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    “模”出本質(zhì) 發(fā)展思維

    2021-12-22 00:59:31許海英
    關(guān)鍵詞:發(fā)展思維模型思想本質(zhì)

    許海英

    【摘 要】培養(yǎng)學(xué)生的模型思想,有助于其掌握知識的本質(zhì),進(jìn)一步發(fā)展思維能力,但這對教師提出了更高的要求,要求教師要具備一定的模型思想意識,善于捕捉數(shù)學(xué)知識與模型思想的契合點,積極創(chuàng)新教學(xué)模式。本文以“稍復(fù)雜的百分?jǐn)?shù)實際問題”為例,嘗試通過三條途徑推進(jìn)學(xué)生模型思想的培養(yǎng),即還原問題,滲透模型思想;發(fā)掘本質(zhì),形成模型思想;自主反思,建立模型思想。

    【關(guān)鍵詞】模型思想 本質(zhì) 發(fā)展思維

    數(shù)學(xué)新課標(biāo)中明確要求:讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并解釋與應(yīng)用的過程,進(jìn)而使學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)理解的同時,在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展。數(shù)學(xué)模型思想是數(shù)學(xué)學(xué)科核心思想的重要組成部分,主要指在認(rèn)識、理解相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識時能夠?qū)⒊橄蠡臄?shù)學(xué)數(shù)量關(guān)系、圖形關(guān)系等以形象化的數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表示。培養(yǎng)模型思想不僅有助于學(xué)生掌握知識的內(nèi)在本質(zhì),更能進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的思維能力,從而提高其解決問題的能力。

    由于小學(xué)生自身認(rèn)知水平相對較低,在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的過程中,教師需要引導(dǎo)其發(fā)展數(shù)學(xué)思維,并重視培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)模型思想。這對教師來說是一種能力的挑戰(zhàn),教師要能善于捕捉教材中數(shù)學(xué)知識與模型思想的契合點,積極創(chuàng)新教學(xué)模式,將抽象的數(shù)學(xué)知識在模型思想的助力下形象化,便于學(xué)生理解和掌握,同時也發(fā)展了學(xué)生的思維能力。“稍復(fù)雜的百分?jǐn)?shù)實際問題”是蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級上冊的學(xué)習(xí)內(nèi)容,是百分?jǐn)?shù)知識的一個難點,不少學(xué)生對這類“看似差不多的題目”表現(xiàn)出不知所措。其實學(xué)生可以運(yùn)用建模思想解決相關(guān)問題,以不變的數(shù)量關(guān)系為“型”,“?!背鲋R本質(zhì),發(fā)展數(shù)學(xué)思維。下面筆者就具體談一談。

    一、還原問題,滲透模型思想

    教師所提出的數(shù)學(xué)問題是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)思維的重要基礎(chǔ)。好的數(shù)學(xué)問題能喚起學(xué)生已有經(jīng)驗,引發(fā)探索,激發(fā)思維?!吧詮?fù)雜的百分?jǐn)?shù)實際問題”比學(xué)生已經(jīng)學(xué)過的“百分?jǐn)?shù)實際問題”更復(fù)雜一些,主要是題目中的單位“1”未知,量率又不對應(yīng),但內(nèi)在本質(zhì)是不變的,那就是它們有著一致的數(shù)量關(guān)系。基于這一點,教師反而可以將問題情境還原到之前,讓學(xué)生在“走走回頭路”的過程中喚起已有經(jīng)驗,得出數(shù)量關(guān)系,滲透模型思想。

    【教學(xué)片段一】

    復(fù)習(xí)引入:錢大伯原計劃培育400棵松樹苗,實際比原計劃多20%, ?

    1.嘗試畫線段圖

    提問:先畫誰的棵數(shù)?為什么?(圈出單位“1”)

    2.觀察

    提問:實際培育棵數(shù)與原計劃之間有什么關(guān)系?(相機(jī)板書)

    原計劃培育的棵數(shù)×20%=實際比原計劃多培育的棵數(shù)

    原計劃培育的棵數(shù)+實際比原計劃多培育的棵數(shù)=實際培育的棵數(shù)

    原計劃培育的棵數(shù)×(1+20%)=實際培育的棵數(shù)

    3.提出問題

    ①實際比原計劃多培育多少棵?

    ②實際培育多少棵?

    4.在線段圖中補(bǔ)充問題并獨(dú)立解題

    解題1:400×20%=80(棵)

    解題2:400×20%=80(棵)

    400+80=480(棵)

    400×(1+20%)

    =400×1.2

    =480(棵)

    5.比較

    這兩題有什么相同點?又有什么不同點?

    相同點:單位“1”已知,都用乘法計算。

    不同點:問題不同。

    第一題:求“實際比原計劃多培育的棵數(shù)”=原計劃培育的棵數(shù)×20%(一步計算)

    第二題:求“實際培育棵數(shù)”=原計劃培育的棵數(shù)+實際比原計劃多培育的棵數(shù)(兩步計算——先求多出來的棵數(shù),再求實際培育的棵數(shù)),或者用原計劃培育的棵數(shù)×(1+20%)。

    理解數(shù)量關(guān)系對于解決實際問題來說是至關(guān)重要的,而看似復(fù)雜多變的百分?jǐn)?shù)實際問題相較于小學(xué)階段的其他實際問題,它們內(nèi)在的數(shù)量關(guān)系反而顯得簡單而清楚:“一個量是另一個量的百分之幾”或“一個量比另一個量多(少)百分之幾”,無論單位“1”是已知還是未知,量率對應(yīng)與否,其基本的數(shù)量關(guān)系都是這樣的。既然如此,那學(xué)生的學(xué)習(xí)就可以以此為起點,還原問題情境,先從舊知中尋找數(shù)量關(guān)系,滲透模型思想。

    二、發(fā)掘本質(zhì),形成模型思想

    在學(xué)生學(xué)習(xí)相關(guān)的數(shù)學(xué)知識,特別是遇到比較難理解的內(nèi)容時,教師要抓住相關(guān)知識點之間的緊密聯(lián)系,創(chuàng)新教學(xué)模式,引導(dǎo)學(xué)生綜合運(yùn)用觀察、對比、操作、交流等多種方式,透過數(shù)學(xué)表象看到數(shù)學(xué)本質(zhì),幫助他們形成相應(yīng)的建模思想。結(jié)合本節(jié)課,在兩道復(fù)習(xí)題的基礎(chǔ)上,教師又進(jìn)行了兩次改編。學(xué)生在層層對比中感悟到“萬變不離其宗”,數(shù)量關(guān)系并沒有發(fā)生變化,解題思路逐漸明朗。

    【教學(xué)片段二】

    1.改編題目(例題)

    錢大伯實際培育480棵松樹苗,實際比原計劃多20%,問原計劃培育了多少棵樹苗?

    (1)觀察比較

    與兩道復(fù)習(xí)題相比,有哪些相同點與不同點?

    相同點:根據(jù)“實際比原計劃多20%”得出單位“1”不變——還是把原計劃培育松樹苗棵數(shù)看作單位“1”,且數(shù)量關(guān)系也不變。(強(qiáng)調(diào)原來三個數(shù)量關(guān)系式)

    不同點:原來單位“1”已知,現(xiàn)在單位“1”未知。

    (2)修改線段圖

    思考:線段圖哪些地方不變,哪些地方要變?

    指出:因為數(shù)量關(guān)系不變,所以圖的整體框架都不變,只要調(diào)換已知量和未知量。

    (3)交流解題方法

    提問:現(xiàn)在要用什么方法做?為什么用方程或除法計算?(單位“1”未知)

    追問:可以依據(jù)哪個數(shù)量關(guān)系式進(jìn)行列式?你是怎么想的?(強(qiáng)調(diào)依據(jù)原數(shù)量關(guān)系式思考列式,不過要看清已知量)

    (4)獨(dú)立解答后交流

    解:設(shè)原計劃培育x棵松樹苗。

    a:x+20%x=480

    120%x=480

    x=480÷1.2

    x=400(棵)

    b:(1+20%)x=480

    120%x=480

    x=480÷1.2

    x=400(棵)

    或者:480÷(1+20%)

    =480÷1.2

    =400(棵)

    2.再次改編題目

    錢大伯實際比原計劃多培育了80棵松樹苗,比原計劃多20%。原計劃培育松樹苗多少棵?

    (1)獨(dú)立修改線段圖

    (2)獨(dú)立解題

    解:設(shè)原計劃培育x棵松樹苗。

    20%x=80

    x=80÷0.2

    x=400(棵)

    或者:80÷20%

    =80÷0.2

    =400(棵)

    (3)觀察比較異同

    提問:①為什么還是用方程或除法解題?(單位“1”未知)

    ②為什么只要一步計算?你是怎么想的?(還是依據(jù)原來的數(shù)量關(guān)系,只不過80棵是實際比原計劃多培育的棵數(shù)=原計劃培育棵數(shù)×20%)

    畫圖是解決問題的有效策略,可以使數(shù)量之間的關(guān)系可視化,變抽象為直觀。教師在出示例題后讓學(xué)生先初步觀察比較,再通過對線段圖上“哪些要改,哪些根本不要改”進(jìn)行思辨,使學(xué)生更深刻地領(lǐng)悟到各題中數(shù)量關(guān)系的一致性,促使模型思想在學(xué)生頭腦中逐步形成,接下來的學(xué)習(xí)就更為輕松。學(xué)生只需關(guān)注題目細(xì)節(jié),如單位“1”是否已知、量率的對應(yīng)情況等,從而更好地解決實際問題。

    三、自主反思,建立模型思想

    學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的形成,既需要教師的有意滲透引導(dǎo),又需要靠學(xué)生自己在反思過程中深刻領(lǐng)悟。著名的荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾指出:反思是重要的思維活動,是思維活動的核心和動力。因此,在學(xué)生思考之后,教師要引導(dǎo)學(xué)生“回頭看走過的路”,自覺反思學(xué)習(xí)過程,建立模型思想,從而提升思維品質(zhì)。結(jié)合本節(jié)課來看,及時的回顧使學(xué)生再一次深刻感悟到了“百分?jǐn)?shù)實際問題”的數(shù)學(xué)本質(zhì),也對此有了更完整、更系統(tǒng)的認(rèn)識。

    【教學(xué)片段三】

    提問:剛才我們了解了四道“百分?jǐn)?shù)實際問題”的題目,(出示)你發(fā)現(xiàn)了什么?

    指出:根據(jù)每道題目中“實際比原計劃多培育20%”可知,四道題目兩個量之間的關(guān)系是不變的,解題時就只要依據(jù)不變的數(shù)量關(guān)系思考列式。但區(qū)別在于單位“1”已知用乘法計算,單位“1”未知用方程或除法計算。此外,還需要注意看清已知量和所需要解答的問題,確定是一步計算還是兩步計算。

    自主反思是建立模型思想的關(guān)鍵要素,學(xué)生通過對最后四道題目進(jìn)行整合對比,立即感覺把百分?jǐn)?shù)實際問題學(xué)通了——只要找到變化中不變的數(shù)量關(guān)系,再結(jié)合具體題目具體分析就可以了。模型思想的建立使學(xué)生更好地認(rèn)識數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué),同時也從中學(xué)到了思考問題的角度與方法,發(fā)展了數(shù)學(xué)思維,提高了解決問題的能力。要培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)模型思想,教師首先自身要有一定的數(shù)學(xué)模型思想意識,并善于將其融入平時的課堂教學(xué)中,積極創(chuàng)新教學(xué)模式,這樣的課堂才會是高效的課堂。

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