一種面向熱設(shè)計的反饋-模糊推理全局算法

雷飛，張?zhí)礻?/p>

（湖南大學(xué)汽車車身先進設(shè)計制造國家重點實驗室，湖南長沙 410082）

電動汽車電機控制器內(nèi)部的集成化程度越來越高，控制器內(nèi)元器件的發(fā)熱量不斷增加.在有限的物理空間內(nèi)，多合一控制器中大功率元件的熱通量可達200～ 300 W/cm2.過高的溫度會直接損壞元器件，熱設(shè)計和熱管理成為集成控制器設(shè)計的關(guān)鍵環(huán)節(jié)[1].

熱設(shè)計問題通常是已知目標(biāo)溫度來求解相關(guān)設(shè)計參數(shù)，本質(zhì)上屬于已知目標(biāo)溫度求解幾何邊界的傳熱學(xué)反問題[2].通常基于傳熱系統(tǒng)的局部測量溫度信息，求解系統(tǒng)的熱流密度、熱源參數(shù)、熱物理參數(shù)和幾何參數(shù)等難以測量的未知參數(shù)的問題.在控制器熱設(shè)計問題中，由于大量電子電器元件高度集成導(dǎo)致其傳熱規(guī)律復(fù)雜，難以得到傳熱學(xué)規(guī)律的定性描述.復(fù)雜的傳熱規(guī)律是該問題的典型特點之一.

不適定性是傳熱學(xué)反問題的另一特點.這種不適定性是指該問題在Hadamard 意義下解的唯一性、存在性和穩(wěn)定性不能同時得到滿足[3].一方面，由于輸入信息不全面，反問題的解可能不存在或不唯一；另一方面，由于輸入信息存在偏差，輸入信息的誤差在反問題的求解過程中會被放大，從而導(dǎo)致反問題的解往往存在不穩(wěn)定性.反問題的不適定性為求解帶來了較大挑戰(zhàn).

傳熱學(xué)反問題的求解方法可分為非迭代法和迭代法.非迭代法依據(jù)已知的測點信息和待求解量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，直接通過已知量計算待反演參數(shù)，無需反復(fù)計算正問題以修正計算結(jié)果，可實現(xiàn)較高的計算速度.吳國鵬等[4]基于最小二乘法和誤差函數(shù)反演了功能梯度材料熱源發(fā)熱功率；Yu 等[5]將最小二乘法和邊界元法相結(jié)合提高算法的抗不適定性并對鍋爐內(nèi)壁的幾何邊界進行了反演；Yu 等[6]利用邊界元法分別在穩(wěn)態(tài)下和瞬態(tài)下對爐內(nèi)壁的邊界條件進行識別.對于復(fù)雜傳熱學(xué)問題，由于已知條件和待求解量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系建立存在困難，該類方法應(yīng)用有限，同時存在不適定性問題.

迭代法可分為梯度法和非梯度法，其中經(jīng)典的梯度法有最速下降法（Steepest Descent Method，SDM）、共軛梯度法（Conjugate Gradient Method，CGM）、Levenberg-Marquardt 法（L-M）等.Huang 等[7]通過SDM 成功反演了翅片換熱器的換熱系數(shù)；Yang等[8]采用改進的L-M 法估算了傳熱學(xué)反問題中的導(dǎo)熱系數(shù)；Xiong 等[9]應(yīng)用CGM 反求了二維傳熱系統(tǒng)中的熱流量；王堃等[10]用正則化CGM 估計了二維穩(wěn)態(tài)傳熱邊界溫度分布.

梯度法可以解決部分傳熱學(xué)反問題，但當(dāng)傳熱規(guī)律較為復(fù)雜時會陷入局部最優(yōu)，且問題的可微性不能保證.此外，如果測量信息不完整或存在測量誤差，梯度法的求解結(jié)果可能出現(xiàn)惡化[11].

非梯度法具有良好的抗不適定性能力和全局搜索能力，但計算量較大.這類方法有遺傳算法、蟻群算法等，近年來隨著計算技術(shù)的發(fā)展而得到較廣泛應(yīng)用.Lee 等人[12]利用粒子群優(yōu)化方法估計介質(zhì)的輻射特性；Liu[13]用一種改進的遺傳算法估算瞬態(tài)傳熱系統(tǒng)的平板熱源功率；Parwani[14]等人利用差分進化算法估算了傳熱系統(tǒng)中熱源的發(fā)熱功率和位置.

模糊推理是20 世紀60 年代Zadeh 提出的一種啟發(fā)式算法[15].它是在模糊集合論基礎(chǔ)上對人腦的決策和判斷做定量研究的一種不確定推理方法.該算法只需從單一起始點開始計算，相對于蟻群算法、遺傳算法等需要多個初始點的非梯度類算法而言計算成本較低，具有良好的抗不適定性，能有效抵抗輸入信息的干擾[16].此外，模糊推理算法可以有效利用不精確和不完整的信息[17].這些特點在解決包括傳熱學(xué)反問題在內(nèi)的不適定問題時具備優(yōu)勢.Wang 等[18]提出了分散模糊推理算法用來求解熱傳導(dǎo)反問題中的幾何參數(shù)；Krzywanski 等[19]利用模糊推理算法預(yù)測了大型循環(huán)流床的導(dǎo)熱系數(shù)；Chen 等[20]提出一種具有目標(biāo)跟蹤能力和降噪性能的智能加權(quán)模糊推理算法，并將其應(yīng)用于空心復(fù)合管的熱傳導(dǎo)幾何參數(shù)反演問題中；姜曙等[21]利用分散模糊推理對圓筒熱傳導(dǎo)問題的幾何邊界進行了反演.在以上傳熱規(guī)律明確的問題中，模糊推理方法均取得了較好的結(jié)果.

但是，常規(guī)模糊推理方法中模糊規(guī)則的制定對傳熱學(xué)規(guī)律的認知依賴程度較高，在求解傳熱學(xué)規(guī)律未知或其定性描述為非單調(diào)的傳熱學(xué)反問題時，常規(guī)模糊推理算法會由于無法制定模糊規(guī)則而失效.

本文針對傳熱學(xué)規(guī)律未知或非單調(diào)的傳熱學(xué)反問題提出一種改進的模糊推理算法，該算法以變論域模糊推理方法為基礎(chǔ)，結(jié)合反饋算法和模擬退火算法的優(yōu)勢，不僅降低對初始論域依賴性，同時降低模糊規(guī)則對傳熱規(guī)律認知的依賴性.使用該方法對電動汽車集成控制器的風(fēng)冷散熱器進行設(shè)計，并討論初始值和測量誤差對該方法的影響.

1 算法描述

反饋-模糊推理全局算法由模糊推理單元，反饋單元和模擬退火單元組成.

若傳熱學(xué)反問題的傳熱規(guī)律較復(fù)雜或未知，則可以通過模擬退火單元防止結(jié)果陷入局部最優(yōu).記uk（i）為模糊推理單元第i 次迭代的輸出，n（i）為待求解量第i 次迭代的計算結(jié)果，Tcal（i）為第i 次迭代的計算溫度，迭代結(jié)束條件為≤ε，ε 為收斂條件.算法的流程如圖1 所示.

圖1 反饋-模糊推理全局算法流程圖Fig.1 Algorithm flow chart of the feedback-fuzzy inference global method

2 問題描述

圖2 為某電動汽車集成控制器的簡化幾何模型，該控制器箱體外形尺寸為388 mm×288 mm×124 mm，芯片為方形均勻體熱源，為模擬芯片封裝，在元件外部增加聚苯硫醚（Polyphenylene sulfide，PPS）材料外罩；用各向異性材料模擬印制電路板（Printed Circuit Board，PCB）；IGBT 為導(dǎo)熱性良好的均勻方形體熱源；為模擬IGBT 的水冷，將箱體底部設(shè)為333 K 恒溫邊界，其余的面設(shè)為298 K 恒溫邊界；箱體材料及翅片散熱器材料選用鋁材，各材料物性參數(shù)見表1；系統(tǒng)內(nèi)熱源及其發(fā)熱功率見表2；風(fēng)冷散熱器尺寸結(jié)構(gòu)如圖3 所示.

圖3 風(fēng)冷散熱器幾何結(jié)構(gòu)示意圖Fig.3 Illustration of geometric structure for the air-cooled radiator

表1 材料物性參數(shù)Tab.1 Physical parameters of materials

表2 熱源及其發(fā)熱功率Tab.2 The heat sources and heating power

未安裝風(fēng)冷散熱器時1、2、3 號芯片溫度分別為392、411、389 K，其中2 號芯片的溫度超過了設(shè)計要求的393 K，故對安裝在PCB 下方風(fēng)冷散熱器的翅片數(shù)量進行設(shè)計，使2 號芯片溫度降至378 K.該問題本質(zhì)上屬于已知測點溫度求解幾何邊界的傳熱學(xué)幾何反問題，即求解翅片數(shù)量n 使得≤ε，其中Tmea為2 號芯片的目標(biāo)溫度，Tcal為每次迭代過程的計算溫度，ε 為迭代停止閾值或收斂條件，由于該問題中的目標(biāo)溫度精度要求為1 K，故在此ε 取值為1.

該傳熱系統(tǒng)中同時存在熱傳導(dǎo)、熱對流、熱輻射，假定在控制器內(nèi)的空氣為理想氣體，其流動為三維湍流流動，且忽略輻射換熱，則正問題的控制方程如下.

熱傳導(dǎo)方程：

熱對流質(zhì)量守恒方程：

熱對流動量守恒方程：

熱對流能量守恒方程：

式中：V 為流體速度；T 為流體溫度；F 為體積力；P為壓力；τ 為時間；ρ、λ、η 和cp分別為流體的密度、熱導(dǎo)率、動力黏度和比熱容.

由式（1）～式（4）可知，由于該問題為熱傳導(dǎo)和熱對流共存的復(fù)合傳熱問題，傳熱規(guī)律較為復(fù)雜.

3 反饋-模糊推理全局算法

3.1 模糊推理單元

模糊推理是以模糊集合理論為基礎(chǔ)，結(jié)合計算機語言規(guī)則和先驗知識，模仿人類思維進行判決的不確定推理方法，其本質(zhì)是將一個給定輸入空間通過模糊邏輯映射到一個特定的輸出空間的計算過程.

模糊推理算法的具體模塊有模糊化、模糊規(guī)則的制定、模糊推理和解模糊化，如圖4 所示.

圖4 模糊推理單元和流程Fig.4 Fuzzy inference units and its process

3.1.1 模糊化

上述可變輸出域可以保證輸出域的大小與輸入量e 正相關(guān)，從而在e 較大時提高迭代速度，在e 較小時提高推理精度并且保證推理的穩(wěn)定性，減少初始域?qū)敵龅挠绊?

輸入變量e 和輸出變量uk的論域分別劃分為4個模糊等級，對應(yīng)的語言值為零（ZO）、正小（PS）、正中（PM）、正大（PB）.采用三角形隸屬度函數(shù)，此時輸入論域、輸出論域及其對應(yīng)的隸屬度函數(shù)分別如圖5和圖6 所示.

圖5 輸入論域及其對應(yīng)的隸屬度函數(shù)Fig.5 The membership function for the fuzzy set of input value

圖6 輸出論域及其對應(yīng)的隸屬度函數(shù)Fig.6 The membership function for the fuzzy set of output value

3.1.2 模糊規(guī)則的制定

一般來說，帶翅片的風(fēng)冷散熱器的傳熱規(guī)律可定性描述為：當(dāng)?shù)装迕娣e一定，翅片數(shù)量在一定數(shù)量范圍內(nèi)時，散熱效果隨翅片數(shù)量增加而增強；超過某一數(shù)量范圍，增加散熱翅片時，散熱效果會因風(fēng)阻而降低.理論上，這是一個單極值問題，但由于本傳熱系統(tǒng)中的眾多其他熱源會對翅片散熱效果產(chǎn)生影響，因此傳熱規(guī)律不能簡單地做定性描述.這種情況下常規(guī)模糊推理會因模糊規(guī)則不明確而失效.本文提出的反饋-模糊推理全局算法中模糊規(guī)則僅用來確定輸出值的大小，此時模糊規(guī)則的制定僅影響計算效率.不考慮傳熱規(guī)律的模糊規(guī)則如下：

1）If e is PB then ukis PB，

2）If e is PM then ukis PM，

3）If e is PS then ukis PS，

4）If e is ZO then ukis ZO

3.1.3 模糊推理和解模糊化

本文采用Mamdani 法作為模糊推理方法，定義μA（e）、μB（μk）分別為輸入變量和輸出變量對應(yīng)模糊集的隸屬度函數(shù)，μC（uk）為模糊推理結(jié)果，計算過程可表示為：

解模糊化方法采用重心法，計算公式為：

3.2 反饋單元

根據(jù)反饋的基本思想，每次迭代的計算結(jié)果都將傳遞給該單元進行判斷，若優(yōu)于當(dāng)前結(jié)果，則采納該結(jié)果；若劣于當(dāng)前結(jié)果，則重新選取補償方向.利用反饋單元對補償量符號進行判斷的代碼如下，其中r 為隨機數(shù).

3.3 模擬退火單元

模擬退火算法是一種基于蒙特卡羅迭代求解策略的隨機優(yōu)化方法.該算法模擬了固體退火規(guī)律，結(jié)合溫度下降過程中的概率跳躍，隨機搜索目標(biāo)函數(shù)的全局最優(yōu)解.當(dāng)問題的傳熱學(xué)規(guī)律定性描述為單極值問題時可不使用此單元.由于本研究中反問題的傳熱學(xué)規(guī)律未知，為避免陷入局部最優(yōu)，故在反饋單元的基礎(chǔ)上加入模擬退火單元進行全局求解.

設(shè)置當(dāng)前退火溫度為T，退火初始溫度T2=90 ℃，退火結(jié)束溫度T3=89.9 ℃，降溫方式采用等比例降溫，比例系數(shù)j 為0.999，結(jié)果接受準則為：

當(dāng)Tcal（i）-Tcal（i-1）＜0 時，接受當(dāng)前結(jié)果；當(dāng)Tcal（i）-Tcal（i-1）≥0 時，如果rand ＜e（-（Tcal（i）-Tmea（i））/T），接受結(jié)果，否則不接受.

3.4 計算過程

Step1設(shè)置模糊推理的輸入量e 與輸入論域，輸出量uk與輸出論域，初始化迭代次數(shù)i=1；

Step2進入模糊推理模塊求解uk（i），令n（i+1）=n（i）+uk（i）；

Step3根據(jù)n（i+1）計算正問題，得到Tcal（i+1）和e（i+1）；

Step4判斷e（i+1）≤1 或T ＜T3是否滿足，如果滿足，終止迭代并輸出n（i+1），否則i=i+1，迭代繼續(xù)；

Step5重復(fù)Step2—Step4，當(dāng)i ≥2 時進入反饋單元和模擬退火單元；

Step6T2=T2×j；

Step7重復(fù)Step4；

Step8重復(fù)Step2—Step7.

4 計算結(jié)果及討論

4.1 計算結(jié)果及驗證

當(dāng)初始翅片數(shù)為25 時，使用反饋-模糊推理全局算法和模擬退火算法計算翅片數(shù)和目標(biāo)芯片溫度的迭代結(jié)果分別如圖7 和圖8 所示.在相同的輸入、輸出論域條件下，使用常規(guī)模糊推理計算翅片數(shù)和目標(biāo)芯片溫度的迭代結(jié)果分別如圖9 和圖10 所示.為了驗證算法的準確性，本文通過仿真計算了采用不同翅片數(shù)時芯片溫度的情況，如圖11 所示.

圖7 反饋-模糊推理全局算法和模擬退火算法計算翅片數(shù)的迭代結(jié)果Fig.7 The iteration results of fin number computation by feedback-fuzzy inference global method and simulated annealing algorithm

圖8 反饋-模糊推理全局算法和模擬退火算法計算目標(biāo)芯片溫度的迭代結(jié)果Fig.8 The iteration results of temperature computation by feedback-fuzzy inference global method and simulated annealing algorithm

圖9 常規(guī)模糊推理算法計算翅片數(shù)的迭代結(jié)果Fig.9 The iteration result of fin number computation by traditional fuzzy inference algorithm

圖10 常規(guī)模糊推理算法計算目標(biāo)芯片溫度的迭代結(jié)果Fig.10 The iteration result of temperature computation by traditional fuzzy inference algorithm

圖11 采用不同翅片數(shù)量時仿真計算得到的芯片溫度Fig.11 Chip temperature obtained by simulation with different fin numbers

由圖7 和圖8 可見，使用模擬退火算法得到翅片數(shù)量n=6.5，2 號芯片溫度為378.6 K，取整數(shù)得n=7；使用反饋-模糊推理全局算法得到翅片數(shù)量n=6.9，2 號芯片溫度為377.9 K，取整數(shù)得n=7.反饋-模糊推理全局算法在第9 次迭代時迭代終止，模擬退火算法在第19 次迭代時終止，故反饋-模糊推理全局算法的計算效率高于模擬退火算法.

由圖9 和圖10 可見，使用常規(guī)模糊推理算法得到翅片數(shù)量n=22.34，2 號芯片溫度為383.57 K，取整數(shù)得n=22.由圖11 可知n=22 時2 號芯片溫度為383.4 K，n=7 時2 號芯片溫度為377.9 K.常規(guī)模糊推理算法在相同條件下無法得到正確結(jié)果.

由圖11 可知，反饋-模糊推理全局算法結(jié)果準確且有效避免了局部最優(yōu)，反演精度略高于模擬退火算法.

綜上所述，反饋-模糊推理全局算法可以有效求解傳熱學(xué)規(guī)律無法定量描述的傳熱學(xué)反問題，避免陷入局部最優(yōu)，其計算精度和迭代效率均高于設(shè)置相同的模擬退火算法.利用反求結(jié)果得到的最佳翅片數(shù)量n=7 進行仿真，得到的芯片溫度云圖見圖12，3 個芯片最高溫度均低于393 K，結(jié)果符合要求.

圖12 當(dāng)翅片數(shù)為7 時的芯片溫度云圖Fig.12 The legend of chip temperature when 7 fins were used

4.2 初始值對結(jié)果的影響

使用反饋-模糊推理全局算法在初始翅片數(shù)n（0）分別為10 和5 時，計算翅片數(shù)的迭代結(jié)果和目標(biāo)芯片溫度的迭代結(jié)果分別如圖13 和圖14 所示.

圖13 當(dāng)初始翅片數(shù)分別為10 和5 時計算翅片數(shù)的迭代結(jié)果Fig.13 The iteration results of fin number computation with initial fin number of 10 and 5

圖14 當(dāng)初始翅片數(shù)分別為10 和5 時計算目標(biāo)芯片溫度的迭代結(jié)果Fig.14 The iteration results of temperature computation with initial fin number of 10 and 5

由圖13 可知，初始翅片數(shù)n（0）分別為10 和5時的迭代結(jié)果均為n=7，可見對于相同的設(shè)計問題，初始值只影響迭代次數(shù)，不影響迭代結(jié)果.

4.3 溫度測量誤差對結(jié)果的影響

給2 號芯片的溫度添加隨機測量誤差Tmea=Tmea+ξ×r，其中ξ 是測量誤差的標(biāo)準偏差，r 是一個取值范圍在[-1，1]的隨機數(shù)，當(dāng)ξ 分別為1%、3%、5%時，迭代結(jié)果如圖15 所示.由圖15 可知，在計算過程中隨迭代次數(shù)的增加，誤差對迭代結(jié)果的影響逐漸增大.當(dāng)ξ 分別為1%、3%、5%時的最終迭代結(jié)果分別為n=7.22、7.75、7.94，反演偏差在可接受范圍之內(nèi)，該算法可以有效對抗輸入信息誤差.

圖15 不同標(biāo)準偏差輸入時的迭代結(jié)果Fig.15 The iteration results with different standard deviation

5 結(jié)論

本文針對常規(guī)模糊推理方法的局限性提出了一種結(jié)合模糊推理、反饋思想和模擬退火算法的反饋-模糊推理全局算法，并從傳熱學(xué)反問題的角度對電動汽車集成控制器中風(fēng)冷散熱器的幾何結(jié)構(gòu)設(shè)計問題進行了求解.

計算結(jié)果表明，相對常規(guī)模糊推理算法，反饋-模糊推理全局算法可以應(yīng)用于非單調(diào)或無法定性描述傳熱學(xué)規(guī)律的熱設(shè)計問題中，且具有迭代精度高、收斂速度快、計算結(jié)果受初始值影響小等特點.通過討論輸入誤差對計算結(jié)果的影響驗證了該算法具有良好的魯棒性和抗不適定性.

該反饋-模糊推理全局算法拓展了模糊推理方法的應(yīng)用范圍，可以為反問題、結(jié)構(gòu)設(shè)計和優(yōu)化提供參考.