基于學(xué)科育人的高中數(shù)學(xué)課堂評析

李俊

[摘 要]黨的十八大把立德樹人作為教育的根本任務(wù)，學(xué)科教學(xué)是落實立德樹人任務(wù)的重要途徑.教師要以德育為首，通過課程育人，滲透立德樹人的教學(xué)思想，將學(xué)生培養(yǎng)成具備適應(yīng)終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力的人.

[關(guān)鍵詞]立德樹人;學(xué)科育人;課堂評價

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）35-0008-03

[課例]直線的參數(shù)方程.

一、新課引入

創(chuàng)設(shè)情境：在2008年汶川大地震中，由于公路受地震影響造成路面塌陷，導(dǎo)致救援車輛無法到達(dá)災(zāi)區(qū)，很多被困群眾缺乏生活物資和醫(yī)療藥品，需要通過空投將救援物資投放到指定地點，已知一架救援飛機(jī)在離地距離490 m高處，以150 m/s的速度做水平直線飛行（不計空氣阻力，重力加速度[g=9.8 m/s2]），記物資投放后飛行的時間為[t]，飛機(jī)在離救援點水平距離為多少時投放物資，可使其準(zhǔn)確落在指定地點？

點評：課堂引入是很好的育人時機(jī).本節(jié)課教師以汶川大地震為背景滲透德育教育.汶川大地震是一場災(zāi)難，通過抗震救災(zāi)的感人事跡激發(fā)學(xué)生的愛國熱情，讓學(xué)生具有積極價值取向，形成良好的品德.教師抓住契機(jī)，分享防震自救小知識，提高學(xué)生的自救能力.學(xué)科育人就是學(xué)生通過學(xué)科學(xué)習(xí)逐步形成正確的價值觀，擁有優(yōu)秀品格，具備關(guān)鍵能力.

問題1：這個實際生活問題涉及什么數(shù)學(xué)模型？

如圖1建立直角坐標(biāo)系，設(shè)救援物資運(yùn)動時的坐標(biāo)為[M（x， y）]，只需求出動點[M]的坐標(biāo)[（x， y）]滿足的二元方程[f（x， y）=0]，令[y=0]解出對應(yīng)的[x]即可.然而在這個問題中，水平位移量[x]和高度[y]是由兩種不同的運(yùn)動得到的，水平方向上是勻速直線運(yùn)動，豎直方向上是自由落體運(yùn)動，直接建立兩者之間的等量關(guān)系比較困難，我們該怎么辦呢？

我們發(fā)現(xiàn)水平位移量[x]和高度[y]都與時間[t]有關(guān)，因此可以將[x]和[y]表示成與參數(shù)[t]有關(guān)的式子[x=150 t，y=490-4.9 t2，]當(dāng)[y=0]時對應(yīng)的[t]就是救援物資落地所需的時間，此時[t=10]，由此得[x=150×10=1500]，即飛機(jī)在離救援點的水平距離為[1500]米時投放物資，可使其準(zhǔn)確落在指定地點.

從這個問題我們感受到參數(shù)方程在解決某一些問題上具有優(yōu)越性.下面我們來探究如何求直線的參數(shù)方程.

點評：教師設(shè)問 “這個實際生活問題涉及什么數(shù)學(xué)模型？”讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象，建立數(shù)學(xué)模型，發(fā)現(xiàn)其背后的數(shù)學(xué)問題就是求出救援物資在離開飛機(jī)后飛行的軌跡，計算救援物資從距離地面[490 m]的高度落地所需的時間，從而計算出這段時間產(chǎn)生的水平位移.學(xué)生在嘗試解決問題的過程中發(fā)現(xiàn)要直接建立水平位移量[x]和高度[y]之間的等量關(guān)系很困難，但通過運(yùn)動時間[t]就能夠輕松地將兩個變量聯(lián)系起來，從而達(dá)到解決問題的目的.整個過程讓學(xué)生感受引入?yún)?shù)在解決某些問題上的優(yōu)越性.教師的這一設(shè)計，讓學(xué)生在有趣的數(shù)學(xué)活動中探索解決問題的方法，增強(qiáng)其學(xué)習(xí)的動機(jī)，解決問題的成就感讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)的價值，形成學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的內(nèi)驅(qū)力，不知不覺在“學(xué)科教學(xué)”中滲透“學(xué)科育人”.

二、概念形成

之前圓錐曲線的參數(shù)方程大家已經(jīng)很熟悉，也能夠理解各種曲線的參數(shù)的幾何意義.如果要求直線的參數(shù)方程，是否還能用角作為參數(shù)呢？

問題2：已知直線上一點[M0（x0， y0）]，直線的傾斜角是[α]（如圖2），是否還能用角作為參數(shù)？怎樣建立已知直線[l]的參數(shù)方程？如何選擇恰當(dāng)?shù)膮?shù)？

點評：本環(huán)節(jié)教師通過問題導(dǎo)學(xué)，實現(xiàn)思維育人.教師通過層層設(shè)問：已知直線上一點[M（x0， y0）]，直線的傾斜角是[α]，是否還能用角作為參數(shù)？怎樣建立已知直線[l]的參數(shù)方程？如何選擇恰當(dāng)?shù)膮?shù)？這一系列的問題為學(xué)生的探究方向及思維策略提供了明確的導(dǎo)向，為學(xué)生提供了實踐數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的機(jī)會，在知識發(fā)生、發(fā)展的過程中促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展.

【學(xué)生探究】求直線[l]的參數(shù)方程.

方案1：如圖3構(gòu)造[Rt△MNM0]，在[Rt△MNM0]中，[cos α=x-x0MM0]，[sin α=y-y0MM0]，

則[x=x0+MM0cos α，y=y0+MM0sin α.]當(dāng)點[M]和[M0]重合時，上式也成立.若點[M]在[M0]的另一側(cè)呢？（如圖4），則得到的直線參數(shù)方程為[x=x0-MM0cos α，y=y0-MM0sin α.]

為了統(tǒng)一上述兩個方程，我們不妨令[MM0=t]，可得直線[l]的參數(shù)方程為[x=x0+tcos α ，y=y0+tsin α .]（[t]為參數(shù)）

其中參數(shù)[t]的幾何意義是[t]表示直線上任一點[M]到定點[M0]的距離.

方案2：從特殊情況獲得啟發(fā)，若直線[l]落在[x]軸上，直線[l]上點[M]的運(yùn)動等價于向量[M0M]變化，但無論向量怎樣變化，都有[M0M=te].因此點[M]在[x]軸上的坐標(biāo)只與[t]有關(guān)，從而可以選擇[t]作為參數(shù)來獲取直線[l]的參數(shù)方程.那么直線[l]不落在[x]軸上時，點[M]的坐標(biāo)是否仍然只與[t]有關(guān)？

由于在平面直角坐標(biāo)系中，確定一條直線的幾何條件是直線的方向和直線上一個點，直線上點[M（x， y）]的變化就是向量[M0M]的變化，而向量[M0M]可以由直線的一個單位向量[e]來量化，即[M0M=et]，其中[t]的一個值可以唯一對應(yīng)直線上的一個點;同樣，直線上任意一個點[M（x， y）]對應(yīng)唯一[t]的值，所以可以考慮使用[t]作為直線的參數(shù).

直線[l]的單位方向向量記作[e=（cos α， sin α）]，[α∈0， π]，那么[M0M∥e]，因此根據(jù)共線向量的充要條件可知，存在實數(shù)[t]，使得[M0M=te]，即[（x-x0， y-y0）=t（cos α， sin α）].

于是有[x-x0=tcos α，y-y0=tsin α（t 為參數(shù)）]，因此，把上面的方程叫作經(jīng)過點[M0（x0， y0）]，傾斜角為[α]的直線[l]的參數(shù)方程.注意：直線上的任意一個點都唯一對應(yīng)一個參數(shù)[t].

點評：本環(huán)節(jié)教師讓學(xué)生參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，發(fā)展學(xué)生的思維.本節(jié)課的難點是如何引入恰當(dāng)?shù)膮?shù)，從而建立直線的參數(shù)方程.如何突破難點？教師在這里的設(shè)計也是頗費(fèi)心思.教師不急于公布結(jié)果，而是放手讓學(xué)生積極實踐，探索參數(shù)的合理性，于是在“探索→發(fā)現(xiàn)→再探索”的過程中，學(xué)生不斷優(yōu)化方案，教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生通過類比、聯(lián)想的思想方法，將直線和單位向量聯(lián)系起來，這樣引入的參數(shù)，能快速找到直線上任意一點與一個定點的數(shù)量關(guān)系和圖形關(guān)系.教師給學(xué)生提供參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動的機(jī)會，讓學(xué)生在探究的過程中感悟滲透其中的數(shù)學(xué)思想與方法，建立判斷與選擇的自覺意識，養(yǎng)成根據(jù)自我需要做出正確選擇的學(xué)習(xí)習(xí)慣，提升其思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)素養(yǎng).

三、概念深化

問題3：直線[l]的參數(shù)方程中參數(shù)[t]的幾何意義是什么？

因為單位向量[e=（cos α， sin α）]，則[e=1].因為[M0M=te]，則[M0M=te=te=t].

于是得到參數(shù)[t]的幾何意義：直線[l]上的動點[M]到定點[M0]的距離等于參數(shù)[t]的絕對值.

問題4：參數(shù)[t]的符號有什么意義？

當(dāng)[0<α<π]時，[sin α>0]，所以直線[l]的單位向量[e]的方向總是向上的.

（1）若[t>0]，由[t=y-y0sin α?y-y0>0?y>y0]， 知點[M]在點[M0]上方，則[M0M]的方向向上;

（2）若[t<0]，由[t=y-y0sin α?y-y0<0?y<y0]， 知點[M]在點[M0]下方，則[M0M]的方向向下;

（3）若[t=0]，則[y=y0]，從而點[M]和點[M0]重合.

點評：教師在這個環(huán)節(jié)中強(qiáng)化數(shù)學(xué)語言教學(xué)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).自然語言由于其通俗易懂的特點更容易被學(xué)生使用，但較難直觀體現(xiàn)知識的內(nèi)在結(jié)構(gòu)特點，符號語言則彌補(bǔ)了這一不足，它能用簡潔的符號高度概括和表達(dá)數(shù)學(xué)對象內(nèi)涵，因此教學(xué)生學(xué)會三種數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)換是教師在課堂教學(xué)中的一個重要任務(wù).本節(jié)課中，教師在學(xué)生對數(shù)學(xué)模型具有一定感性認(rèn)識之后，引導(dǎo)學(xué)生利用向量的線性關(guān)系建立[x， y]的等量關(guān)系式，最終用參數(shù)方程的形式準(zhǔn)確描述兩個變量[x， y]之間的內(nèi)在聯(lián)系，幫助學(xué)生提高了語言表達(dá)的抽象層次，提升了數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

四、應(yīng)用探索

[例題1]已知直線[l]：[x+y-1=0]與拋物線[y=x2]交于[A]，[B]兩點，求[M（-1，2）]到[A]，[B]兩點的距離之積.

解法一：由[x+y-1=0，y=x2，]可知兩交點坐標(biāo)分別為[A-1-52，3+52]，[B-1+52，3-52]，

所以[MA·MB=]

[-1--1-522+2-3+522]·[-1--1+522+2-3-522]

[=（3-5）·（3+5）=2].

解法二：將直線[l]的參數(shù)方程[x=-1-22t ，y=2+22t.]? ? ?（[t]為參數(shù)）代入拋物線方程得[t2+2t-2=0]，

解之得[t1=-2+102]，[t2=-2-102].由參數(shù)[t]的幾何意義得[MA?MB=t1?t2=t1t2=2].

解法三：將直線[l]的參數(shù)方程[x=-1-22t，y=2+22t.]? ? ? （[t]為參數(shù)）代入拋物線方程得[t2+2t-2=0]，

所以由韋達(dá)定理可知[t1+t2=-2，t1t2=-2，]所以由參數(shù)[t]的幾何意義得[MA?MB=t1?t2=t1t2=2].

點評：讓學(xué)生在自主解答的過程中去感受和體會引入?yún)?shù)的優(yōu)越性，解析法容易想，但是不容易算，參數(shù)法的引入就使問題的計算趨于簡單化，這也是引入?yún)?shù)方程的目的所在.

五、小結(jié)歸納

1.知識

本節(jié)課聯(lián)系數(shù)軸、向量等知識，推導(dǎo)出了直線的參數(shù)方程，并進(jìn)行了簡單應(yīng)用，體會了直線參數(shù)方程在解決有關(guān)問題時的作用.

2.思想方法

在研究直線參數(shù)方程過程中滲透了運(yùn)動與變化、類比、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.

落實立德樹人根本任務(wù)，對教師提出了更高的要求.本節(jié)課在學(xué)科知識教學(xué)中，處處以德育人，以智啟人，充分展示了如何在教學(xué)中落實立德樹人的目標(biāo)，讓我們收獲很大.畢竟學(xué)科知識隨著時間的流逝會逐漸被遺忘，而永遠(yuǎn)留給學(xué)生的是在學(xué)習(xí)過程中形成的學(xué)科素養(yǎng)和優(yōu)秀品質(zhì).

（責(zé)任編輯 黃桂堅）