的例子.

(3)揭示本質(zhì)

這是立體幾何的第一課,也可叫做立體幾何的起始課.講解起始課,就要把這一學(xué)科的內(nèi)容作一大概的介紹,包括立體幾何研究什么,背景是什么,有什么作用,怎樣研究等等.這樣可以讓學(xué)生一開始就對這門學(xué)科有一個初步的了解,引起學(xué)生的“懸念”,同時初步了解知識的結(jié)構(gòu),今后研究也有一些底,為以后的學(xué)習(xí)打下思想基礎(chǔ).

2.再談《課程標(biāo)準(zhǔn)》

與以往高中數(shù)學(xué)課程中的立體幾何內(nèi)容相比,《標(biāo)準(zhǔn)》中的立體幾何內(nèi)容的變化主要表現(xiàn)在幾何定位、幾何內(nèi)容處理方式以及幾何內(nèi)容分層的設(shè)計等方面.

(1)立體幾何的目標(biāo)定位仍然在于培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生把握圖形的能力、空間想象能力和幾何直覺的能力、邏輯推理能力.

(2)立體幾何的教學(xué)內(nèi)容,在處理方式上與以往“點(diǎn)、線、面、體”即從局部到整體展開不同,而是按照從整體到局部的方式展開教學(xué)內(nèi)容.

(3)立體幾何的教學(xué)方式,突出直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證、度量計算等研究空間幾何圖形的過程,涉及的數(shù)學(xué)思想主要有數(shù)形結(jié)合思想、符號化與形式化的思想、化歸思想等,涉及的一般科學(xué)方法主要有觀察、實驗、歸納、類比、分析、綜合、抽象等.

3.研讀現(xiàn)行教材

(1)第一單元,教材借助多面體模型,從整體觀察入手,運(yùn)用運(yùn)動變化的觀點(diǎn),通過觀察和操作,引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識空間簡單幾何體(柱、錐、臺、球)的結(jié)構(gòu)特征,以此作為發(fā)展空間想象能力的基本模型.

(2)第二單元,教材借助長方體模型,并以長方體為主線,通過歸納和分析,使學(xué)生在直觀感知的基礎(chǔ)上認(rèn)識和理解空間的點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系,并以此作為思辯論證的基礎(chǔ).

(3)第三單元,“柱、錐、臺球的表面積和體積”,教材沒有像以往那樣重在介紹公式的推導(dǎo)過程,而是側(cè)重于介紹公式推導(dǎo)的思想方法.

由此可見,在立體幾何的教學(xué)中,教師要采用“點(diǎn)、線、面、體”的立體化教學(xué)方法.教師要胸有全局,根據(jù)教學(xué)的目標(biāo)任務(wù)、教學(xué)的內(nèi)容、訓(xùn)練的項目作出科學(xué)的安排,這就是“面”.而每一個小概念就是一個“點(diǎn)”,教師上課要精心設(shè)計貫串的線索、問題的構(gòu)思、能力的培養(yǎng),都要絲絲入扣,整個教學(xué)應(yīng)該是立體的,應(yīng)該把思想的啟迪、素養(yǎng)的滲透、情感的熏陶、知識的傳授融為一體,把“知識、方法、情感和態(tài)度”熔為一爐.

二、設(shè)計教學(xué)要“出乎其外”

1.“深入”才能“淺出”

深入鉆研教材,深刻理解教材,準(zhǔn)確定位教學(xué)目標(biāo)是“設(shè)計”之本.惟有準(zhǔn)確領(lǐng)會教材的編寫意圖,才能更深入地開發(fā)教學(xué)資源,創(chuàng)造性地用活、用好教材.那么如何將自己的理解和感悟準(zhǔn)確并且巧妙地融入教學(xué)設(shè)計之中,從而讓學(xué)生理解知識的結(jié)構(gòu),建構(gòu)知識的框架,學(xué)會學(xué)習(xí),真正實現(xiàn)“淺出”呢?其中,非常重要的就是對“過程與方法”和“情感態(tài)度”的精準(zhǔn)定位,對學(xué)生思維水平的把握和學(xué)情的有效分析.鑒于此,我結(jié)合馬玲老師的課例，提出自己的思考和教學(xué)設(shè)計策略.

2.“平面的基本性質(zhì)”的教學(xué)設(shè)計.

(1)定位:這是一節(jié)數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)課.

(2)目的:建構(gòu)平面的概念.

(3)過程:

(i)創(chuàng)設(shè)情境,發(fā)現(xiàn)新知

問題1在上一個單元,我們已經(jīng)對簡單的幾何體有了整體的、直觀的認(rèn)識,簡單的幾何體是由空間的點(diǎn)、線、面所構(gòu)成的.從今天開始,我們將對點(diǎn)、線、面的這些元素關(guān)系作進(jìn)一步的討論.

評析這個問題,扮演了“先行組織者”的角色.學(xué)生雖然不知道今天研究的具體內(nèi)容,也不知道到底應(yīng)該怎樣研究,但他們根據(jù)先前積累的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗,已經(jīng)預(yù)感到今天應(yīng)該研究什么.

問題2你知道什么是平面?在你的心目中,平面給你以什么形象?

評析這個初始問題合情合理,和問題1不同,“一石激起千層浪”,學(xué)生可能躍躍欲試地開始著手研究,但可能會感到無從下手,說也說不清楚,“糊里又糊涂”.

(ii)問題導(dǎo)向,探索新知

問題3在空間中,點(diǎn)、直線、平面有哪些位置關(guān)系?

評析正當(dāng)學(xué)生研究無法深入的時候,這個問題真是“雪中送炭”,起到導(dǎo)向、引領(lǐng)的作用,幫助學(xué)生找到研究“平面”的方向和突破口.

問題4直線與平面有哪些位置關(guān)系?

評析在這里,“點(diǎn)與平面”的位置關(guān)系是一個十分簡單的問題,“點(diǎn)與直線、直線與直線”的位置關(guān)系是一個已經(jīng)研究過的問題.這時“直線與平面”的位置關(guān)系問題將成為學(xué)生進(jìn)一步討論和交流的平臺,當(dāng)學(xué)生著手解決它的時候,建構(gòu)“平面”的活動就正式開始了.于是,學(xué)生開始了操作、觀察、思考等活動,試圖有所發(fā)現(xiàn),有所收獲.

操作活動之前,應(yīng)有問題引領(lǐng),學(xué)生為解決問題而操作、為思維而操作,教師則為思維而導(dǎo)、為思維而教.

(iii)深度思考,操作發(fā)現(xiàn)

① 直線與直線的交點(diǎn),這是回憶舊知,起類比的作用.

② 直線與平面的位置關(guān)系,這是操作活動,這里得出“沒有公共點(diǎn),只有一個公共點(diǎn),有兩個公共點(diǎn)”三種情況.

評析這時又迫使學(xué)生反思;迫使他們深入思考下去;迫使他們認(rèn)真思考“直線與平面有兩個公共點(diǎn)”的含義.

進(jìn)一步研究,就會發(fā)現(xiàn):如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi),那么這條直線在此平面內(nèi),這就是公理1的內(nèi)容.

進(jìn)一步研究公理1,我們發(fā)現(xiàn)平面的特征:平面是“無限大”的,平面是“平”的,平面是“沒有厚度”的;直線是“無限長”的,直線是“直”的,直線是“沒有粗細(xì)”的;點(diǎn)是“沒有大小”的.

類似地研究公理2和公理3.

(iv)分析歸納,自主定義

原型—抽象—數(shù)學(xué)化—數(shù)學(xué)對象.

(4)評析:

(i)問題的提出

數(shù)學(xué)中的絕大多數(shù)概念,總是可以用下定義的方法來約束或界定它的意義的.如“平面內(nèi)永不相交的兩條直線稱為平行線”.這里,“平面”、“直線”就是定義平行線的基本概念.顯然,定義的實質(zhì)就是用已知概念來解釋新的概念.這樣,追根尋源,層層上溯,總會有一些概念是無法用其它概念來表述.在這里,“平面”就是這樣一個概念,怎么辦?

(ii)采取的對策

這里,我們就通過認(rèn)定的一組公理,來揭示原始概念所具有的性質(zhì),從而來約定原始概念的意義.這就是公理化方法.方法中暴露過程,過程中凸顯思想,思想中揭示本質(zhì).

(iii)平面的概念

平面的基本性質(zhì)就是這樣一組公理.一方面刻劃了平面的基本性質(zhì),另一方面又約定了平面的意義.

(iv)平面的定義

一個元素只要滿足三個公理的條件,我們就稱它為“平面”.體會到平面概念的產(chǎn)生是水到渠成、渾然天成的產(chǎn)物,不僅合情合理,很具有人文情趣.

(v)其它例子

自然數(shù)集的定義(數(shù)產(chǎn)生于數(shù)).

在數(shù)集中:

① 存在一個初始數(shù),記為1,是自然數(shù);

② 每一個自然數(shù)a,都有一個確定的后繼數(shù)a′也是自然數(shù),且a′=a+1;

③ 如果b，c都是a的后繼數(shù),則b=c;

④ 1不是任何自然數(shù)的后繼數(shù);

⑤ 對任何自然數(shù)的命題,如果證明了它對1是真的,又假定它對自然數(shù)n真,那么可以證明它對n′也真的.

這就是著名的皮亞諾公理.

3.“悟道”方能“超越”

這里“悟道”指的是要繼承傳統(tǒng)經(jīng)驗,理性認(rèn)知經(jīng)驗,吸收新課程理念,領(lǐng)會教材意圖,把握學(xué)生基礎(chǔ),選擇合適方法.只有多方面結(jié)合起來,才能實現(xiàn)自我超越,才能做到便教利學(xué).

(1)注重過程

立體幾何教學(xué)的重點(diǎn)是幫助學(xué)生逐步形成空間想象能力,而要達(dá)到這一目的,必須讓學(xué)生參與這些知識的發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的全過程,與以往教材與教學(xué)相比，淡化形式,注重過程,突出新的思想與理念.這樣,學(xué)生就感到平面的幾個性質(zhì)是看得見、摸得著的,而且通過自己的實踐和體驗,確認(rèn)空間圖形的一些主要的結(jié)論,并運(yùn)用這些思想、方法、結(jié)論解決一些問題.

(2)適度抽象

強(qiáng)調(diào)本質(zhì),注意適度形式化是一個重要的理念.學(xué)會適度抽象是本節(jié)課教學(xué)的一個基本要求,但更重要的是對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識,是生動活潑的數(shù)學(xué)思維活動,要努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì).數(shù)學(xué)課程要講邏輯推理,更要講道理.通過平面概念建構(gòu)的例子,通過學(xué)生的自主探索活動過程,體會蘊(yùn)涵在其中的思想方法,這就是本設(shè)計出乎其外的地方.