數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透

孔增

【摘要】數(shù)形結(jié)合思想是重要的數(shù)學(xué)思想方法，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想，使學(xué)生領(lǐng)悟并靈活應(yīng)用，能幫助學(xué)生理解和掌握知識(shí)。因此，研究數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透方法具有重要意義。文章闡述了數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)容，分析了其實(shí)質(zhì)內(nèi)涵，從教學(xué)概念、深度思維、知識(shí)應(yīng)用三個(gè)維度入手，討論了初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想的策略。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合思想；內(nèi)涵；意義；實(shí)施策略

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A【文章編號(hào)】1006—0463（2021）20—0094—03

初中階段是學(xué)生學(xué)習(xí)的關(guān)鍵階段，起著承上啟下的重要作用[1]。與小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)相比，初中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)增多，難度加大，對(duì)學(xué)生的抽象思維能力以及邏輯思維能力要求較高。而初中生的抽象思維能力、邏輯思維能力還處于發(fā)展階段，他們的思維依然以形象思維為主。這就要求教師要在學(xué)生的形象思維與抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)之間搭建橋梁，而數(shù)形結(jié)合思想的滲透使得這一要求成為現(xiàn)實(shí)。那么，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何滲透數(shù)形結(jié)合思想呢？下面，筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，就此談?wù)勛约旱捏w會(huì)和看法。

一、數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)涵

我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休”，這句話是他對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的深刻、透徹詮釋[2]。事實(shí)上，將“數(shù)”的問(wèn)題以直觀圖形來(lái)描述，揭示其幾何特征，就能使之變得直觀。同理，對(duì)“形”的問(wèn)題以數(shù)來(lái)度量，分析數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，有助于學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)其本質(zhì)屬性。在教學(xué)中，由于初中數(shù)學(xué)知識(shí)枯燥抽象，要透徹理解，教師就要引導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，構(gòu)造出與“數(shù)”相對(duì)應(yīng)的圖形，并利用圖形的直觀去理解“數(shù)”的信息，或者將圖形相關(guān)信息轉(zhuǎn)換成熟悉的“數(shù)”，以理解“形”的相關(guān)性質(zhì)[3]。

二、初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想的重要意義

1.能有效降低學(xué)生的理解難度。初中數(shù)學(xué)內(nèi)容相較于小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)有了較大變化，其難度也有所增加，對(duì)學(xué)生的能力水平有了較高要求。而初中階段學(xué)生的能力水平與透徹理解知識(shí)的能力水平不相匹配，而數(shù)形結(jié)合思想為學(xué)生的形象思維和抽象的數(shù)學(xué)理論知識(shí)之間架起了橋梁，能助力學(xué)生對(duì)抽象知識(shí)的理解和掌握。

2.能拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。初中數(shù)學(xué)知識(shí)具有極強(qiáng)的抽象性和邏輯性，尤其是概括性較強(qiáng)的概念，學(xué)生無(wú)法深入理解。而數(shù)形結(jié)合，以“形”助“數(shù)”、以“數(shù)”化“形”，能讓抽象的概念、理論變得“血肉豐滿”，更易于理解。而在理解的過(guò)程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得以拓展，數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)得以提升。

3.能幫助學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)牢固記憶。創(chuàng)造性地應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活問(wèn)題，服務(wù)生活，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的最終歸宿。而要達(dá)到這一目的，學(xué)生就必須對(duì)知識(shí)牢固記憶，并靈活應(yīng)用。而數(shù)形結(jié)合，“以數(shù)助形”“以形解數(shù)”，不僅能加強(qiáng)理解，還能加強(qiáng)記憶，鞏固所學(xué)。

三、數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透的策略

數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)該貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)全過(guò)程。下面，筆者從教學(xué)概念、深度思維及運(yùn)用實(shí)踐三層面對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的滲透策略進(jìn)行闡述。

1.在教學(xué)概念時(shí)滲透數(shù)形結(jié)合思想。在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師通常把數(shù)學(xué)概念、公式、定理以及算法等書(shū)寫(xiě)到黑板上，學(xué)生機(jī)械地將這些內(nèi)容抄寫(xiě)在筆記本上。這樣教學(xué)，缺少了學(xué)生深度思考的過(guò)程，不利于學(xué)生思維能力的提升，也不利于教學(xué)效率的提升。而在此時(shí)，滲透數(shù)形結(jié)合思想，有利于引導(dǎo)學(xué)生深度思考，實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的透徹理解。因此，教師在向?qū)W生講授新概念的時(shí)候，應(yīng)該學(xué)會(huì)創(chuàng)新，適時(shí)滲透數(shù)形結(jié)合思想，為進(jìn)一步深入學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

例如，教學(xué)“負(fù)數(shù)”的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)時(shí)，教師可以以數(shù)軸為工具，讓學(xué)生在數(shù)軸上將不同的正數(shù)、負(fù)數(shù)及零標(biāo)出來(lái)，從而使學(xué)生對(duì)正負(fù)數(shù)、零的概念及數(shù)值大小關(guān)系有一個(gè)清晰的認(rèn)知，進(jìn)而充分掌握相應(yīng)知識(shí)點(diǎn)。

2.在學(xué)生深度思維時(shí)滲透數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)學(xué)學(xué)科與其他學(xué)科最主要的區(qū)別在于其比較抽象、概括性強(qiáng)，不容易理解。因此，教師在向?qū)W生陳述數(shù)學(xué)概念的內(nèi)容后，一般還要引導(dǎo)學(xué)生逐字逐句分析，以便其深刻理解相關(guān)知識(shí)點(diǎn)[4]。而滲透數(shù)形結(jié)合思想，通過(guò)數(shù)形結(jié)合，能將抽象的概念變?yōu)樾蜗蟮膱D形，有助于學(xué)生對(duì)概念的理解和掌握。因此，在講解概念、定理伊始，引入數(shù)形結(jié)合思想，讓學(xué)生對(duì)知識(shí)深度思維非常必要。要想讓學(xué)生很好地領(lǐng)悟這一思想，教師要培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識(shí)，讓他們把數(shù)形結(jié)合作為一種有效的思維方式。

以“數(shù)軸”相關(guān)知識(shí)的教學(xué)為例，對(duì)于剛進(jìn)入初中的學(xué)生來(lái)說(shuō)，負(fù)數(shù)屬于一個(gè)十分抽象的概念?？紤]到學(xué)生接受新知識(shí)的客觀規(guī)律，教師可以將學(xué)生已掌握的知識(shí)和圖形有機(jī)結(jié)合，在黑板上畫(huà)出一個(gè)數(shù)軸，標(biāo)出各個(gè)數(shù)的位置。并分析各個(gè)數(shù)所表示的點(diǎn)所在的位置和方向，以方便學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解。

3.在應(yīng)用所學(xué)知識(shí)時(shí)滲透數(shù)形結(jié)合思想?！皵?shù)”“形”兩者之間看似對(duì)立，實(shí)則相互統(tǒng)一、相互聯(lián)系。我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)，少直觀；形少數(shù)時(shí)，難入微?！边@句話是對(duì)“數(shù)”“形”兩者之間關(guān)系的有力詮釋。將數(shù)量關(guān)系融入到幾何圖形中，可以使數(shù)學(xué)問(wèn)題變得更加簡(jiǎn)單、具體，也有利于學(xué)生日后幾何空間知識(shí)的學(xué)習(xí)，更有利于培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和理解能力。學(xué)生之間的個(gè)體差異是客觀存在的，在應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的過(guò)程中，有些學(xué)生對(duì)知識(shí)理解不夠透徹，沒(méi)有抓住知識(shí)的實(shí)質(zhì)內(nèi)涵，在解決問(wèn)題的過(guò)程中，就會(huì)出現(xiàn)紕漏。而此時(shí)，引入數(shù)形結(jié)合思想，以“數(shù)”解“形”，就能使學(xué)生很好地理解數(shù)字和幾何圖形之間的關(guān)系，借助圖理解數(shù)字信息，進(jìn)而獲取正確的解題思路。因此，在應(yīng)用所學(xué)知識(shí)時(shí)，也應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生適時(shí)利用數(shù)形結(jié)合的方式去思考。在應(yīng)用的過(guò)程中，學(xué)生不僅對(duì)知識(shí)透徹理解，還能真正領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合思想的真諦。

四、數(shù)形結(jié)合思想的典型應(yīng)用

1.應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解決不等式的相關(guān)問(wèn)題。不等式有無(wú)數(shù)個(gè)解，它的解集如果用符號(hào)表示，那么便只是抽象符號(hào)和數(shù)字的組合，非常難以理解。為了便于學(xué)生理解不等式解集，教師要適時(shí)地引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)軸上把不等式的解集直觀地表示出來(lái)，從而使抽象問(wèn)題形象化。在數(shù)軸上表示正負(fù)數(shù)、零等數(shù)字，是數(shù)形結(jié)合思想的典型示例。而在數(shù)軸上表示數(shù)集，則是更加充分地利用數(shù)軸能形象表達(dá)數(shù)字的優(yōu)勢(shì)，這是數(shù)形結(jié)合思維模式的一次延伸和拓展。

2.利用數(shù)形結(jié)合思想理解函數(shù)問(wèn)題。在學(xué)習(xí)“函數(shù)”的相關(guān)知識(shí)時(shí)，可以利用數(shù)形結(jié)合的方法。由于函數(shù)所涉及到的知識(shí)點(diǎn)比較多，因此，學(xué)習(xí)難度相對(duì)來(lái)說(shuō)也比較大。特別是因變量和自變量之間的關(guān)系比較復(fù)雜，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生將這些復(fù)雜的關(guān)系轉(zhuǎn)變成圖形，理解和掌握不同函數(shù)的特性。如，不同的一次函數(shù)的圖象傾斜程度可以在直角坐標(biāo)系中很直觀地比較出來(lái)，二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)即是方程的解這一概念也能讓學(xué)生更快掌握。

3.利用數(shù)形結(jié)合思想理解方程組問(wèn)題。方程組的解用坐標(biāo)系進(jìn)行表示，即是兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)。在解方程組的過(guò)程中，利用數(shù)形結(jié)合的思想，我們可以根據(jù)題意分別畫(huà)出每個(gè)單獨(dú)函數(shù)的圖形，通過(guò)找到不同函數(shù)圖形的交點(diǎn)，進(jìn)而直觀地解題。例如，在解行程問(wèn)題時(shí)，應(yīng)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，依據(jù)題意畫(huà)出相應(yīng)的行程示意圖，在圖上直觀地表述時(shí)間與路程的關(guān)系以及相遇點(diǎn)。

總之，數(shù)學(xué)是一門(mén)對(duì)學(xué)生抽象思維和邏輯思考能力都要求較高的學(xué)科，而抽象思維和邏輯思考能力的提高，不是在短時(shí)間內(nèi)就能完成的，這是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程，需要學(xué)生不斷地去積累和總結(jié)。對(duì)于很多初中生來(lái)說(shuō)，他們沒(méi)有經(jīng)過(guò)系統(tǒng)的培訓(xùn)，這些能力是很薄弱的。對(duì)他們來(lái)說(shuō)，解決抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題具有相當(dāng)大的難度。這時(shí)就需要借助一些有效的解題工具，而數(shù)形結(jié)合就是在長(zhǎng)期的教學(xué)實(shí)踐中逐步總結(jié)出來(lái)的行之有效的手段。教師在日常教學(xué)中應(yīng)該注重?cái)?shù)形結(jié)合思想的滲透，加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的引導(dǎo)，讓學(xué)生真正領(lǐng)悟這一數(shù)學(xué)思想，切實(shí)提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量[5]。當(dāng)然，學(xué)生在平時(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中也要善于總結(jié)，這樣才能掌握快速解題的思路和技巧，進(jìn)而有效提高解題效率，真正達(dá)到內(nèi)化、掌握知識(shí)的目的。

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編輯：謝穎麗