問題化教學(xué)促學(xué)生形成函數(shù)模型思想*

□劉莎

（寧波市海曙區(qū)高橋鎮(zhèn)中心初級中學(xué)，浙江 寧波 315174）

函數(shù)概念深刻地反映了客觀世界的運(yùn)動(dòng)和實(shí)際量之間的依賴關(guān)系，是近代數(shù)學(xué)的主要基礎(chǔ).模型思想是針對要解決的實(shí)際問題，構(gòu)造相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，通過對數(shù)學(xué)模型的研究來解決實(shí)際問題的一種數(shù)學(xué)思想方法.函數(shù)模型思想，即在解決實(shí)際問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)在變化過程中存在著變量之間的對應(yīng)關(guān)系，通過構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)模型來描述、分析并解決實(shí)際問題的數(shù)學(xué)思想.問題化教學(xué)是指課堂教學(xué)中，教師以問題為載體，不斷刺激學(xué)生思考問題、發(fā)現(xiàn)問題，再提出問題、分析并解決問題，獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，形成數(shù)學(xué)思考的教學(xué)方法.這種課堂模式從學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”中提出問題，滲透函數(shù)模型思想，能激發(fā)學(xué)生的探究熱情，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題并最終解決問題.

下面筆者以在寧波市海曙區(qū)第十五屆初中數(shù)學(xué)教壇新秀評比中上的“注水問題中的函數(shù)模型——一次函數(shù)應(yīng)用復(fù)習(xí)”一課為例，談?wù)勔詥栴}化教學(xué)促使學(xué)生形成函數(shù)模型思想的策略.

一、學(xué)情分析及目標(biāo)設(shè)定

（一）學(xué)情分析

本節(jié)課的教學(xué)對象是已快結(jié)束八年級下學(xué)期課程的學(xué)生，他們已經(jīng)具備幾何圖形分析、數(shù)形結(jié)合思想，以及運(yùn)用方程與不等式解決實(shí)際問題的能力.但是由于函數(shù)概念的抽象性，學(xué)生還是難以應(yīng)用函數(shù)來描述實(shí)際問題，難以通過函數(shù)分析來解決實(shí)際問題.

（二）目標(biāo)設(shè)定

1.借助函數(shù)的圖象與性質(zhì)，運(yùn)用方程、不等式的相關(guān)知識(shí)來分析和解決問題，并滲透函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論、化歸等數(shù)學(xué)思想方法.

2.經(jīng)歷數(shù)學(xué)函數(shù)建模解決實(shí)際問題的過程，能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)語言來描述實(shí)際問題，提煉出相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題，再通過相關(guān)數(shù)學(xué)函數(shù)模型來解決此數(shù)學(xué)問題，從而達(dá)成解決實(shí)際問題的目標(biāo)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)函數(shù)建模思想素養(yǎng).

二、教學(xué)過程

（一）背景引入，激發(fā)興趣

例1甲杯中下圓柱的底面積為10cm2，高為20cm；上圓柱底面積為30cm2，高不限，上下連通.乙杯是底面積為20cm2且不限高的圓柱形（圖略）.現(xiàn)向甲、乙兩杯中分別注水，設(shè)水面高度為h(cm)，杯中水的體積為V甲(mL)，V乙(mL).

問題1：分別寫出V甲，V乙與h的關(guān)系式.

問題2：請將V甲和V乙畫在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中.

教學(xué)活動(dòng)1：（1）引導(dǎo)學(xué)生自主思考、交流，經(jīng)歷“從實(shí)際問題到數(shù)學(xué)問題的抽象”這一過程，體會(huì)如何從實(shí)際問題中變量之間的恒等關(guān)系出發(fā)，尋求函數(shù)解析式．（2）讓學(xué)生動(dòng)手畫圖，體會(huì)在分段函數(shù)的畫圖中自變量取值范圍的重要性，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性.

設(shè)計(jì)意圖：杯中注水，水的體積與高度會(huì)發(fā)生動(dòng)態(tài)變化.學(xué)生有相關(guān)經(jīng)驗(yàn)，所以V乙與h的關(guān)系毫無挑戰(zhàn)性，但是由于甲杯的組合性，需要分段求解，學(xué)生就要跳一跳才能夠得著.這種基于“最近發(fā)展區(qū)”的提問，大大激發(fā)了學(xué)生的求知欲.

問題3：觀察圖形（圖略），V甲關(guān)于h的圖象與V乙關(guān)于h的圖象是否會(huì)相交？若相交，請求出交點(diǎn)，并思考交點(diǎn)所代表的實(shí)際含義.若不相交，請說明理由.

教學(xué)活動(dòng)2：（1）學(xué)生自主觀察與小組討論相結(jié)合，與同伴一起學(xué)習(xí)，找出差異.（2）通過圖形觀察以及對一次函數(shù)中K相等所對應(yīng)的圖形關(guān)系的理解，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想在畫圖中的作用.（3）利用方程思想求交點(diǎn)，通過對交點(diǎn)所表達(dá)的實(shí)際含義的思考，進(jìn)一步理解實(shí)際問題.

設(shè)計(jì)意圖：應(yīng)用函數(shù)模型解決實(shí)際問題，大多會(huì)用到函數(shù)圖象來進(jìn)行分析探究，所以畫圖是基本功，哪怕是草圖，也不能忽略圖形本身可能具備的位置關(guān)系.這可以培養(yǎng)學(xué)生畫圖的正確意識(shí).

問題4：繼續(xù)觀察圖形，你還能從圖形中發(fā)現(xiàn)什么呢？試著跟同桌交流.

教學(xué)活動(dòng)3：看圖說話，培養(yǎng)學(xué)生觀察分析與合作交流的能力.在小組交流中，可以越來越清晰地呈現(xiàn)出圖形帶來的解題思考.這可以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的解題思想.

預(yù)設(shè)1：變化規(guī)律：V甲隨著h增大而增大，不過，一開始增大得比較緩慢，后來增大得很快；而V乙隨著h增大而增大，保持速度不變.探究變化規(guī)律的原因.

預(yù)設(shè)2：當(dāng)h為何值時(shí)，V甲=V乙？當(dāng)h為何值時(shí)，V甲V乙？

設(shè)計(jì)意圖：開放式話題，能刺激學(xué)生打開思維，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力.預(yù)設(shè)1和預(yù)設(shè)2是學(xué)生能想到的問題，讓學(xué)生提出來，更能促使他們主動(dòng)思考解題的方法.興趣是最好的老師，要把學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)還給學(xué)生.

（二）問題探究，步步深入

問題5：根據(jù)以上信息，如果你是老師，你還可以補(bǔ)充一個(gè)條件，再提出新的問題嗎？小組合作討論.

教學(xué)活動(dòng)4：有了問題4的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，面對問題5學(xué)生非常踴躍，所提問題如：

提問1：已知h=10，求V甲，V乙的體積差為多少？已知V甲=100，求h，V乙.已知V甲=300，求h，V乙.

提問2：甲、乙的體積差為400mL時(shí)，此時(shí)甲、乙水面高度h各是多少？甲、乙的體積差為200mL時(shí)，甲、乙水面高度h各是多少？甲、乙的體積差為100mL時(shí)，甲、乙水面高度h各是多少？

筆者適時(shí)追問：

追問1：在已知自變量求函數(shù)值，或已知函數(shù)值求自變量的問題中，你覺得需要注意什么？

追問2：從以上變量關(guān)系中，你覺得V乙是關(guān)于V甲的函數(shù)嗎？如果是，嘗試寫出它們的函數(shù)解析式.如果不是，請說明理由.

追問3：在提問2中，為什么給出了三個(gè)不同的體積差的值呢？是隨意的嗎？

追問4：高度h關(guān)于體積差V′是函數(shù)關(guān)系嗎？如果是，請思考解析式如何寫？如果不是，說明理由.

追問5：當(dāng)高度h確定時(shí)，體積差V′唯一確定嗎？V′關(guān)于h是函數(shù)關(guān)系嗎？如果是，請思考寫出解析式；如果不是，請說明理由.

設(shè)計(jì)意圖：經(jīng)過鞏固練習(xí)，學(xué)生積累了很多問題，此時(shí)利用開放式的提問，讓學(xué)生自行生成問題，有利于學(xué)生主動(dòng)去思考如何解決問題.教師基于學(xué)生的提問，適時(shí)追問，可以促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行深度思考.其中追問4和5促使學(xué)生強(qiáng)化對函數(shù)關(guān)系的判斷，使其對函數(shù)概念的理解更深刻.追問2和5引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行變式思維，改變觀察探究的角度，能促進(jìn)新的函數(shù)模型的生成，讓學(xué)生在新舊認(rèn)知的碰撞中獲得感悟，形成函數(shù)模型意識(shí).

（三）問題應(yīng)用，體現(xiàn)模型

例2小明從網(wǎng)上買了兩個(gè)玻璃水杯，甲杯是由上下兩個(gè)圓柱拼接而成的（中間連通），乙杯是一個(gè)圓柱.小明分別往兩個(gè)杯子內(nèi)倒水，杯內(nèi)水的高度相同時(shí)，水的體積記錄如表1.

表1

則甲杯底部圓柱的容積為___mL.當(dāng)乙杯內(nèi)水的體積為150mL時(shí)，要使兩個(gè)杯子內(nèi)水的高度相同，甲杯中水的體積為__mL.

從本題給出的數(shù)據(jù)，很難直接看出規(guī)律.解題時(shí)，應(yīng)該從實(shí)際問題出發(fā)，探究變量之間的函數(shù)關(guān)系，再通過函數(shù)圖象特征分析數(shù)據(jù)的關(guān)聯(lián)性，從而解決問題.

1.探究V甲、V乙分別關(guān)于h的函數(shù)關(guān)系

雖然例題中沒有給出底面積的具體大小，但根據(jù)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)可大致畫出它們的函數(shù)圖象.從表格中所列的數(shù)據(jù)看，從第四列開始，體積差都是50mL，可以大膽猜測，當(dāng)h超過一定值后，對應(yīng)圖形沒有交點(diǎn)，即它們互相平行，則說明甲杯上圓柱和乙杯圓柱的底面積相等.而第一次出現(xiàn)體積差為50mL處，即為甲杯中下圓柱充滿水時(shí)，故此前水的高度相同時(shí)，甲、乙的體積比為4∶9，可求得甲杯下圓柱體積為40mL，此時(shí)乙杯中水的體積為90mL.又因?yàn)樵趦蓚€(gè)杯子內(nèi)水的高度相同的情況下，當(dāng)乙杯中水的體積超過90mL后，甲、乙杯中水的體積差始終是50mL，從而，當(dāng)乙杯內(nèi)體積為150mL時(shí)，甲杯中水的體積必為100mL.

2.探究體積差V′關(guān)于h的函數(shù)關(guān)系

通過計(jì)算，隨著高度h的增加，V′分別是20，40，45，50，50，50，再根據(jù)實(shí)際問題情境，不難畫出體積差V′關(guān)于h的大致函數(shù)圖象.當(dāng)乙杯內(nèi)體積為150mL時(shí)，要使兩個(gè)杯子內(nèi)水的高度相同，甲杯中水的體積應(yīng)為100mL.剩下的問題的關(guān)鍵馬上轉(zhuǎn)化到折點(diǎn)處了，也即當(dāng)甲杯下圓柱水滿時(shí)，由于具體的水的高度h不清楚，所以不能直接求出V′關(guān)于h的函數(shù)解析式.可以同上考慮，得甲杯下圓柱體積為40mL，此時(shí)乙杯中水的體積為90mL.

3.探究V乙關(guān)于V甲的函數(shù)關(guān)系

分析表格中的數(shù)據(jù)不難發(fā)現(xiàn)，這是用列表法呈現(xiàn)的函數(shù)關(guān)系，不妨把V甲看作橫坐標(biāo)，V乙看作相應(yīng)的縱坐標(biāo)，直接在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)、連線（圖略），再結(jié)合V乙關(guān)于V甲的一次函數(shù)特征，發(fā)現(xiàn)圖象為兩條相交的直線，再利用待定系數(shù)法可得分段函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)為（40，90），其中交點(diǎn)的橫坐標(biāo)40mL即為甲杯底部圓柱的容積；當(dāng)乙杯內(nèi)體積為150mL時(shí)，要使兩個(gè)杯子內(nèi)水的高度相同，甲杯中水的體積應(yīng)為100mL.

設(shè)計(jì)意圖：在實(shí)際問題中，學(xué)生觀察數(shù)據(jù)，在尋求規(guī)律遇到障礙后，通過尋求函數(shù)模型，有利于對實(shí)際問題進(jìn)行描述，進(jìn)而解決實(shí)際問題.根據(jù)本節(jié)課所探究的數(shù)學(xué)思考的方向，通過正向遷移，學(xué)生也能從三個(gè)角度去建立函數(shù)模型.在這樣的一題多解中，既能鍛煉學(xué)生的發(fā)散性思維，也能培養(yǎng)學(xué)生形成數(shù)學(xué)函數(shù)模型的意識(shí)，最終實(shí)現(xiàn)從實(shí)際問題抽象到數(shù)學(xué)函數(shù)模型，再從數(shù)學(xué)函數(shù)模型進(jìn)行實(shí)際問題求解的思維升華.

4.總結(jié)提煉，分享成果

筆者引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思與總結(jié).

（1）在本節(jié)課中，我們學(xué)到了什么？

（2）在解決實(shí)際問題的過程中，會(huì)用到哪些數(shù)學(xué)思想和方法？

（3）在學(xué)習(xí)過程中，我們得到哪些收獲和體會(huì)？

設(shè)計(jì)意圖：在課堂教學(xué)中，教師要留一定的時(shí)間和空間讓學(xué)生進(jìn)行反思和總結(jié).在學(xué)生彼此交流成果的過程中，學(xué)生能不斷地積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，優(yōu)化知識(shí)結(jié)構(gòu)；教師也可以在一定程度上了解學(xué)生知識(shí)學(xué)習(xí)的深度和廣度，把握學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平，為教學(xué)的進(jìn)一步優(yōu)化提供材料支撐．

三、幾點(diǎn)思考

（一）問題化教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)以學(xué)情為基礎(chǔ)

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，學(xué)生現(xiàn)有的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)、學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和思維方式應(yīng)該成為數(shù)學(xué)教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)和落腳點(diǎn).以問題為載體的問題化教學(xué)設(shè)計(jì)，要求問題的設(shè)計(jì)必須符合學(xué)情，而從學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”提出的問題才能真正激發(fā)學(xué)生的求知欲.考慮到八年級學(xué)生具有數(shù)學(xué)思考嚴(yán)謹(jǐn)性不足的特征，筆者在課堂上適時(shí)地進(jìn)行反問、追問，及時(shí)補(bǔ)充相關(guān)數(shù)學(xué)信息，引導(dǎo)學(xué)生在有梯度的問題中思考解決問題的方法，以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.

教學(xué)中，教師要關(guān)注學(xué)生的差異，用不同思維層次的問題引導(dǎo)每一個(gè)學(xué)生積極參與教學(xué)活動(dòng)，提高教學(xué)活動(dòng)的針對性和有效性.教師還應(yīng)針對學(xué)生個(gè)體差異進(jìn)行課堂留白，并作策略和方法上的提示，為學(xué)有余力并對數(shù)學(xué)感興趣的學(xué)生提供思考的空間．

（二）問題化教學(xué)過程應(yīng)遵循數(shù)學(xué)內(nèi)部邏輯

問題化教學(xué)過程，主要依靠問題促進(jìn)學(xué)生的思維活動(dòng)，達(dá)成認(rèn)知的過程，除了要立足學(xué)情外，也要遵循數(shù)學(xué)內(nèi)部邏輯.比如，對四邊形→平行四邊形→菱形（矩形）→正方形，要遵循的數(shù)學(xué)內(nèi)部邏輯是特殊化，而從研究方法上看，四者均從定義、性質(zhì)、判定、應(yīng)用四個(gè)方面著手，后三者又從屬于數(shù)學(xué)內(nèi)部邏輯的并列關(guān)系.考慮到一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等的并列關(guān)系，本文只探究了一次函數(shù)模型（其他特殊函數(shù)模型思想也一樣），為將來深度探究函數(shù)模型提供學(xué)習(xí)的視角和方法.本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，如條件從明確到弱化、實(shí)際問題從淺到深等，也決定了教學(xué)過程遵從層層遞進(jìn)以及特殊化的數(shù)學(xué)內(nèi)部邏輯關(guān)系.

（三）通過問題化教學(xué)，提升學(xué)生的核心素養(yǎng)

通過數(shù)學(xué)教學(xué)，不僅要讓學(xué)生獲得數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，更重要的是讓學(xué)生體會(huì)不同數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，構(gòu)建良好的數(shù)學(xué)知識(shí)體系，培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的基本任務(wù)，要從義務(wù)教育階段做起，貫穿數(shù)學(xué)教育的始終.課堂是學(xué)生開展學(xué)習(xí)活動(dòng)的主要場所，在課堂教學(xué)中，采用問題串式的教學(xué)設(shè)計(jì)，提出層層遞進(jìn)的數(shù)學(xué)問題讓學(xué)生思考，有利于學(xué)生探究思維的生成.而開放式的問題設(shè)計(jì)，可以有效地讓學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立思考并主動(dòng)地去發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，然后在生生和師生的互動(dòng)中碰撞出解決問題的思維火花，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí).教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，設(shè)計(jì)問題情境，讓他們有問題可提，再由淺入深地引導(dǎo)他們解決問題，以拓展學(xué)生思維的深度，比如換個(gè)變量來看函數(shù)，這樣可以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，使他們具備內(nèi)化函數(shù)的意識(shí).

綜上所述，讓學(xué)生主動(dòng)動(dòng)手、動(dòng)腦、動(dòng)口的課堂，才是以學(xué)生為主體實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的課堂.□◢