在概念教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生抽象素養(yǎng)

徐友華

[摘 要]概念教學(xué)應(yīng)充分揭示概念的發(fā)生、發(fā)展和形成過程，避免概念建構(gòu)過程中的“滑過”現(xiàn)象.只有精心設(shè)計概念建構(gòu)過程中的抽象活動環(huán)節(jié)， 加強教材研究，加深教學(xué)內(nèi)容的理解，才能幫助學(xué)生更好地掌握概念，培養(yǎng)學(xué)生的抽象素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞]概念教學(xué);抽象素養(yǎng);反思

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）35-0013-02

一、問題的提出

概念課是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中最重要的課型，始終是大家關(guān)注和研究的熱點.數(shù)學(xué)概念的高度概括性與抽象性決定了數(shù)學(xué)概念是培養(yǎng)學(xué)生概括能力、抽象素養(yǎng)的重要載體.但在概念課課堂教學(xué)中仍存在 “‘迫不及待’地‘告訴’，‘急不可耐’地‘叮囑’”的現(xiàn)象，使得概念的形成過程被匆匆“滑過”.因此，教師應(yīng)精心設(shè)計數(shù)學(xué)活動環(huán)節(jié)， 讓數(shù)學(xué)活動催化概念抽象，充分揭示數(shù)學(xué)概念的發(fā)生、發(fā)展過程，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象活動過程，并體會蘊含其中的數(shù)學(xué)思想方法.

“函數(shù)單調(diào)性”作為高中數(shù)學(xué)函數(shù)部分研究的首個性質(zhì)，其研究方法具有典型性、示范性，其學(xué)習(xí)經(jīng)驗、過程可為后續(xù)奇偶性、對稱性等函數(shù)性質(zhì)的學(xué)習(xí)提供經(jīng)驗范式.

二、案例設(shè)計及分析

學(xué)生在初中已學(xué)過一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等函數(shù)模型，對圖像的上升與下降并不陌生，即對函數(shù)單調(diào)性有了一定的感性認(rèn)識.本節(jié)課的學(xué)習(xí)重點在于將學(xué)生對函數(shù)單調(diào)性概念從已有的感性認(rèn)識發(fā)展到以符號語言為表示形式的理性認(rèn)識，從定性分析邁進(jìn)定量分析.鑒于學(xué)生在圖形語言向自然語言的過渡過程中沒有什么困難，教學(xué)活動設(shè)計僅呈現(xiàn)從自然語言到符號語言的建構(gòu)過程.

教學(xué)活動一：用數(shù)學(xué)符號語言表示“函數(shù)值隨自變量的增大而增大” ，感受形與數(shù)的對立統(tǒng)一.

設(shè)計意圖：函數(shù)的單調(diào)性表示函數(shù)的變化趨勢，主要通過兩個角度來體現(xiàn).其一，“形”的角度，就是研究函數(shù)圖像走勢的變化規(guī)律，即是上升還是下降;其二，“數(shù)”的角度，反映的是當(dāng)自變量增加時，函數(shù)值是增加還是減少.在建構(gòu)函數(shù)單調(diào)性概念的過程中，要體現(xiàn)數(shù)學(xué)研究的框架與一般方法，密切聯(lián)系“數(shù)”與“形”兩個角度進(jìn)行數(shù)學(xué)活動設(shè)計，運用多元表征，幫助學(xué)生理解函數(shù)單調(diào)性概念.

問題1：在初中我們利用函數(shù)的圖像研究過函數(shù)值隨自變量增大而增大（或減小）的性質(zhì)，你能用手勢比畫一個函數(shù)值隨著自變量增大而增大的函數(shù)圖像嗎？

學(xué)生比畫.

追問：你能列舉一個函數(shù)值隨著自變量增大而增大的函數(shù)嗎？

學(xué)生舉例，如[f（x）=kx+b（k>0）].

追問：通過函數(shù)圖像，我們可以觀察出一個函數(shù)值隨著自變量增大而增大（或減?。?，但如果我們不清楚函數(shù)的具體圖像怎么辦？比如你能判斷函數(shù)[f（x）=x+1x]在區(qū)間[（1，+∞）]上的單調(diào)性嗎？

師生交流討論.

教師：如果不清楚函數(shù)的具體圖像，我們就無法從圖形語言到自然語言來辨別函數(shù)的單調(diào)性，那么還有其他語言嗎？

學(xué)生：符號語言.

設(shè)計意圖：將教材的例3進(jìn)行改編，使問題前置，設(shè)計一個圖像未知的問題，引發(fā)認(rèn)知沖突，凸顯概念精致的必要性， 凸顯符號語言的重要性.

問題2：如何用數(shù)學(xué)符號體現(xiàn)“增大”？如何用數(shù)學(xué)符號語言表達(dá)“自變量的增大”？如何用數(shù)學(xué)符號語言表達(dá)“函數(shù)值隨自變量的增大而增大”？

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生分析關(guān)鍵詞“增大”的含義及其符號表示，得出“增大”刻畫的是一種相對性，通過比較來體現(xiàn).說明第二個量比第一個量大，它是兩個數(shù)值之間的大小比較.因此，可將自變量[x]的第一個取值記為[x1]，第二個取值記為[x2]，則自然語言“函數(shù)值隨自變量的增大而增大”表示為“當(dāng)[x1<x2]時，有[f（x1）<f（x2）]”.

問題3：在區(qū)間D內(nèi)，取[x1]，[x2]，且[x1<x2]，有[f（x1）<f（x2）]，是否一定有“函數(shù)值隨著自變量的增大而增大”？

設(shè)計意圖：放手讓學(xué)生思考討論，教師引導(dǎo)學(xué)生不斷完善認(rèn)知結(jié)構(gòu).

追問：（如果回答不行）為什么不行？要取多少組才行？無限組行嗎？

設(shè)計意圖：通過探究，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：對區(qū)間D上有限組或無限組自變量滿足[x1<x2]，有[f（x1）<f（x2）]，都不能反映“函數(shù)值隨著自變量的增大而增大”的本質(zhì).

問題4：要取遍區(qū)間上的所有值才行，能做到嗎？如何做到？

師生活動，學(xué)生討論.

教師提示：在此之前，我們有沒有遇到過“無法窮盡”的情況？當(dāng)時是怎么處理的？

設(shè)計意圖：啟發(fā)學(xué)生引入“任意”一詞.

至此，學(xué)生基本上能夠理解并用數(shù)學(xué)符號語言來表示 “函數(shù)值隨著自變量的增大而增大”.即對于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個值[x1]，[x2]，當(dāng)[x1<x2]時，都有[f（x1）<f（x2）].

教學(xué)活動二：歸納、完善活動一的結(jié)論，抽象出單調(diào)性概念，感受有限與無限之間的對立統(tǒng)一.

設(shè)計意圖：函數(shù)的單調(diào)性概念中既有有限與無限之間的對立統(tǒng)一，也蘊含了變與不變的辯證關(guān)系.譬如增函數(shù)概念闡明：在某個區(qū)間D上，對于任意[x1<x2]，都有[f（x1）<f（x2）].這表明任何一組自變量及對應(yīng)函數(shù)值都必須滿足上述關(guān)系.從數(shù)量上來看就有無窮多組.因此，在數(shù)學(xué)活動中，幫助學(xué)生引入“任意”，化無限為有限.“任意”的引入打破了無限與有限之間的界限，體現(xiàn)了單調(diào)性概念中的有限與無限的對立統(tǒng)一.

師生共同歸納完成：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為M，區(qū)間D為M的子集.

如果[?x1]，[x2∈D]，當(dāng)[x1<x2]時，都有[f（x1）<f（x2）]，那么就稱函數(shù)[f（x）]在區(qū)間D上單調(diào)遞增.特別地，當(dāng)函數(shù)[f（x）]在它的定義域上單調(diào)遞增時，我們就稱它是增函數(shù).

如果[?x1]，[x2∈D]，當(dāng)[x1<x2]時，都有[f（x1）>f（x2）]，那么就稱函數(shù)[f（x）]在區(qū)間D上單調(diào)遞減.特別地，當(dāng)函數(shù)[f（x）]在它的定義域上單調(diào)遞減時，我們就稱它是減函數(shù).

如果函數(shù)[y=f（x）]在區(qū)間D上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說函數(shù)[y=f（x）]在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫作[y=f（x）]的單調(diào)區(qū)間.

教學(xué)活動三：理解概念，感受三種語言之間的對立統(tǒng)一.

設(shè)計意圖：在教學(xué)活動的設(shè)計上，將圖像分解為兩個維度：水平方向（自變量）以及豎直方向（函數(shù)值）.從圖像語言過渡到自然語言，使得單調(diào)性的判定變得精致，也為圖像未知的函數(shù)的單調(diào)性的考查找到了問題解決的途徑.自然語言克服了圖像語言的局限性，但仍需進(jìn)一步精致，即需引入符號語言來明確函數(shù)單調(diào)性的定義.從圖像語言到自然語言再到符號語言是認(rèn)識的不斷升華.

問題5：考察某函數(shù)的單調(diào)性時，可否將考察的區(qū)間省去？舉例說明.

問題6：設(shè)A是區(qū)間D上某些自變量的值組成的集合，而且[?x1]，[x2∈A]，當(dāng)[x1<x2]時，都有[f（x1）<f（x2）]，我們能說函數(shù)[f（x）]在區(qū)間D上單調(diào)遞增嗎？你能舉例說明嗎？

問題7：你能舉出在整個定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的函數(shù)例子嗎？你能舉出在定義域內(nèi)的某些區(qū)間上是單調(diào)遞增但在另一些區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)例子嗎？

設(shè)計意圖：借助問題辨析，幫助學(xué)生系統(tǒng)、全面、深刻地理解函數(shù)的單調(diào)性.問題設(shè)計中通過“舉例”辨識出學(xué)生對于函數(shù)單調(diào)性概念的真、假理解.

教學(xué)活動四： 鞏固概念（略）.

設(shè)計意圖：設(shè)計不斷深入的教學(xué)活動，使得函數(shù)的單調(diào)性從圖形語言到自然語言再到符號語言，這是函數(shù)單調(diào)性這個概念逐步精致的過程，也是一個逐步抽象的過程，是通過設(shè)計活動促進(jìn)學(xué)生抽象素養(yǎng)發(fā)展的過程.

在函數(shù)單調(diào)性概念的形成過程中，起決定性作用的智力活動方式是學(xué)生根據(jù)自己的生活體驗，通過對函數(shù)圖像的觀察，對初中函數(shù)單調(diào)性描述性定義的回憶，對函數(shù)單調(diào)性概念進(jìn)行符號化建構(gòu).其中，觀察、分析是基礎(chǔ)，抽象、概括是關(guān)鍵，學(xué)生能否在觀察分析的基礎(chǔ)上抽象出函數(shù)單調(diào)性的本質(zhì)屬性并概括出其定義，是這種智力活動方式成敗的關(guān)鍵，也是區(qū)分學(xué)生的學(xué)習(xí)是否有意義的關(guān)鍵.

掌握數(shù)學(xué)概念是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)知識、掌握數(shù)學(xué)思想方法、提高思維能力、發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)的基礎(chǔ).數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)過程，是培養(yǎng)學(xué)生抽象素養(yǎng)、科學(xué)態(tài)度和理性精神的重要契機.而數(shù)學(xué)抽象是形成理性思維的重要基礎(chǔ)，反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，貫穿在數(shù)學(xué)的產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的過程中.在概念課上，通過設(shè)計數(shù)學(xué)活動環(huán)節(jié)，在層層遞進(jìn)的問題的探索求解過程中，讓學(xué)生參與完整的活動過程（包括感知與識別、分類與概括、想象與建構(gòu)、定義與表征、系統(tǒng)化與結(jié)構(gòu)化），通過比較、分析、判斷、質(zhì)疑、概括等活動來獲得概念.只有讓學(xué)生充分參與到數(shù)學(xué)概念的發(fā)生、發(fā)展和形成過程，才能幫助學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，培育科學(xué)態(tài)度和理性精神.

[? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?]

[1]? 許興震.定位教學(xué)目標(biāo) 實現(xiàn)數(shù)學(xué)育人：以一節(jié)“函數(shù)的單調(diào)性”的教學(xué)為例[J].中國數(shù)學(xué)教育，2015（6）：2-4，28.

[2]? 黎棟材，龍正武，王尚志.站在系統(tǒng)的高度 整體把握函數(shù)單調(diào)性教學(xué)[J].數(shù)學(xué)通報，2015（12）：7-11，15.

[3]? 王凱.兩個教學(xué)理論指導(dǎo)下的“以學(xué)定教”：以“函數(shù)的單調(diào)性”的教學(xué)為例[J].教學(xué)研究與評論，2015（2）：65-69.

[4]? 楊興軍.“函數(shù)單調(diào)性”教學(xué)應(yīng)處理好“三個矛盾”[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2014（11）：19-21.

[5]? 丁益民.2019版蘇教版教材“章首語”的內(nèi)涵解析[J].數(shù)學(xué)通報，2020（7）：54-56，66.

（責(zé)任編輯 黃桂堅）