賦Orlicz 范數(shù)的Orlicz 序列空間的局部k-β 性質(zhì)

劉紅嬌，李 晶

（吉林師范大學(xué)博達(dá)學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 四平 136000）

0 引言

隨著時(shí)代的發(fā)展，Orlicz空間中的理論日漸完善［1-6］，但是仍然有許多幾何性質(zhì)和點(diǎn)態(tài)性質(zhì)有待研究.本文將在一類具體的Banach空間—賦Orlicz范數(shù)的Orlicz序列空間中討論k-β點(diǎn)的刻畫問題，并進(jìn)一步得到該空間具有局部k-β性質(zhì)的等價(jià)條件．

1 預(yù)備知識

定義1.1［1］設(shè)k是一個(gè)正整數(shù). 點(diǎn)x∈S(X)稱為k-β點(diǎn)是指對于任意ε> 0，都存在δ=δ(ε，x) > 0，使得對任意的一個(gè)序列(xn) ?S(X)只要滿足，就存在k個(gè)正整數(shù)n1，n2，…，nk作為下標(biāo)，使得

定義1.2［7］設(shè)Φ： ? →[ 0，+ ∞)是一個(gè)映射，該函數(shù)稱為Orlicz函數(shù)是指：

（1）Φ是偶的、凸的并且是連續(xù)的；

（2）Φ(0) = 0；

（3）對于任意一個(gè)u≠0，有Φ(u) > 0；

與之相對應(yīng)的，稱函數(shù)

為Φ(u)的余函數(shù).顯然地，通過定義可知，函數(shù)Ψ也是一個(gè)Orlicz函數(shù). 在下面地論述中，用p(u)和p-(u)（或q(v)和q-(v)）分別表示Φ（或Ψ）的右導(dǎo)數(shù)和左導(dǎo)數(shù).

定義1.3［5］稱函數(shù)Φ滿足Δ2-條件（記為Φ ∈Δ2）是指存在正數(shù)K> 2和u0> 0，使得

成立.

定義1.4［7］稱Orlicz函數(shù)Φ是嚴(yán)格凸的是指對于任意的u，v∈?，u≠v，有

定義1.5［7］在Orlicz序列空間中，實(shí)數(shù)列x=()x(i) 的Orlicz函數(shù)模為

對于線性集

來說，關(guān)于Luxemburg范數(shù)定義為

或Orlicz范數(shù)定義為

賦Luxemburg范數(shù)或賦Orlicz范數(shù)的Orlicz序列空間分別記為lΦ或. 他們的子空間

記為hM與.

其中

引理1.1［7］

引理1.2［7］對于任意的u∈lΦ和v∈lΨ，有

（1）當(dāng)‖u‖≤1時(shí)，IΦ(u) ≤‖u‖；

（2）當(dāng)‖u‖> 1時(shí)，IΦ(u) > ‖u‖；

引理1.3［7］假設(shè)函數(shù)Φ滿足Δ2-條件，則對于任意一個(gè)u∈lΦ，都有

（1）‖u‖ = 1 ?IΦ(u) = 1；

（2）對任意的ε> 0，存在δ> 0，使得

（3）對任意的ε∈(0，1)，存在δ∈(0，1)，使得

（4）對任意的ε∈(0，1)，存在δ∈(0，1)，使得

引理1.4［7］若函數(shù)Φ滿足Δ2-條件，則對任意的實(shí)數(shù)L> 0和ε> 0，存在δ> 0，使得

成立.

2 主要結(jié)果與證明

定理2.1 設(shè)k是一個(gè)正整數(shù).為k-β點(diǎn)的充分必要條件是：

（1）Φ ∈Δ2；

（2）Ψ ∈Δ2.

證明：必要性. 對任意的實(shí)數(shù)序列x=()x(i) ，當(dāng)m，n∈?，m>n時(shí)，記

當(dāng)函數(shù)Φ不滿足Δ2-條件時(shí)，則. 此時(shí)需要考慮以下情形，即分別考慮在與不在中的點(diǎn)是否為k-β點(diǎn).

對任意的n∈Ν都成立.

下面記i0= 0.

如此進(jìn)行下去，即存在i0

為了方便，下面令

對任意的m，n∈?，m>n都成立.

又因?yàn)?/p>

這與x為k-β點(diǎn)的定義矛盾.

取g∈K(x)，則對每一個(gè)n∈?，令

則

并且

但是

這與x為k-β點(diǎn)的定義矛盾.

綜合以上兩種情形可知，在賦Orlicz范數(shù)的Orlicz序列空間中，若一個(gè)點(diǎn)是k-β點(diǎn)，那么Orlicz函數(shù)Φ一定滿足Δ2-條件，即條件（1）是必要的.

下面證明條件（2）的必要性，即函數(shù)Ψ滿足Δ2-條件.下面運(yùn)用反證法，假設(shè)Ψ ?Δ2，則存在正數(shù)序列yn↓0，滿足且

由前面的證明可知Φ ∈Δ2，所以首先取ε= 1，則存在正整數(shù)i1∈?，使得成立. 又因?yàn)?，所以肯定存在j1∈?，使得，并且；再取，則存在正整數(shù)i2∈?，滿足i2>i1+j1的同時(shí)，滿足. 又因?yàn)?，所以存在j2∈?，使得，并且

如此進(jìn)行下去，則存在一個(gè)序列i1

則對所有的n∈?，有

并且

成立，因此，對每一個(gè)n∈?，有，并且

因?yàn)閦n∈hΨ并且函數(shù)Φ滿足Δ2-條件，所以存在使得的同時(shí)滿足suppxn?suppzn. 同樣的，因?yàn)?，所以存在y∈S(lΨ)，使得.下面對每一個(gè)正整數(shù)n，令

則

所以對每一個(gè)n∈?，有. 從而

但是，對于任意的m，n∈?，m>n，有

這與x為k-β點(diǎn)的定義矛盾.

充分性.根據(jù)k-β點(diǎn)的定義，任取ε> 0，設(shè)(xn)為S()中的任一序列，并且滿足sep(xn) ≥ε. 因?yàn)棣?∈Δ2，Ψ ∈Δ2，所以x是一個(gè)β點(diǎn)，又根據(jù)β點(diǎn)的定義可知，存在正數(shù)δ=δ(ε，x) > 0和正整數(shù)n0，使得2 -δ. 在序列(xn)中任取k- 1個(gè)元素，記為xn1，xn2，…，xnk-1，則

根據(jù)k-β點(diǎn)的定義可知，x是一個(gè)k-β點(diǎn).

推論2.1 設(shè)k是一個(gè)正整數(shù).賦Orlicz范數(shù)的Orlicz序列空間具有局部k-β性質(zhì)的充分必要條件是是自反的.

證明：由定理1與文獻(xiàn)［8］可知，結(jié)論是顯然的.