測量電源電動勢和內(nèi)阻的創(chuàng)新方法例析

唐世琦

[摘 要]測量電源電動勢和內(nèi)阻的創(chuàng)新實驗題大多結合函數(shù)與圖像進行考查。文章在伏安法測電源電動勢和內(nèi)阻實驗的基礎上詳細介紹了伏阻法、安阻法測量電源電動勢和內(nèi)阻的實驗方法，并根據(jù)實驗本身需要總結出實驗中因無合適電表的情形的三種處理方法，歸納總結了測量電源電動勢和內(nèi)阻實驗創(chuàng)新函數(shù)或圖像的處理步驟以及化曲為直的物理思想方法。

[關鍵詞]電動勢;內(nèi)阻;伏阻法;安阻法;補償法

[中圖分類號]? ? G633.7? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）35-0056-03

圖1是教材中采用伏安法測量電源電動勢和內(nèi)阻的實驗電路圖。在處理實驗數(shù)據(jù)時，為減小誤差可作出[U-I]圖像，通過[U-I]圖像的物理意義求出電源的電動勢[E]和內(nèi)阻[r]。測量電源電動勢和內(nèi)阻的實驗方法亦可采用伏阻法、安阻法等，并由此衍生出不同物理意義的函數(shù)或圖像問題。為考查學生對閉合電路歐姆定律的理解，對函數(shù)或圖像問題的處理能力以及化曲為直的物理思想方法的掌握情況，有關測量電源電動勢和內(nèi)阻的實驗題變得多種多樣。

筆者通過搜集大量有關測量電源電動勢和內(nèi)阻的實驗題并進行詳細研究后，歸納出測量電源電動勢和內(nèi)阻的兩種常見方法——伏阻法與安阻法，并結合實驗試題總結出在實驗中無合適電表時的三種處理方法以及解決測量電源電動勢和內(nèi)阻創(chuàng)新函數(shù)或圖像問題的步驟。

一、伏阻法測量電源電動勢和內(nèi)阻

在圖1中，滑動變阻器采用限流接法，但其僅起改變電路中電阻的作用，且接入電路的阻值未知。若換為電阻箱，則既可改變電路中電阻，又可根據(jù)歐姆定律計算電路中的電流，從而使實驗無須電流表。在物理學中，利用電壓表和電阻箱進行實驗的方法稱為伏阻法。

下面通過兩個具體例題對用伏阻法測量電源電動勢和內(nèi)阻的實驗原理進行詳細闡述。

[例1]如圖2所示為某測量電源電動勢和內(nèi)阻的實驗電路圖（電壓表內(nèi)阻很大），根據(jù)測量數(shù)據(jù)作出[1U-1R]的圖像是一條直線。若圖像的斜率為[k]，截距為[b]，則電源的電動勢[E=]? ? ? ? ?，內(nèi)阻[r=]? ? ? ? ?。

分析：從圖2所示的電路圖知，根據(jù)歐姆定律可計算出流過電阻箱的電流[I=UR]。因電壓表內(nèi)阻很大可忽略電壓表的分流作用，因此干路中的電流即為流過電阻箱的電流，亦為流過電源內(nèi)阻的電流。根據(jù)實驗電路圖，由閉合電路歐姆定律有[E=U+URr] ①。因題中要求作出[1U-1R]的圖像，所以將①式變形為[1U-1R]的函數(shù)關系，即為[1U=1E+rE×1R] ②。由②式可知，[1U-1R]圖像與縱軸的截距[b=1E]，即[E=1b]，圖像的斜率[k=rE]，所以[r=kE=kb]。

從例1的分析中可總結出無合適電流表時的處理方法之一：觀察實驗器材或草擬實驗電路圖，若實驗中能通過計算得出電流，則不需要對應的電流表，這種方法稱為計算法。

通過圖1的實驗操作可知，因為新干電池的內(nèi)阻[r]較小，所以不易測量。為了準確測量內(nèi)阻[r]，實驗時應選擇舊干電池或使電源與某定值電阻[R0]串聯(lián)，并將定值電阻[R0]與內(nèi)阻[r]共同視為新的內(nèi)阻[R0+r]（如圖3所示），作出[U-I]圖像并計算出斜率[k]后，再減去定值電阻[R0]即可，即[r=k-R0]。

[例2]某同學利用圖4甲所示的電路測量電源電動勢[E]和內(nèi)阻[r]。所用的實驗器材有：電壓表[V]（內(nèi)阻很大）、電阻箱[R]、定值電阻[R0=5 Ω]、開關和導線若干。

（1）該同學為了用作圖法確定電源電動勢和內(nèi)阻，以[1U]為縱軸、[1R]為橫軸作出的圖像如圖4乙所示，則該圖像的函數(shù)表達式為? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。（含有[U]、[R]、[R0]、[E]、[r]的函數(shù)表達式）

（2）由圖像可得，該電源的電動勢[E=]? ? ? ? ? V，內(nèi)阻[r=]? ? ? ? ? ?[Ω]。（結果均保留兩位有效數(shù)字）

分析：根據(jù)歐姆定律可知電路中的電流[I=UR]。在圖4甲中，電壓表測量的不是路端電壓，因此不能直接利用閉合電路歐姆定律[E=U+Ir]。若將定值電阻[R0]視為電源的內(nèi)阻，則電壓表可視為測量路端電壓，因此可寫出閉合電路歐姆定律為[E=U+UR（R0+r）] ①。根據(jù)圖4乙的圖像可將①式變形為[1U-1R]的函數(shù)關系，即為[1U=1E+r+R0E×1R] ②。由②式可知，[1U-1R]的圖像與縱軸的截距[b=1E=0.35 V-1]，即[E=2.9 V];圖像的斜率[k=r+R0E=2.6 A-1]，解得[r=2.5 Ω]。

【答案】⑴[1U=1E+r+R0E×1R];⑵[2.9 V]、[2.5 Ω]

二、安阻法測量電源電動勢和內(nèi)阻

在圖1中，若將滑動變阻器更換為電阻箱，因為可根據(jù)歐姆定律計算出路端電壓而使實驗無須電壓表。在物理學中，利用電流表與電阻箱進行實驗的方法稱為安阻法。筆者將通過歐姆定律計算出電壓而無須電壓表的實驗方法稱為計算法。同時，若實驗無合適電壓表時，亦可將阻值恒定的電流表改裝成電壓表使用，此種方法稱為改表法。因為在上述方法中僅有電流表與電阻參與實驗數(shù)據(jù)的測量，筆者將其歸納為安阻法測量電源電動勢和內(nèi)阻的實驗范疇。

下面結合實例探析計算法與改表法測量電源電動勢和內(nèi)阻實驗。

1.計算法

[例3]如圖5所示為某測量電源電動勢和內(nèi)阻的實驗電路圖（電流表的內(nèi)阻不計），通過[R-1I]的線性函數(shù)關系可知，圖像的斜率為[k]，截距為[b]，由此可得電源的電動勢[E=]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，內(nèi)阻[r=]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。

分析：從圖5可知路端電壓[U=IR]，因此閉合電路歐姆定律可寫為[E=IR+Ir] ①。將①式變形為[R-1I]的線性函數(shù)關系，即為[R=E×1I-r] ②。由②式可知[R-1I]的線性函數(shù)關系的截距[b=-r]，即[r=-b];圖像的斜率[k=E]，即[E=k]。

【答案】[k];[-b]

2.改表法

[例4]為測量某一干電池的電動勢和內(nèi)阻，某同學備有以下實驗器材：

A.干電池（電動勢約為[1.5 V]，內(nèi)阻小于[1.5 Ω]）;

B.電流表[G]（滿偏電流[2 mA]，內(nèi)阻[10 Ω]）;

C.電流表[A]（量程為[0.6 A]，內(nèi)阻約為[0.1 Ω]）;

D.滑動變阻器[R1]（[0～20 Ω]，[10 A]）;

E.滑動變阻器[R2]（[0～100 Ω]，[1 A]）;

F.定值電阻[R3=990 Ω];

G.開關、導線若干。

（1）為方便且能較準確地進行測量，應選用滑動變阻器? ? ? ? ? ? ? （選填“[R1]”或“[R2]”）;

（2）請畫出利用本題提供的器材所設計的測量干電池電動勢和內(nèi)阻的實驗電路原理圖;

（3）某同學根據(jù)他設計的實驗測出了六組[I1]（電流表[G]的示數(shù)）和[I2]（電流表[A]的示數(shù)），請在圖6的坐標紙上作出[I1]和[I2]的關系圖線;

[序號 1 2 3 4 5 6 [I1mA] [1.40] [1.36] [1.32] [1.28] [1.20] [1.08] [I2A] [0.10] [0.15] [0.20] [0.25] [0.35] [0.50] ]

（4）根據(jù)圖線可得，被測干電池的電動勢為[E=]? ? ? ? ? ? [V]，內(nèi)阻為[r=]? ? ? ? ?[Ω]。（計算結果保留兩位小數(shù)）

分析：本實驗中未提供電壓表，靈敏電流計[G]阻值恒定，其滿偏電壓[Ug=IgRg=0.02 V]，因此可考慮將其與定值電阻[R3]串聯(lián)改裝成電壓表且電壓量程擴大[n=R3Rg+1=100]倍。因此改裝后的電壓表量程[U=nUg=2 V]滿足題設所需電壓測量。若將滑動變阻器[R1]全部連入電路，干電池電動勢全部加在滑動變阻器[R1]上，則電路中的最小電流約為[I′min=ER1=75 mA]。同理，若將滑動變阻器[R2]全部連入電路，干電池電動勢全部加在滑動變阻器[R2]上，則電路中的最小電流約為[I″min=ER2=15 mA]。電流表[A]的量程為[600 mA]。為方便測量，同時減小誤差，滑動變阻器應選擇[R1]。

根據(jù)以上分析，畫出實驗電路圖如圖7所示;根據(jù)實驗數(shù)據(jù)作出如圖8所示的[I1-I2]的圖像。

根據(jù)實驗電路圖，由閉合電路歐姆定律有[E=I1（R3+Rg）+I2r] ①（注意：此電路中由于[I2?I1]，所以為方便計算，在計算干路中的電流時忽略[I1]，而將[I2]視為干路中的電流）。將①式變形為[I1-I2]的函數(shù)關系，即為[I1=ER3+Rg+rR3+RgI2] ②。由②式可知，[I1-I2]函數(shù)關系圖縱軸的截距[b=ER3+Rg=1.47×10-3 mA]，即[E=1.47 V];圖像的斜率[k=rR3+Rg=0.8×10-3]，即[r=0.80 Ω]。

【答案】（1）[R1];（2）如圖7所示;（3）如圖8所示;（4）[1.47 V]，[0.80 Ω]

從例4的分析中可總結出在實驗中無合適電壓表時的處理方法之一：利用題給實驗器材，將阻值恒定的電流表與定值電阻串聯(lián)改裝成電壓表，這種方法稱為改表法。

通過例1與例4對實驗中無合適相應電表時的處理方法，擴展總結出處理此類問題的方法如下。

方法一：觀察實驗器材或草擬實驗電路圖，若實驗中能通過計算獲取該物理量，則不需要對應的電表，即計算法。

方法二：觀察實驗器材或草擬實驗電路圖，若實驗中能用其他電表代替測量對應物理量所需的電表，則不需要對應的電表，即替代法。一般而言是將阻值較小的電壓表視為電流表使用，因電流表兩端能承受的電壓相對較小，所以將電流表視為電壓表使用的情況則相對較少。

方法三：利用題給實驗器材將阻值恒定的量程較小的電流表改裝成量程較大的電流表（如圖9所示）或電壓表使用，即改表法。

綜上所述，解決實驗中無合適相應電表時的處理方法可概括為“算”“替”“改”。

通過對以上四道例題所涉及的函數(shù)或圖像的處理可歸納出處理測量電源的電動勢和內(nèi)阻實驗創(chuàng)新函數(shù)或圖像問題的步驟。

第一步，根據(jù)實驗電路圖寫出閉合電路歐姆定律。

在教材中，閉合電路歐姆定律有[I=ER外+r]①與[E=U外+U內(nèi)]②兩種表達形式。在①式中[R外]為外電路的電阻，[r]為電源的內(nèi)阻，此式只適用于外電路為純電阻情形;在②式中[U外]為外電路的電壓，即路端電壓，[U內(nèi)]為電源內(nèi)阻上的電壓，此式僅需知路端電壓，而外電路是否為純電阻電路無要求，而電源內(nèi)阻則視為純電阻（[U內(nèi)=Ir]）。因②式使用范圍較廣且在實際操作中較方便，因此筆者建議學生在根據(jù)閉合電路歐姆定律列方程時，首先考慮②式，將閉合電路歐姆定律寫成[E=U外+Ir]。若根據(jù)實驗電路圖無法直接寫出路端電壓或干路中的電流，則可利用其他物理量計算，進而代替之。

第二步，將閉合電路歐姆定律變形。

在此步驟中，學生需根據(jù)圖像或題設要求體現(xiàn)的函數(shù)關系，將第一步寫出的閉合電路歐姆定律變形為所需的一次函數(shù)表達式。特別提醒在變形過程中應明確函數(shù)的自變量與因變量。

第三步，找出函數(shù)表達式中截距與斜率的表達式。

第四步，根據(jù)截距和斜率的表達式計算電源的電動勢和內(nèi)阻。

在以上四道題目中所要求的函數(shù)或圖像均已給出，且通過閉合電路歐姆定律變形后均為一次函數(shù)，然后再重點關注一次函數(shù)的斜率與截距的物理意義。此處體現(xiàn)了物理學中的“化曲為直”的物理思想。因此在實驗題中未明確函數(shù)的自變量與因變量的前提下，學生應先將閉合電路歐姆定律變形為一次函數(shù)，再通過變形后的函數(shù)確定因變量與自變量，進而確定斜率與截距的物理意義。

[? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?]

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（責任編輯 易志毅）