數(shù)學(xué)表征：兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的銜接性隱喻
——以五下“圓”的大單元學(xué)習(xí)為例

潘香君

近年來(lái)，隱喻作為一種思維方式和認(rèn)知現(xiàn)象在學(xué)校教學(xué)中受到廣泛關(guān)注。在教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)，由于數(shù)學(xué)自身抽象的特點(diǎn)，有些學(xué)生難以理解數(shù)學(xué)知識(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的理解往往停留在淺表層，不擅長(zhǎng)對(duì)單項(xiàng)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行系統(tǒng)化建構(gòu)，不能熟練地遷移運(yùn)用方法。隱喻可以將數(shù)學(xué)中的抽象化為具體，將未知化為已知，助推學(xué)生認(rèn)識(shí)和表達(dá)復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題，并通過(guò)發(fā)展學(xué)生的多元表征能力，讓他們?cè)跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中建構(gòu)體系化的知識(shí)，孕育數(shù)學(xué)思想，最終指向其思維的發(fā)展。

一、隱喻與數(shù)學(xué)表征的內(nèi)涵解讀

在狹義層面，隱喻是比喻的一種類(lèi)型；在廣義層面，隱喻是一種思維方式和認(rèn)知現(xiàn)象，是人類(lèi)認(rèn)知和文化建構(gòu)的基本方式。它是指利用熟悉的事物去構(gòu)建對(duì)未知事物的理解，所以必然存在于教學(xué)實(shí)踐中。

數(shù)學(xué)表征是數(shù)學(xué)學(xué)科的關(guān)鍵能力，既可以反映兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程，又能呈現(xiàn)兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的結(jié)果。它是指兒童利用已有的經(jīng)驗(yàn)，借助熟悉的事物，去構(gòu)建對(duì)未知事物理解的外顯方式。數(shù)學(xué)表征可分為內(nèi)在表征與外在表征，我們研究較多的是外在表征。外在表征是指需要學(xué)生理解和掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)等學(xué)習(xí)對(duì)象的外在形式。這種外在形式可以通過(guò)動(dòng)作、圖示、語(yǔ)言等方式外顯學(xué)生的認(rèn)知過(guò)程以及理解程度。動(dòng)作表征、圖式表征、語(yǔ)言表征等其實(shí)就是兒童在認(rèn)知與理解等方面的隱喻方式。因此，可以將數(shù)學(xué)表征看作兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的銜接性隱喻，它能在認(rèn)知與思維之間架起一座橋梁，從而有助于兒童更好地建構(gòu)認(rèn)知與發(fā)展思維。

二、用好數(shù)學(xué)表征這個(gè)銜接性隱喻的策略

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要注重引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)中發(fā)展表征能力，用好這個(gè)銜接性隱喻。下面，筆者以蘇教版五下“圓”的大單元學(xué)習(xí)為例，談一談怎樣來(lái)引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)深度表征，有效實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)表征的銜接性隱喻的作用。

教學(xué)前，筆者嘗試進(jìn)行大單元設(shè)計(jì)（如表1），給學(xué)生搭建多元表征的平臺(tái)，建構(gòu)各種信息的聯(lián)合體，編織知識(shí)、方法的結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)，以期促進(jìn)學(xué)生積累豐富的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，聯(lián)通內(nèi)外表征，讓其思維過(guò)程看得見(jiàn)。

表1 “圓”的大單元設(shè)計(jì)

（一）在前學(xué)中形成結(jié)構(gòu)化表征

所有的學(xué)習(xí)都是基于原有經(jīng)驗(yàn)的遷移。在學(xué)習(xí)“圓”這一單元之前，教師先組織學(xué)生回憶已認(rèn)識(shí)的平面圖形，以三個(gè)問(wèn)題激發(fā)他們回顧反思：在認(rèn)識(shí)這些平面圖形的過(guò)程中，我們研究了它們的哪些特征？是怎樣開(kāi)展研究的？如果繼續(xù)研究平面圖形“圓”，你會(huì)研究它的哪些特征？怎樣研究呢？請(qǐng)你用自己喜歡的方式整理相關(guān)內(nèi)容。大部分學(xué)生借助思維導(dǎo)圖整理已學(xué)知識(shí)、方法，教師在圖示表征中解讀到了學(xué)生內(nèi)在結(jié)構(gòu)化、模型化、深層化的思考。

1.結(jié)構(gòu)化：從點(diǎn)狀走向塊狀。

從學(xué)生的思維導(dǎo)圖中，教師看出他們已經(jīng)能抓取每一課時(shí)的重點(diǎn)內(nèi)容。于是，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)整理與交流，提煉研究平面圖形的基本點(diǎn)，即聚焦邊、角的特征開(kāi)展研究，并探索平面圖形的周長(zhǎng)與面積。學(xué)生在核心問(wèn)題引領(lǐng)下展開(kāi)思考，勾勒結(jié)構(gòu)化的知識(shí)圖。

2.模型化：從經(jīng)驗(yàn)走向結(jié)構(gòu)。

數(shù)學(xué)中的模型思想是建立在學(xué)生體會(huì)和真正理解數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上的，這在學(xué)生的思維導(dǎo)圖中可以看出來(lái)。學(xué)生在其中獲得了對(duì)平面圖形的研究經(jīng)驗(yàn)，從而推想在學(xué)習(xí)圓的知識(shí)時(shí)也可以研究這些內(nèi)容：什么是圓？怎樣畫(huà)圓？圓的面積怎么算？由此及彼，學(xué)生的學(xué)習(xí)逐漸從經(jīng)驗(yàn)走向結(jié)構(gòu)，主動(dòng)創(chuàng)造豐富的學(xué)習(xí)過(guò)程。

（二）在合學(xué)中體驗(yàn)多元化表征

1.動(dòng)作表征：孕育概念理解。

動(dòng)作表征是以實(shí)際動(dòng)作再現(xiàn)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，用自己的身體來(lái)影響周?chē)澜绲囊环N方式。在“你能想辦法畫(huà)出一個(gè)圓嗎？”這一活動(dòng)中，有的學(xué)生借助透明膠帶、學(xué)具籃里的硬幣或圓片描畫(huà)圓，有的自制工具畫(huà)圓，更多學(xué)生選擇直接使用圓規(guī)畫(huà)圓。在經(jīng)歷不同方法畫(huà)圓到學(xué)會(huì)用圓規(guī)畫(huà)圓的過(guò)程中，學(xué)生能夠初步感知圓是怎樣的圖形。學(xué)生雖然不能直接抽象定義圓，但能體會(huì)到定點(diǎn)就是圓心，定長(zhǎng)就是半徑，圓是封閉的曲線，為其后續(xù)學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。在畫(huà)圓過(guò)程中，學(xué)生還能發(fā)現(xiàn)圓的一些特征：有無(wú)數(shù)條半徑，而且同一個(gè)圓中的半徑都相等，圓心決定圓的位置，半徑?jīng)Q定圓的大小……深入理解了圓的特征。

2.圖形表征：探尋公式關(guān)聯(lián)。

（圖1）

（三）在創(chuàng)學(xué)中建立關(guān)聯(lián)性表征

在教學(xué)中，教師要注意啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用已經(jīng)習(xí)得的經(jīng)驗(yàn)去開(kāi)啟新的認(rèn)知。練習(xí)中有這樣一道生活情境題：一塊草坪上的噴水裝置最遠(yuǎn)射程是12米，這個(gè)噴水裝置最多能?chē)娚涠嗌倨椒矫?？此題中的噴水裝置就是現(xiàn)實(shí)生活中草坪、花圃的灌溉系統(tǒng)，學(xué)生結(jié)合圖片觀察能理解“射程”是圓的半徑，噴出水的范圍形成了圓的面積。教學(xué)時(shí)，教師不能就此戛然而止，而應(yīng)該趁熱打鐵，出示變式題：如果讓你來(lái)改編這一題，你還會(huì)怎樣改編呢？靜靜思考后，學(xué)生思維的火花開(kāi)始綻放，有學(xué)生提出：公園里音樂(lè)噴泉的最遠(yuǎn)射程是10米，它最多能?chē)娚涠嗌倨椒矫?？降落傘的繩最長(zhǎng)的是8米，它打開(kāi)后的面積最大是多少？聚焦本質(zhì)特征，關(guān)聯(lián)生活情境，助推學(xué)生深度學(xué)習(xí)，不僅應(yīng)注重從知識(shí)到知識(shí)的延續(xù)，還應(yīng)學(xué)會(huì)從生活中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行解決。

（四）在拓學(xué)中深化多重性表征

1.微主題探究：多元表征外顯發(fā)散思維。

學(xué)完“圓”后，教師鼓勵(lì)學(xué)生找找生活中的圓，如牛奶瓶口（底）的面、小區(qū)里的圓形花壇、紐扣的面等，并引導(dǎo)他們靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活中圓的實(shí)際問(wèn)題。怎樣才能求出牛奶瓶蓋面的周長(zhǎng)和面積呢？首先需要想辦法測(cè)量出它的半徑或直徑，借助兩把三角尺和直尺可以測(cè)量出直徑，然后可以通過(guò)計(jì)算分別求出周長(zhǎng)和面積。學(xué)生思考后還總結(jié)出像這樣比較小的圓面可以用尺量法解決，比較大的圓還可以用不同的方法解決。

2.大主題深探：多元表征彰顯聚合思維。

為什么生活中許多物體的面要設(shè)計(jì)成圓形呢？學(xué)生利用各種資源開(kāi)展“車(chē)輪為什么是圓的”主題探究。學(xué)生通過(guò)前期搜集資料、互動(dòng)討論，聚焦“車(chē)輪為什么是圓的”這一核心主題，確定研究的小課題，設(shè)計(jì)富有挑戰(zhàn)性的任務(wù)。在研究過(guò)程中，有的小組動(dòng)手制作各種形狀的車(chē)輪模型模擬運(yùn)動(dòng)，在對(duì)比中感受圓形車(chē)輪的優(yōu)勢(shì)；有的小組到數(shù)學(xué)場(chǎng)館中，對(duì)方輪車(chē)進(jìn)行測(cè)量、分析、比較，并形成文字報(bào)告。各小組通過(guò)不同的研究方式，借助動(dòng)作表征、模型表征、文字表征等呈現(xiàn)研究過(guò)程與結(jié)果。最后，在集體交流時(shí)，小組間的多元評(píng)價(jià)促進(jìn)了學(xué)生言語(yǔ)表征能力的發(fā)展。

綜上所述，在“圓”的大單元學(xué)習(xí)中，通過(guò)前學(xué)、合學(xué)、創(chuàng)學(xué)、拓學(xué)等多樣化的學(xué)習(xí)活動(dòng)，借助多元表征，學(xué)生逐漸明晰了圓的概念本質(zhì)，并能活用知識(shí)解決問(wèn)題。當(dāng)兒童的數(shù)學(xué)表征逐漸走向深度，對(duì)于數(shù)學(xué)內(nèi)容的理解能夠進(jìn)行多元化展示，表征這一隱喻架構(gòu)起認(rèn)知與思維的橋梁的作用也就很好地實(shí)現(xiàn)了。