巧設(shè)問題鏈，讓向量更有“形”
——以“用幾何法解決向量問題”的教學(xué)為例

□黃 維

（嘉興市第四高級(jí)中學(xué)，浙江 嘉興 314000）

直觀想象是數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng)之一，是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論和解決數(shù)學(xué)問題的重要素養(yǎng)，其具體表現(xiàn)是能利用圖形探索并解決數(shù)學(xué)問題，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型.然而在平時(shí)的教學(xué)中，教師由于擔(dān)心學(xué)生的作圖用圖能力，過于強(qiáng)調(diào)計(jì)算，忽略了直觀想象能力的培養(yǎng)，這對(duì)培育學(xué)生的核心素養(yǎng)，對(duì)學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展，是弊大于利的.

數(shù)學(xué)問題鏈教學(xué)，試圖通過問題去激發(fā)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)價(jià)值的體驗(yàn)[1]，為達(dá)成預(yù)定的教學(xué)目標(biāo)，先在課外預(yù)設(shè)，然后在課堂上以多種方式呈現(xiàn)有序的主干問題序列帶.它為學(xué)生提供有效的系列問題，引導(dǎo)學(xué)生深入思考數(shù)學(xué)知識(shí)，為學(xué)生多樣的思維與探索提供了可能性.問題鏈的設(shè)計(jì)應(yīng)堅(jiān)持以學(xué)生的認(rèn)知能力為基礎(chǔ)、以核心知識(shí)為主體的原則，將若干問題經(jīng)過比較、提煉、打磨、整合、建構(gòu)，形成一系列具有內(nèi)在聯(lián)系的問題鏈條[2].在向量教學(xué)中，通過貫穿教學(xué)各環(huán)節(jié)的問題鏈設(shè)計(jì)，充分挖掘向量問題中的幾何意義，可以引領(lǐng)學(xué)生思維發(fā)展，促進(jìn)核心素養(yǎng)的落實(shí).

一、新知引入問題鏈：鋪設(shè)情境，指向明確目標(biāo)

新知引入應(yīng)著眼于大多數(shù)學(xué)生的認(rèn)知能力.教師通過問題鏈的設(shè)計(jì)，將復(fù)雜問題的切入點(diǎn)落在基礎(chǔ)的情境問題上，可以讓知識(shí)點(diǎn)的銜接更加流暢，讓教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)方法更明確，進(jìn)而激活學(xué)生的思維，提高其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).作為課堂引入的問題鏈設(shè)計(jì)，應(yīng)關(guān)注問題的相通性和范圍，遵循從熟悉的知識(shí)到不太熟悉的知識(shí)、從研究較小的范圍過渡到研究包含該問題的更大的范圍這一層層遞進(jìn)的邏輯順序.

向量本身具有數(shù)與形的雙重特性，試題命制時(shí)也常常以這兩種形式呈現(xiàn).遇到以圖形為主干知識(shí)的命題，或者能直接在題目中挖掘幾何圖象的命題，教師要善于將此類問題解剖成幾何知識(shí)，讓學(xué)生用熟悉的圖形來描述問題，并借助問題推廣鏈擴(kuò)大討論范圍，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象力.

例1已知向量a≠b,|b|=1,對(duì)任意m∈R,有 |a-mb|≥ |a-b|,則()

A.a⊥bB.(a+b)⊥(a-b)

C.a⊥(a-b)D.b⊥(a-b)

若期望學(xué)生能用幾何的思想去解答例1，可設(shè)計(jì)如下問題鏈.

問題1：在△ABC中，你能找到熟悉的向量關(guān)系式嗎？請(qǐng)?jiān)趫D形中描出.

（以常見知識(shí)入手，強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)圖形）

問題2：在△ABC中，你能作出的圖形嗎？觀察其與的關(guān)系.

（繼續(xù)作圖，訓(xùn)練作圖能力，強(qiáng)化幾何意識(shí)）

問題3：在△ABC中，當(dāng)m變化時(shí)，你能找到與的數(shù)量關(guān)系嗎？

（從認(rèn)知上看，學(xué)生最不容易明白如何用字母變量替換定值，有了問題2的設(shè)計(jì)，學(xué)生可以嘗試用不同的m值,畫出不同的圖形，并觀察數(shù)量關(guān)系的變化）

問題4：在△ABC中，若對(duì)于任意的m∈R，都有,則∠ACB=()

（從圖形的變化中，體現(xiàn)一般到特殊的思想）

問題5：能否借問題4解決例1提出的問題？

（類比問題4，重溫思考過程，熟悉解題方法）

問題6：你能用其他方法解決上述問題嗎？比較方法的差異.

（比較幾何法和代數(shù)法的異同，體會(huì)幾何法的本質(zhì)，促進(jìn)直觀想象能力的提升）

例1不是一個(gè)很直觀的幾何描述形式，學(xué)生可以用建系運(yùn)算的方法解決問題，但運(yùn)算量較大.基于本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是有針對(duì)性地使用幾何法解決向量問題，因此，筆者在引入部分就設(shè)計(jì)好問題，將學(xué)生的思維暫時(shí)集中在圖形方面，通過問題鏈的設(shè)計(jì)，指導(dǎo)學(xué)生嘗試將符號(hào)語言圖形化，并通過幾何語言的轉(zhuǎn)化，發(fā)現(xiàn)問題的幾何本質(zhì)是一樣的，進(jìn)而從幾何角度找到解決問題的方法，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

二、新知探究問題鏈：層層遞進(jìn)，激發(fā)學(xué)生思維

在對(duì)新知進(jìn)行探究時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生自主探究解題方法，進(jìn)而揭示數(shù)學(xué)問題背后的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法.因此，教師在設(shè)計(jì)新知探究問題鏈時(shí)，要充分掌握學(xué)情，由淺入深，層層遞進(jìn)，既要符合學(xué)生的認(rèn)知水平，又要引入一定的認(rèn)知沖突，讓學(xué)生在探索中找尋規(guī)律、發(fā)現(xiàn)方法.例如，可以通過從特殊到一般的設(shè)問，讓學(xué)生找尋知識(shí)的相關(guān)性，進(jìn)而形成知識(shí)脈絡(luò)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維.

遇到題干沒有明確圖形的問題時(shí)，教師要有意識(shí)地借助問題引申鏈，引導(dǎo)學(xué)生用特殊圖形來理解，然后一步一步地去解決問題，并在問題解決的過程中感悟直觀想象.

在新知探究時(shí)，筆者設(shè)計(jì)了如下問題鏈.

問題7：已知向量=1,,若，試探究C點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡.

（根據(jù)初中知識(shí)，可知其運(yùn)動(dòng)軌跡是圓，進(jìn)行知識(shí)和方法的雙重儲(chǔ)備）

問題8：已知向量,若=60°,試探究C點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡.

（經(jīng)歷了例1的研究后，學(xué)生形成了通過研究特殊圖象問題，找到一般問題的解題方法.問題7和8再次體現(xiàn)了特殊到一般的數(shù)學(xué)思想）

問題9：請(qǐng)描述問題7和8隱藏的幾何知識(shí)，能否總結(jié)規(guī)律？

（聚焦方法）

問題10：已知向量=2,若=90°,試求的取值范圍.

（在直角坐標(biāo)系中，條件向量的一般化對(duì)圖形會(huì)產(chǎn)生影響，讓學(xué)生探究解題方法是否也會(huì)發(fā)生變化）

問題11：已知向量a,b,c滿足|a|=|b|=a?b=2,(a-c)?(b-2c)=0,求|b-c|的最大值.

（作圖的難度有所增加，部分學(xué)生不能畫出圖象，教師適時(shí)進(jìn)行輔導(dǎo)）

問題12：?jiǎn)栴}10和11的本質(zhì)問題是什么？你能找出或編出類似的題目嗎？

（追問問題本質(zhì)，讓學(xué)生找題、編題則是為了培養(yǎng)學(xué)生善于觀察、善于發(fā)現(xiàn)的能力）

針對(duì)平面向量中的模長、垂直等問題，很多學(xué)生首先想到的是坐標(biāo)法，或是看到模長馬上想到平方，再借助向量數(shù)量積展開運(yùn)算，過程較為煩瑣，要把問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)單純的運(yùn)算問題，而且在算出結(jié)果后，也不知道其最值的含義是什么.筆者通過問題鏈設(shè)計(jì)，將學(xué)生的思考方向往圖形上引導(dǎo)，讓他們發(fā)現(xiàn)模長、垂直等問題的本質(zhì)往往與圓相關(guān)，再讓學(xué)生結(jié)合圓的幾何含義來分析問題，這樣能更好地幫助學(xué)生理解問題，培養(yǎng)他們數(shù)形結(jié)合的能力.

三、新知鞏固問題鏈：厘清方法，掌握核心知識(shí)

建構(gòu)主義認(rèn)為，學(xué)習(xí)的各種能力都是基于經(jīng)驗(yàn)的積累.在知識(shí)鞏固階段，教師應(yīng)設(shè)計(jì)與教學(xué)主體知識(shí)相關(guān)的問題鏈，結(jié)合適當(dāng)?shù)脑u(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，來判斷學(xué)生對(duì)核心知識(shí)的掌握程度.同時(shí)，教師還要厘清核心思想、核心方法，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建知識(shí)體系，幫助學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí).

本節(jié)課學(xué)生要形成的學(xué)科素養(yǎng)是：能用幾何的觀點(diǎn)描述問題，思考問題，解決問題.因此，在問題鏈的設(shè)計(jì)上，教師要借助綜合鏈來引導(dǎo)學(xué)生畫出圖形，讓他們從圖形的角度將代數(shù)問題幾何化，發(fā)現(xiàn)幾何意義，并在圖形中揣摩、求證，快速找到答案.筆者設(shè)計(jì)了如下問題鏈.

問題13：如何理解|a-b|=1，它的圖象是什么？

（回顧知識(shí)探究時(shí)得到的收獲，再次加深學(xué)生對(duì)幾何意義及圖象有機(jī)結(jié)合的認(rèn)識(shí)）

問題14：能理解|c-a-b|=1嗎？請(qǐng)描述它的幾何含義.

（根據(jù)問題13的啟示，學(xué)生基本能聯(lián)想到圓.注意提醒學(xué)生|c-(a+b)|與|(c-a)-b|等不同形式下幾何意義的區(qū)別）

問題15：已知單位向量a,b的夾角為60°,設(shè)向量c=xa+yb,x,y∈R,若|c-a-b|=1,試畫出c的圖象.

（在問題14的基礎(chǔ)上，將代數(shù)問題幾何化，讓學(xué)生畫出圓的圖形，考查學(xué)生是否具有運(yùn)用幾何法思考并解決問題的能力，落實(shí)本節(jié)課幾何法的素養(yǎng)）

問題16：在問題15的基礎(chǔ)上，求x+2y的最大值.

（繼續(xù)進(jìn)行代數(shù)問題的幾何化，將二元變量的問題轉(zhuǎn)化為圓切線或線性規(guī)劃的問題）

問題17：矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上.若，則λ+μ的最大值為（ ）

（類似問題16的文體變式描述，再次鞏固解題方法）

問題18：比較問題16和17，感受偏代數(shù)和偏幾何不同描述形式對(duì)解題思維形成的啟發(fā)，體會(huì)挖掘幾何元素對(duì)解題的幫助.

（通過研究表象形式不同但內(nèi)涵相同的問題，幫助學(xué)生歸納方法，總結(jié)思想）

對(duì)于平面向量基本定理的系數(shù)問題和向量差的模長問題結(jié)合在一起的題目，學(xué)生由于作圖能力還有欠缺，直接入手較為困難.但本節(jié)課的核心思想就是培養(yǎng)學(xué)生用幾何法解決向量問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合、直觀想象的能力.因此，在設(shè)計(jì)問題鏈時(shí)，筆者充分考慮學(xué)生的已有知識(shí)，抓住解決問題的方法幾何法，確立解題的關(guān)鍵是將題中條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形，在圖形具象化后，再讓學(xué)生借助圖形的相關(guān)知識(shí)解決問題.這比代數(shù)法更形象易懂，更簡(jiǎn)單明了.

四、新知遷移問題鏈：融會(huì)貫通，發(fā)展創(chuàng)新思維

數(shù)學(xué)知識(shí)的遷移應(yīng)基于基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，注重內(nèi)在思維的遷移.因此，教師在設(shè)計(jì)知識(shí)遷移問題鏈時(shí)，應(yīng)著重體現(xiàn)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，突出思想方法的運(yùn)用，拓展學(xué)生的想象空間，提升其邏輯推理能力，發(fā)展其創(chuàng)新思維.

教學(xué)向量時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建與原問題等價(jià)或有關(guān)的“幾何模型”，在數(shù)與形之間架設(shè)橋梁，以達(dá)到解決問題的目的.在問題鏈的設(shè)計(jì)上，教師要借助問題深化鏈來深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念或模型的理解，使他們能將所學(xué)的知識(shí)融會(huì)貫通.讓學(xué)生經(jīng)歷模型構(gòu)造的過程，有助于學(xué)生把握事物的本質(zhì)，培養(yǎng)直觀想象能力.

在向量幾何知識(shí)遷移時(shí)，筆者設(shè)計(jì)了如下問題鏈.

問題19：已知|m|=1,若a·m=4,探究a的軌跡并解釋其幾何意義.

（向量投影法是向量幾何意義的重要體現(xiàn)之一，要讓學(xué)生充分理解）

問題20：已知m，n是單位向量，夾角為90°，若同一平面內(nèi)向量a滿足a?m=2，a?n=，探究a的軌跡.

（單一投影變二維投影，讓學(xué)生體會(huì)圖象的變化以及知識(shí)的變遷）

問題21：在問題20中，把條件同一平面改成空間向量，你能體會(huì)從二維平面到三維空間的類比關(guān)系嗎？

（類比平面幾何，將常見方法、知識(shí)等拓展到三維空間，是學(xué)習(xí)幾何知識(shí)和獲得空間想象能力的重要途徑）

問題22：已知m⊥n,且|m|=|n|=1,若a?m=4,a?n=3,|a|=,則對(duì)任意實(shí)數(shù)λ1,λ2,|a-λ1m-λ2n|的最小值是（ ）

（作圖建立對(duì)應(yīng)長方體的數(shù)學(xué)模型，在模型中解決數(shù)量問題）

問題23：已知m,n是單位向量,夾角為60°,若空間向量a滿足a?m=2,a?n=,對(duì)于任意的x,y,有|a-(xm+yn)|≥1,則|a|=____.

（進(jìn)一步強(qiáng)化建模意識(shí)，建立平行六面體的模型，體會(huì)用模型解題的妙處）

問題24：你能嘗試變化題中的條件，構(gòu)建新的數(shù)學(xué)模型嗎？

（開放式的問題，讓學(xué)生自由發(fā)揮，形成數(shù)學(xué)建模的思想）

對(duì)于相同向量與不同向量的數(shù)量積問題，根據(jù)公式，學(xué)生想到的大多是夾角不同，而幾何法揭示的則是投影的問題.因此，教師在設(shè)計(jì)問題鏈時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生從投影的角度出發(fā)，將問題指向圖形，然后啟發(fā)學(xué)生從圖形的角度思考問題，并從平面圖形遷移到空間圖形，同時(shí)將特殊延伸到一般，將直角坐標(biāo)系推廣為仿射坐標(biāo)系，讓空間幾何體的模型映入腦海，將所學(xué)的知識(shí)方法等融會(huì)貫通.這樣，更能體現(xiàn)構(gòu)建模型的數(shù)學(xué)思想.

五、小結(jié)

總之，教師在利用問題鏈進(jìn)行教學(xué)時(shí)，設(shè)計(jì)循序漸進(jìn)的問題鏈，將向量系列問題幾何元素的挖掘過程置于問題鏈呈現(xiàn)的內(nèi)容中，啟發(fā)并幫助學(xué)生形成幾何思想，既能引導(dǎo)學(xué)生解決實(shí)際問題，又能促進(jìn)他們舉一反三能力的提升，進(jìn)而逐步培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力.

杜威說：“教育的本質(zhì)是經(jīng)驗(yàn)的改造和重組.”偏離學(xué)生實(shí)際經(jīng)驗(yàn)的教學(xué)往往是空中樓閣.在日常教學(xué)中，教師要找準(zhǔn)契機(jī)，幫助學(xué)生盡可能多地經(jīng)歷直觀想象的過程.而通過有針對(duì)性的問題鏈設(shè)計(jì)，將直觀想象分步驟、分層次、有難度、有深度地進(jìn)行培養(yǎng)，可以提升學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力，促使他們形成運(yùn)用圖形思考問題、解決問題的意識(shí)，發(fā)展他們的幾何直觀和空間想象能力，進(jìn)而幫助他們獲得更多的可持續(xù)發(fā)展的素養(yǎng).□◢