尋根問道 追本溯“圓”
——《圓》教材解讀與教學(xué)建議

○李淑民 姜永春

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在第四部分“實(shí)施建議”中指出，為幫助學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)知識，教師應(yīng)揭示知識的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，注重知識的結(jié)構(gòu)和體系，處理好局部與整體的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識的整體性。

圓作為小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”中最后出現(xiàn)的一種平面圖形和最基礎(chǔ)的曲線圖形，在整個小學(xué)階段圖形的測量體系建構(gòu)中具有承上啟下的作用。本單元的教學(xué)，旨在讓學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容整體理解把握，并通過抓住并解決課堂教學(xué)中存在的突出問題，回歸圓的數(shù)學(xué)本質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生知識結(jié)構(gòu)和學(xué)習(xí)方法的遷移，進(jìn)而提升學(xué)生的核心素養(yǎng)。

一、教材解讀

1.教材的縱向分析。

從小學(xué)低年級開始學(xué)生就已經(jīng)對圓有了直觀的認(rèn)識，并系統(tǒng)學(xué)習(xí)了長方形、正方形、平行四邊形等平面圖形，以及它們的周長和面積的測量，進(jìn)一步對圓的本質(zhì)屬性及度量本質(zhì)進(jìn)行深入的認(rèn)識和理解。本單元的學(xué)習(xí)，又將為三維圖形體積的度量提供研究思想方法的支撐。

2.教材的橫向分析。

第一板塊，認(rèn)識度量對象圓，利用學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)抽象出圓的圖形，并結(jié)合畫、折、比、思等活動，探索并掌握圓的基本特征，初步了解扇形。

第二板塊，圓周長的測量與應(yīng)用，通過操作實(shí)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生了解圓周率的意義，得出圓周長的計算公式，并能解決有關(guān)圓周長的簡單實(shí)際問題。

第三板塊，圓面積的測量與應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生通過圖形的等積變換，探索并掌握圓的面積公式，并能解決簡單的實(shí)際問題，進(jìn)一步豐富對圓的基本特征的認(rèn)識。

3.教材內(nèi)容編排特點(diǎn)分析。

《圓》單元的學(xué)習(xí)，是從研究直線圖形到研究曲線圖形的過渡，對于學(xué)生而言是一種跨越和挑戰(zhàn)。

（1）合理運(yùn)用生活素材，凸顯其教學(xué)價值。

圓在生活中有著廣泛應(yīng)用，所以研究圓的時候，教材十分注重將本單元知識與生活實(shí)際相結(jié)合，把這些生活素材作為引發(fā)學(xué)生探究、促進(jìn)學(xué)生思考、加深學(xué)生感悟的有效載體。

（2）“做中學(xué)”，重視活動經(jīng)驗(yàn)的積累。

教材在知識編排中，強(qiáng)調(diào)以實(shí)踐活動讓學(xué)生“做”起來，在“做”的過程中又引發(fā)學(xué)生的思考，進(jìn)而主動探索，最終理解概念或得出結(jié)論。

（3）感悟數(shù)學(xué)思想，彰顯數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)在價值。

本單元教學(xué)中，轉(zhuǎn)化思想、推理思想、極限思想等數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用與深化，讓學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)地思考問題、處理問題，初步體驗(yàn)曲線圖形面積研究的特殊方法，體會數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特有魅力和內(nèi)在價值。

二、教學(xué)建議

1.對圓特征的“追本”。

圓是“到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合”，這是圓最本質(zhì)的特征?？紤]到小學(xué)生的認(rèn)知水平，教材沒有給出圓的幾何學(xué)定義，只是在引導(dǎo)學(xué)生觀察圓形物體的基礎(chǔ)上，呈現(xiàn)圓的幾何圖形，但并不影響學(xué)生對圓的本質(zhì)內(nèi)涵有所感悟。

疑難問題：師生對圓的本質(zhì)認(rèn)識存在困惑?，F(xiàn)在仍有許多教師在問“圓是否包括圓里面的部分”“扇形是圓的一部分嗎”等問題。教師尚且如此，學(xué)生對圓的本質(zhì)認(rèn)識更模糊不清。出現(xiàn)此問題的原因是教材中不出現(xiàn)圓的幾何學(xué)定義，生活中的語言“月亮是圓的”“桌面是圓的”與數(shù)學(xué)中的“圓”發(fā)生了沖突。

破解策略：層層深入學(xué)習(xí)，認(rèn)識圓的本質(zhì)內(nèi)涵

（1）區(qū)分概念認(rèn)識圓。

對于圓的認(rèn)識，教師應(yīng)幫助學(xué)生理解圓是一維的曲線，曲線的長度就是圓的周長，而圓的面積是指圓形所占的平面空間大小。另外，使用圓規(guī)畫圓之后可順勢提出：兩腳叉開的線段就是半徑，固定針尖的地方就是圓心，把半徑繞著圓心旋轉(zhuǎn)一周所畫出的圖形我們叫做圓。這樣就揭示了圓本質(zhì)的動態(tài)形成過程，也明確了圓是一條曲線的特征。

（2）借助扇形認(rèn)識圓。

扇形的認(rèn)識是教材修訂之后新增加的內(nèi)容，一方面是為六年級認(rèn)識和應(yīng)用扇形統(tǒng)計圖提供必要的支撐，另一方面也是為了讓學(xué)生更好地理解圓的本質(zhì)特征。

教學(xué)時要注意突出扇形與它所在圓的關(guān)系，如：介紹“弧”這個概念時，不僅要強(qiáng)調(diào)弧是圓上任意兩點(diǎn)之間的曲線，而且要強(qiáng)調(diào)弧是圓周上的一部分，這樣學(xué)生就能體會圓通常指的是一條封閉的曲線，而不是這條曲線所圍成的平面部分；又如：在突出圓心角和半徑?jīng)Q定扇形大小的特點(diǎn)時，幫助學(xué)生進(jìn)一步加深對圓、圓心和半徑等概念本質(zhì)的理解。

（3）多樣練習(xí)認(rèn)識圓。

認(rèn)識圓的練習(xí)不可或缺，教學(xué)中我們可通過不同形式的練習(xí)幫助學(xué)生不斷深化對圓本質(zhì)特征的理解。

如：讓學(xué)生在只有直尺情況下畫圓的練習(xí)，通過學(xué)生畫出若干個長度相等的線段，然后連接線段的各頂點(diǎn)即畫出圓，使學(xué)生直觀體會圓就是到一個點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合，它是一維圖形的本質(zhì)特征。

又如，教師引入問題：“一頭牛被拴在繩子長3米的柱子上，牛能吃到草的最遠(yuǎn)位置在哪？”讓學(xué)生通過觀察圓的動態(tài)形成過程，加強(qiáng)知識與生活的聯(lián)系，體會圓的本質(zhì)特征。

學(xué)生在多樣的練習(xí)中不斷獲得新的感悟，既可使原有的認(rèn)識更加全面、更加深刻，也能為后續(xù)學(xué)習(xí)提供更多有益的啟示。

2.對圓周率內(nèi)涵的追問。

圓的周長計算公式并不復(fù)雜，但是公式中的圓周率“π”是如何得到的，這是一個頗具挑戰(zhàn)性和吸引力的問題。

疑難問題：學(xué)生圓周率實(shí)驗(yàn)得到的數(shù)據(jù)和預(yù)想有誤差。在教學(xué)過程中，受實(shí)驗(yàn)工具、測量方法、操作技能等因素的影響，學(xué)生有時會得不到“圓的周長是直徑的3倍多一些”的結(jié)論。如何讓學(xué)生真切感受“圓的周長總是直徑的π倍”這一結(jié)論的豐富內(nèi)涵呢？

破解策略：讀、做結(jié)合，培養(yǎng)科學(xué)態(tài)度

（1）豐富探究活動，客觀感受范圍。

在測量計算和比較不同圓形紙片周長與直徑的比值之前，讓學(xué)生先在給定的正方形內(nèi)畫一個最大的圓，再照樣子在圓內(nèi)畫一個正六邊形，并思考“正方形和正六邊形的周長各是圓直徑的幾倍”，使學(xué)生初步認(rèn)識到“圓的周長應(yīng)該在此圓直徑的3～4倍之間”。

這樣，可以引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度，初步感受圓周率是一個客觀存在的固定的數(shù)，從而又讓他們在提出猜想、驗(yàn)證猜想的過程中，真切感受到“圓的周長總是直徑的π倍”這一結(jié)論的合理性，積累探索性活動經(jīng)驗(yàn)，從而提升思維水平。

（2）數(shù)據(jù)分析處理，培養(yǎng)科學(xué)態(tài)度。

對圓周率的實(shí)驗(yàn)，除了在操作細(xì)節(jié)進(jìn)行規(guī)范、使數(shù)值盡量精確外，更重要的是對收集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行科學(xué)的數(shù)據(jù)分析。

比如：可以讓學(xué)生對一個圓的周長進(jìn)行多次測量，然后取多次數(shù)據(jù)的平均值作為最后的測量結(jié)果；另外，有時為了使推斷更加合理，需要收集更多的數(shù)據(jù)?？梢栽诿啃〗M獲得的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上，收集并整理全班同學(xué)的測量數(shù)據(jù)，通過對數(shù)據(jù)的整理、比較、分析、推斷得到更為科學(xué)的結(jié)論，這不僅能讓學(xué)生養(yǎng)成用數(shù)據(jù)說話的習(xí)慣，還能培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的學(xué)習(xí)態(tài)度。

（3）操作和閱讀結(jié)合，體會人類文明。

圓周率的出現(xiàn)經(jīng)歷了一個漫長的不斷精確的過程，從古至今很多的數(shù)學(xué)家都做出了杰出的貢獻(xiàn)，他們當(dāng)中既有中國的數(shù)學(xué)家劉徽、祖沖之，也有古希臘的數(shù)學(xué)家阿基米德、英國數(shù)學(xué)家奧特雷德等。

人教版教材中的“你知道嗎”欄目，以及教師用書中的“備課資料”中都介紹了圓周率的研究歷史。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生操作與閱讀相結(jié)合，真正了解圓周率的內(nèi)涵、數(shù)值、取值習(xí)慣等，不僅能讓他們受到愛國主義教育，也能使他們感受到數(shù)學(xué)家的探索精神和堅定意志，體會數(shù)學(xué)是人類文明的共同成果。

3.對圓度量本質(zhì)的“溯源”。

關(guān)于度量，史寧中教授在《小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的若干問題》一書中指出，要度量就必須確定度量單位，而度量就是計算所要度量的圖形包含多少個度量單位。從一維圖形長度單位的累加，到二維圖形面積單位的密鋪，再到三維圖形體積單位的堆積，都指向度量的本質(zhì)“度量單位個數(shù)累加的結(jié)果”。

疑難問題：對于曲線圖形圓的測量，難點(diǎn)在于：人們無法通過與長度單位、面積單位的直接比較和測量，來精確計量出圓的周長和面積。教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)教師能讓學(xué)生通過“化曲為直”轉(zhuǎn)化成學(xué)過的圖形，并尋找各元素之間的關(guān)系，推導(dǎo)出計算公式。但為什么要化曲為直？化曲為直與度量本質(zhì)有何關(guān)系？通過對圓的測量教學(xué)能否打通小學(xué)圖形測量內(nèi)容的隔斷墻？

破解策略：梳理測量過程，感悟度量本質(zhì)

（1）借助已有的知識經(jīng)驗(yàn)探究化曲為直的原因。

圓的周長是對一維長度的度量，圓的面積是對二維面積的測量，本來可用度量工具“直尺”和“小方格”先進(jìn)行測量，進(jìn)而感受周長是長度單位的累加，面積是面積單位的累加。

因?yàn)閳A是曲線圖形，不容易直接測量，教師在教學(xué)中可增加梳理原來學(xué)過圖形的測量結(jié)果和方法的環(huán)節(jié)，測量結(jié)果的梳理可以讓學(xué)生猜測圓的測量可能與什么元素（直徑、半徑）有關(guān)，測量方法的梳理可讓學(xué)生確定研究的方向——化曲為直、轉(zhuǎn)化成可測量的直直的線和長方形來探究（平行四邊形、三角形、梯形的面積度量源頭仍是長方形）。梳理的過程激活了學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生理解了“為什么要化曲為直”，它是對圓測量研究中必用的方法和策略。

（2）利用化曲為直的結(jié)果感悟度量的本質(zhì)。

根據(jù)確定的研究方向，學(xué)生把圓化曲為直再對周長進(jìn)行測量，給了圓周長一個合適的數(shù)值，測量過程中學(xué)生不僅感悟到轉(zhuǎn)化思想和推理思想的運(yùn)用，還體會到圓的周長同樣是“長度單位個數(shù)的累加”的度量本質(zhì)；對于圓的面積，學(xué)生在觀察飛鏢板的過程中，悟到化曲為直的方法，動手操作把圓從內(nèi)部打開，平均分成多個近似的小三角形，再拼成一個近似的長方形，體會轉(zhuǎn)化思想。但此時繞不開的是π的無理數(shù)情形，對于此問題，張奠宙教授在《小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的大道理》一書中提出：當(dāng)長方形的長和寬涉及無限時需要用極限方法來解決。

教學(xué)過程中教師可再啟發(fā)學(xué)生想象：如果把圓平均分成更多的份數(shù)，拼成的圖形會有什么變化？同時結(jié)合呈現(xiàn)更多份數(shù)的拼圖，以及虛線、長方形等幫助學(xué)生合乎情理地聯(lián)想到：平均分的份數(shù)越多，拼成的圖形就會越來越接近長方形，感悟了極限思想的運(yùn)用，由此圓形的面積用歸結(jié)為長方形的面積“πr×r”得以解決，同時體會到圓的面積同樣是“面積單位個數(shù)累加的結(jié)果”的度量本質(zhì)。

（3）通過梳理測量過程打通度量內(nèi)容的“隔斷墻”。

通過對所有學(xué)過圖形的周長和面積測量過程的進(jìn)一步梳理，讓學(xué)生在“想一想”“說一說”中體會：對于圖形周長的測量，是用長度單位的累加給直直的線一個數(shù)值的過程，如果是曲線，那就化曲為直再進(jìn)行長度單位的累加；對于圖形面積的度量，最基礎(chǔ)的圖形長方形是用面積單位“小正方形”直接累加得到“長×寬”求出面積，平行四邊形的面積無法直接測量，是通過剪拼、拼擺等方式，歸結(jié)為長方形的面積“底×高”得到的（三角形、梯形也由此解決），圓的面積是把曲線圖形化曲為直后歸結(jié)于長方形的面積“πr×r”得到的。無論是長×寬、底×高、底×高÷2、（上底+下底）×高÷2，還是πr×r，它們本質(zhì)都指向：一行多少個面積單位×一共多少行=面積，即面積單位個數(shù)累加的數(shù)值就是二維圖形面積的大小。

整個梳理的過程，把周長和面積測量的基本思想和方法貫通起來，使學(xué)生體會到不管測量什么圖形的周長和面積，其本質(zhì)皆為“度量單位個數(shù)的累加的結(jié)果”，度量單位是一切圖形測量的本源，而這種思想和方法將為今后學(xué)習(xí)三維圖形體積的測量奠定研究的基礎(chǔ)。

資料存盤

1.《圓》課標(biāo)解讀。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在“學(xué)段目標(biāo)”的第二學(xué)段中提出：探索一些圖形的形狀、大小和位置關(guān)系，了解一些幾何體和平面圖形的基本特征；掌握測量、識圖和畫圖的基本方法。

2.圓和圓盤。

眾所周知，我國小學(xué)數(shù)學(xué)基本上是從西方移植而來的。英文中circle，我們直譯為圓，其含義是一維的曲線。但是，英文中還有一個詞disk，專指二維的圓形的圖形，《英漢大辭典》解釋為“圓盤、圓板、圓片、圓平面”。因此，在英文里圓和圓盤是兩個不同的詞。但是，在漢語里兩者混同起來了。

3.面積的定義。

幾何學(xué)的基本度量之一，是用以度量平面或曲面上一塊區(qū)域大小的正數(shù)。通常以邊長為單位長的正方形的面積為度量單位。