植保機(jī)噴桿位置變增益滑模控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

關(guān)薪 李樹江

摘要：大型噴桿式植保機(jī)在現(xiàn)代農(nóng)業(yè)生產(chǎn)過程中被廣泛應(yīng)用，但由于路面不平、車體震動等原因，噴桿位置難于精準(zhǔn)控制，會產(chǎn)生噴灑藥液不勻的問題。由于植保機(jī)的噴桿懸架系統(tǒng)本身具有強(qiáng)非線性、時滯性和不確定性等特點(diǎn)的存在，使用傳統(tǒng)控制方法的最終效果并不理想。為了解決未知干擾和建模誤差的問題。建立了植保機(jī)雙鐘擺型懸架的動力學(xué)模型，引入滑模控制結(jié)合隨機(jī)配置網(wǎng)絡(luò)（SCN）預(yù)測補(bǔ)償?shù)姆椒ㄔO(shè)計(jì)控制器，該控制器在保證動態(tài)性能的前提下，降低了抖振。解決了控制效果并不理想的問題，同時降低了系統(tǒng)誤差和未知干擾對系統(tǒng)的影響。系統(tǒng)通過仿真模型驗(yàn)證了控制器的穩(wěn)定性，仿真結(jié)果表明該控制器動態(tài)性能和魯棒性方面表現(xiàn)良好。

關(guān)鍵詞： 植保機(jī);位置控制;隨機(jī)配置網(wǎng)絡(luò);滑?？刂?噴桿懸架

中圖分類號：TP273 ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1009-3044（2021）32-0117-04

Design of Sliding Mode Control System for the Position of Spray Bar of Plant Protection Machine with Variable Gain

GUAN Xin， LI Shu-jiang

（Shenyang University of Technology， Shenyang 110870， China）

Abstract： Large-scale spray-rod type plant protection machine is widely used in the process of modern agricultural production， but due to uneven road surface， vehicle body vibration and other reasons， the position of spray rod is difficult to accurately control， which will produce the problem of uneven spraying liquid. Due to the strong non-linearity， time delay and uncertainty of the spray rod suspension system of plant protection machine， the final effect of using the traditional control method is not ideal. In order to solve the problems of unknown disturbance and modeling error， the dynamic model of plant protection machine double pendulum suspension was established. The sliding mode control combined with stochastic configuration networks （SCN） prediction and compensation method was introduced to design the controller. The chattering of the controller was reduced on the premise of ensuring the dynamic performance. The problem that the control effect is not ideal is solved and the influence of system error and unknown disturbance is reduced. The stability of the controller is verified by the simulation model， and the simulation results show that the controller performs well in dynamic performance and robustness.

Key words： plant protection machine; position control; random configuration network; sliding mode control; Spray bar suspension

1 引言

我國是一個農(nóng)業(yè)大國，但生產(chǎn)效率很低。其原因主要在于植物保護(hù)環(huán)節(jié)消耗人力巨大，機(jī)械化程度低。大型植保機(jī)械的推廣使用可以有效改善這一現(xiàn)象[1]。農(nóng)機(jī)產(chǎn)品主流是尾部加裝噴桿的大型拖拉機(jī)，噴桿臂展大，成本低適合大規(guī)模田地的作物保護(hù)。但這種機(jī)型存在藥液噴灑均勻的問題，產(chǎn)生原因主要是大田作業(yè)環(huán)境非常復(fù)雜，而且存在隨機(jī)擾動，農(nóng)機(jī)噴桿只有被動懸架與車身相連無法抵消這些干擾，輕則造成藥液噴施不均效果降低，重則造成噴桿傾斜機(jī)身損壞等嚴(yán)重后果。因此一種能夠有效抵抗干擾的主動懸架位置控制系統(tǒng)的研發(fā)對于農(nóng)業(yè)機(jī)械化十分重要。

Jeon[2]等在大型農(nóng)機(jī)的噴桿控制系統(tǒng)基礎(chǔ)上加裝超聲波傳感裝置，全方位分析了傳感器的位置與采樣精度對于精準(zhǔn)控制的影響幅度，為懸架的建模提供了基礎(chǔ)，并未對控制方向進(jìn)行進(jìn)一步研究。L. Cui[3]等分析了吊桿產(chǎn)生有害運(yùn)動的原因以及增益系數(shù)等系統(tǒng)主要參數(shù)對于動態(tài)特性的影響，基于此建立了更加貼近實(shí)際的模型并仿真驗(yàn)證。但算法采用比例控制，難以應(yīng)對其他較為復(fù)雜的作業(yè)情況處。Keqi Mei與Van M [4-5]等分別提出了基于滑動模態(tài)控制的不同改進(jìn)，不同程度上提升了控制算法的性能，并沒有針對實(shí)際問題進(jìn)行應(yīng)用研究;Huang J[6]等對于所研究的倒立擺模型提出了存在不確定性的問題，針對這一問題提出修正滑模面參數(shù)的方法抵抗系統(tǒng)的參數(shù)不確定，有效降低了跟蹤誤差，本研究滑?？刂撇糠钟袉l(fā)意義;Zhang MS[7]等人基于輪式移動倒立擺系統(tǒng)改進(jìn)了傳統(tǒng)滑?？刂频亩墩駟栴}所設(shè)計(jì)的一種自適應(yīng)增益的超扭曲算法，具有良好的效果，對于不同系統(tǒng)的泛用性問題進(jìn)行進(jìn)一步研究。Dianhui Wang[8、9、12]等提出了一類新的構(gòu)建型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。通過建立監(jiān)督機(jī)制和分配隱層節(jié)點(diǎn)的輸入權(quán)重與偏差值，建設(shè)性地對各參數(shù)進(jìn)行了評估分析，最終達(dá)成了一種具有通用逼近性的隨機(jī)配置網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，系列的研究提供了一種數(shù)據(jù)簡歷模型的新方法，在不預(yù)設(shè)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)等參數(shù)的情況下快速建立神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。該網(wǎng)絡(luò)具有更好的逼近能力和更好的計(jì)算效率，但在各類實(shí)際問題中應(yīng)用較少，由于其特性在控制與建模方向具有重要意義。

綜合前人的研究成果，根據(jù)干擾估計(jì)值采用變切換增益的滑?？刂?，最終實(shí)現(xiàn)對雙鐘擺懸架模型的位置跟蹤控制。傳統(tǒng)的建模方法存在精確度的問題，在控制過程被控對象環(huán)節(jié)總會存在干擾，并且在實(shí)際生產(chǎn)過程中會產(chǎn)生這類干擾是難以建模的。因此對于這一部分干擾的預(yù)測對于系統(tǒng)的控制量計(jì)算和最終控制效果具有重要意義。

在變增益部分，由于普遍存在的建模精度問題，單純地采用機(jī)理建模往往并不能準(zhǔn)確反映系統(tǒng)特性，這也是許多控制算法實(shí)際應(yīng)用困難的原因之一。根據(jù)上面提到的存在建模誤差的問題，需要在控制器輸出中進(jìn)行一些補(bǔ)償。當(dāng)前主流混合建模方法中，多采用簡單的機(jī)理模型加上神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)補(bǔ)償?shù)姆桨福窃诓捎肂P補(bǔ)償受到隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)量和學(xué)習(xí)效率等問題的限制。因此可能會出現(xiàn)收斂速度很慢和陷入局部極-小值等問題。Wang D等中提出的具有監(jiān)督機(jī)制保證通用逼近能力的隨機(jī)配置網(wǎng)絡(luò)（SCN）被廣泛關(guān)注。同RBF網(wǎng)絡(luò)等其他網(wǎng)絡(luò)相比該方法有類似的通用逼近性，與其他網(wǎng)絡(luò)相比，SCN網(wǎng)絡(luò)在對權(quán)值等參數(shù)分配時是存在不等式約束，參數(shù)的選擇范圍具有自適應(yīng)的特點(diǎn)。該方法已經(jīng)在部分工業(yè)監(jiān)測等實(shí)驗(yàn)中得到應(yīng)用[8]。由于該網(wǎng)絡(luò)的各種特性，更加適合用于工業(yè)數(shù)據(jù)的快速建模。隨機(jī)配置網(wǎng)絡(luò)的核心是增加了隨機(jī)參數(shù)分配的監(jiān)督機(jī)制的前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，這種建設(shè)性的方法保證了網(wǎng)絡(luò)的通用逼近性，即學(xué)習(xí)能力。隨機(jī)配置網(wǎng)絡(luò)的配置方法會在2.2節(jié)具體介紹。

2 懸架系統(tǒng)建模

在實(shí)踐中，在大型植保機(jī)進(jìn)行田間作業(yè)的過程中，作為重要部分的噴桿會受到多種不同程度的干擾，因而產(chǎn)生難以預(yù)測的運(yùn)動。這種現(xiàn)象的存在導(dǎo)致了植保機(jī)械作業(yè)時，藥物噴灑不均，致使我國大規(guī)模農(nóng)業(yè)生產(chǎn)效率低，藥液使用過量造成環(huán)境污染等問題。因此一種效果顯著，經(jīng)濟(jì)實(shí)用的噴桿懸架系統(tǒng)就變得十分重要。

在實(shí)際生產(chǎn)生活中，懸架系統(tǒng)應(yīng)同時具備隔絕車體各運(yùn)動部件產(chǎn)生的高頻振動以及受環(huán)境變化引起的較低頻振動的能力。在多種噴桿結(jié)構(gòu)中，研究者們[10-11]改進(jìn)的雙鐘擺懸架系統(tǒng)具有結(jié)構(gòu)簡單對振動抑制效果良好的特點(diǎn)。雙鐘擺結(jié)構(gòu)由兩級擺桿組成，其中一級擺桿通過轉(zhuǎn)軸和阻尼器與車身框架直接鏈接，一級擺桿另一端同二級擺桿通過轉(zhuǎn)軸裝置鏈接，兩級擺桿之間水平連接懸架的液壓執(zhí)行器。作業(yè)過程中位于噴桿末端的傳感器采集噴桿位置信息回傳給控制器根據(jù)控制算法控制執(zhí)行元件調(diào)整噴桿姿態(tài)。

對懸架系統(tǒng)采用動力學(xué)建模。根據(jù)懸架系統(tǒng)結(jié)構(gòu)模型，[θ1]為一級擺桿與豎直方向夾角，[θ2]為二級擺桿與豎直方向的夾角。一級擺桿長為[L1]，二級擺桿長為[L2]，噴桿與水平方向的夾角為[γ]，噴桿與二級擺桿與噴桿始終保持垂直且噴桿擺桿視為理想剛體。顯而易見[θ2=γ]，保持噴桿與地面的相對位置的問題進(jìn)而再轉(zhuǎn)化為對噴桿與水平方向的夾角為[γ]的跟蹤控制問題。

噴桿質(zhì)量M，阻尼器的阻尼系數(shù)為C，執(zhí)行器的施加給噴桿的廣義力矩為F，將上述參數(shù)代入第二類Lagrange動力學(xué)方程整理得到運(yùn)動方程。

[ML21θ1+ML1L2θ2..cos（θ1-θ2）+ML1L2θ2..sin（θ1-θ2）+MgL1sinθ1+12CL21θ1.cos2θ1=0] ? ? ? ? ?（1）

[ML22θ2+ML1L2θ1..cos（θ1-θ2）+ML1L2θ1..sin（θ1-θ2）+MgL2sinθ2+Iθ2=F] ? ? ? ? ? ? ? ? （2）

系統(tǒng)模型的線性化

為簡化系統(tǒng)模型過高的非線性同時降低控制器的設(shè)計(jì)的難度，且噴桿系統(tǒng)作業(yè)期間均位于初始點(diǎn)附近，因此對模型在初始工作點(diǎn)進(jìn)行線性化處理。選取狀態(tài)向量[x=θ1 θ1 θ2 θ2T]，初始工作狀態(tài)為[x=0 0 0 0 T]。在工作點(diǎn)附近泰勒展開并忽略二階項(xiàng)及高階泰勒級數(shù)，線性化后整體模型變?yōu)椋?/p>

[ML21θ1+ML1L2θ2..+MgL1θ1+12CL21θ1.=0]

[ML22θ2+ML1L2θ1..+MgL2θ2+Iθ2=F] ? ? ? ? （3）

[ML21θ1=-2ML1L2θ2-MgL1θ1-12CL21θ1] ? ? ? （4）

上式兩側(cè)同時乘[L2L1]：

[ML1L2θ1=-ML22θ2-MgL2θ1-12CL1L2θ1] ? ? ? ?（5）

將（5）帶入（3）得：

[Iθ2+MgL2θ2-MgL2θ1+12CL1L2θ1=u] ? ? ? （6）

令 ：

[dt=MgL2θ1+12CL1L2θ1] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（7）

[fθ，t=-MgL2Iθ2] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（8）

[θ2=fθ，t+1Iu+d（t）] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （9）

?。╗θ2，θ2]）為狀態(tài)變量，令[x1=θ2x2=θ2] ? ? ? ?[b=1I]

則有：

[x1=x2x2=fx，t+but+dt] ? ? ? ? ? ? ? （10）

3 SCN變增益滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

3.1 隨機(jī)配置網(wǎng)絡(luò)SCN

有關(guān)于網(wǎng)絡(luò)逼近性能的數(shù)學(xué)證明已在引文中給出，這里根據(jù)研究者給出的SCN模型框架搭建本課題隨機(jī)配置網(wǎng)絡(luò)說明：

將采集的部分?jǐn)?shù)據(jù)組成一個具有N組的訓(xùn)練數(shù)據(jù)集和，[{（XP，YP）， p=1，2，…，N ]}，其中訓(xùn)練模型為m維輸入[Xp={X1，X2，...，Xm}T∈Rm]，訓(xùn)練輸出為n維[Yp={Y1，Y2，...，Yn}T∈Rn]，兩者共同組成一組輸入輸出數(shù)據(jù)樣本。當(dāng)練習(xí)用數(shù)據(jù)共有N組樣本數(shù)據(jù)時，即令[X∈RN×m]

且[Y∈RN×n]，此時的X和Y分別代表輸入和輸出矩陣，令[eL-1（X）∈RN×n]是SCN的殘差矩陣，其中每列：

[eL-1，qX=[eL-1，q（X1），...，eL-1，q（XN）]T∈RN，q=1，2，...，n]

表示輸入X的第L個隱層節(jié)點(diǎn)[?L]的輸出向量，

[hLX=[?LWTLX1+bl，...，?L（WTLXN+bL）]T] ? ? （11）

因此，網(wǎng)絡(luò)的隱層輸出矩陣可以表示為：

[HL=[h1，h2，...，hL]]; ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （12）

令

[ξL，q=（eTL-1，q（X）*hL（X））2hTL（X）*hL（X）-1-rLeL-1，qX，q=1，2，...，n] （13）

根據(jù)Wang D提出的SCN算法，網(wǎng)絡(luò)設(shè)置步驟如下

1） 設(shè)置學(xué)習(xí)參數(shù)，包括一組范圍[-λi，λi，i=1，2，...，S]，其中[0<λ1<λ2<...<λS]，以及一組遞增數(shù)列[γ1<γ2<...<γt<1]，另外還需設(shè)置兩個訓(xùn)練的終止條件，即最大隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)[Lmax]和容錯[τ];

2） 從用戶可調(diào)的區(qū)間[[-λ，λ]]內(nèi)，根據(jù)用戶設(shè)置反復(fù)取[NC]次[WL，bL]作為隨機(jī)參數(shù)，并從[γ1]開始用[γi，i=1，2，...，t]檢驗(yàn)下面的不等式[ξL，q≥0，q=1，2，...，n]，若不等式成立，[WL，bL]為隨機(jī)參數(shù)集合，此時[ξL=q=1nξL，q]最大值;

3） 通過求解下列最小均方問題來評估輸出權(quán)重矩陣β，[β*=argβmin||HLβ-Y||2F=H+LY]，其中[H+L]是矩陣[HL]的Moore-Penrose廣義逆，而[||.||F]表示Frobenius范數(shù)[8]。

為加快建立SCN模型建立的過程，我們可以在隨機(jī)配置算法中每個增量循環(huán)中批量增加候選節(jié)點(diǎn)詳細(xì)討論可見[13]。

3.2 增益可變滑?？刂?/p>

將上文中系統(tǒng)表示為帶有干擾的不確定系統(tǒng)

[x=fθ，θ+b（ut+E（t））]

其中[f（θ，θ）]為已知[b>0]，E（t）為未知干擾。

根據(jù)滑模控制原理設(shè)計(jì)滑模面時需滿足Hurwitz條件，設(shè)計(jì)滑膜函數(shù)為[s=ce+e ? ? c>0]，其中e為跟蹤誤差，[e=θd-θ]，[θd]為預(yù)期角度。

設(shè)計(jì)控制器如下：

[u=1b（-fθ+θd+ce+K（t）sgn（s））]

其中K（t）?。?/p>

[Kt=maxEt+η ? η>0] ? ? ? ? ? ? ? （14）

穩(wěn)定性分析：

取Lyapunov函數(shù)為：

[V=12s2] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （15）

則：

[V=ss=sce+e=sθd-θ+ce]

[=s（θd-fθ-bu-Et+ce）] ? ? ? ? ? ? ? ? ? （16）

控制率帶入上式得：

[V=sKtsgns-Et=-Kts-Ets≤-η|s|<0] ?（17）

系統(tǒng)穩(wěn)定，且在上述控制過程中是增益K（t）造成系統(tǒng)抖振的原因，這一項(xiàng)適用于補(bǔ)償不確定干擾項(xiàng)E（t），來保證滑模存在性條件滿足，為了降低抖振，增益K（t）應(yīng)時變，使用數(shù)據(jù)驅(qū)動的方法實(shí)現(xiàn)對于干擾項(xiàng)的預(yù)估補(bǔ)償。

此時控制率為：

[u=1b（-fθ+θd+ce+K（t）sgn（s）] ? ? ? ? ? ? ? （18）

其中[K（t）]通過建立的SCN網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行估計(jì)，用以減輕系統(tǒng)的抖振。

4 ?仿真實(shí)驗(yàn)

在系統(tǒng)仿真過程中，各參數(shù)如表1所示。

為驗(yàn)證系統(tǒng)的動態(tài)性能，給定階躍的指令信號其如圖3所示，其中黑線為指令信號，紅色虛線為模型輸出的噴桿偏轉(zhuǎn)弧度，在實(shí)際生產(chǎn)作業(yè)中指令信號根據(jù)傳感器測定車身與地面的角度得到，實(shí)驗(yàn)全過程均存在[d（t）]干擾信號，實(shí)驗(yàn)中令初始傾角設(shè)置為0.1弧度，可以知上升時間約2.1秒，3秒左右時間內(nèi)噴桿角度達(dá)到給定信號處并保持穩(wěn)定跟蹤，保證了比較小的誤差范圍，穩(wěn)定階段的精確跟蹤體現(xiàn)了，系統(tǒng)對于干擾具有良好的補(bǔ)償效果。

測試二通過對比傳統(tǒng)方式設(shè)計(jì)的滑?？刂破髋c基于SCN的變增益滑模控制器在不同工況下的控制效果，由于傳統(tǒng)滑模控制器設(shè)計(jì)中采用固定的干擾上界作為計(jì)算依據(jù)的特性，若干擾上界過大將給執(zhí)行機(jī)構(gòu)帶來過大的負(fù)擔(dān)，因此控制器無法只能選擇相對窄的工況范圍內(nèi)，而變增益的方法則可以動態(tài)調(diào)整干擾上限，能夠更好地適用于不同工況條件下：

在實(shí)驗(yàn)圖像中右下角為初次穩(wěn)定時的圖象放大展示，擺桿1的擺動范圍設(shè)定為5°，SCN變增益滑?？刂破鹘Y(jié)果為上方圖，傳統(tǒng)滑?？刂破鳛橄路綀D。在此條件下該算法表現(xiàn)出了優(yōu)于傳統(tǒng)滑?？刂破鞯膭討B(tài)特性，同時由于該算法是變增益的，同等條件綜上我們可以得出，該算法在充分學(xué)習(xí)后具有更好的適用范圍，對于部分位置干擾具有抑制效果。

考慮到實(shí)際生產(chǎn)過程中存在各種復(fù)雜情況，機(jī)械部件本身也存在公差磨損甚至損壞等情況，實(shí)際系統(tǒng)參數(shù)存在一定程度誤差和不確定性，為了保證系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)行，應(yīng)對參數(shù)變化不敏感。下面針對性測試系統(tǒng)對于實(shí)際中存在的參數(shù)不確定現(xiàn)象進(jìn)行性能測試，修改二級擺桿長度等參數(shù)其他條件保持不變再次進(jìn)行測試，測試結(jié)果如下。

在實(shí)際生產(chǎn)中由于植保機(jī)工況復(fù)雜，難以避免地會產(chǎn)生各個部分的參數(shù)變化，實(shí)驗(yàn)中以L2=0.11m，I=1450kgm2為例;圖5中參數(shù)變化后在階躍信號的激勵下響應(yīng)曲線，從圖中我們可以看出參數(shù)的變化對于噴桿傾角的控制效果影響不明顯，控制系統(tǒng)具有良好的魯棒性，可以保證系統(tǒng)在運(yùn)行過程中即使由于某些原因?qū)е孪到y(tǒng)參數(shù)發(fā)生變化或者更換部件造成參數(shù)改變后系統(tǒng)依舊保持同之前相近的效果。

5 總結(jié)

對于植保機(jī)噴桿系統(tǒng)的作業(yè)過程進(jìn)行建模對于實(shí)現(xiàn)噴桿位置控制十分重要。本文提出的控制器使用SCN對機(jī)理模型進(jìn)行補(bǔ)償，從而提升了性能;除此之外SCN模型本身具有無須人工設(shè)定網(wǎng)絡(luò)參數(shù)和快速學(xué)習(xí)等優(yōu)點(diǎn)。通過SCN網(wǎng)絡(luò)對擾動進(jìn)行估計(jì)，所設(shè)計(jì)的滑?？刂破鞅苊饬似渌刂破鬟^度補(bǔ)償問題。因此基于SCN估計(jì)擾動補(bǔ)償滑?？刂破骶哂懈玫膭討B(tài)效果和控制器效能。仿真結(jié)果也體現(xiàn)了這一結(jié)論。在實(shí)際生產(chǎn)過程中，SCN網(wǎng)絡(luò)依賴數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，因此可能受到數(shù)據(jù)中的噪聲和異常數(shù)據(jù)影響，后續(xù)研究可針對網(wǎng)絡(luò)的魯棒性展開，若進(jìn)行在線的學(xué)習(xí)還應(yīng)考慮學(xué)習(xí)時間問題。以上該方法是未來的改進(jìn)方向。同時由于網(wǎng)絡(luò)可解釋性較差相關(guān)研究也可在此方向進(jìn)行。

參考文獻(xiàn)：

[1] 林立恒，侯加林，吳彥強(qiáng)，等.高地隙噴桿噴霧機(jī)研究和發(fā)展趨勢[J].中國農(nóng)機(jī)化學(xué)報，2017，38（2）：38-42.

[2] Jeon H Y，Womac A R，Wilkerson J B，et al.Sprayer boom instrumentation for field use[J].Transactions of the ASAE，2004，47（3）：659-666.

[3] 崔龍飛，薛新宇，丁素明，等.雙鐘擺主被動懸架式大型噴霧機(jī)噴桿動力學(xué)仿真與試驗(yàn)[J].農(nóng)業(yè)機(jī)械學(xué)報，2017，48（2）：82-90.

[4] Mei K Q，Ding S H，Chen X Y.Fuzzy non-singular terminal sliding mode controller design for nonlinear systems with input saturation[J].International Journal of Fuzzy Systems，2020，22（7）：2271-2283.

[5] Van M，Mavrovouniotis M，Ge S S.An adaptive backstepping nonsingular fast terminal sliding mode control for robust fault tolerant control of robot manipulators[J].IEEE Transactions on Systems，Man，and Cybernetics：Systems，2019，49（7）：1448-1458.

[6] Huang J，Guan Z H，Matsuno T，et al.Sliding-mode velocity control of mobile-wheeled inverted-pendulum systems[J].IEEE Transactions on Robotics，2010，26（4）：750-758.

[7] Zhang M S，Huang J，Cao Y.Adaptive super-twisting control for mobile wheeled inverted pendulum systems[J].Applied Sciences，2019，9（12）：2508.

[8] Wang D H，Li M.Stochastic configuration networks：fundamentals and algorithms[J].IEEE Transactions on Cybernetics，2017，47（10）：3466-3479.

[9] Wang D H，Li M.Robust stochastic configuration networks with kernel density estimation for uncertain data regression[J].Information Sciences，2017，412/413：210-222.

[10] Deprez K，Anthonis J，Ramon H.System for vertical boom corrections on hilly fields[J].Journal of Sound and Vibration，2003，266（3）：613-624.

[11] Frost A R.A design procedure for twin universal link spray boom suspensions[J].Journal of Agricultural Engineering Research，1987，37（3/4）：179-189.

[12] Wang W，Wang D H.Prediction of component concentrations in sodium aluminate liquor using stochastic configuration networks[J].Neural Computing and Applications，2020，32（17）：13625-13638.

[13] Dai W，Li D P，Zhou P，et al.Stochastic configuration networks with block increments for data modeling in process industries[J].Information Sciences，2019，484：367-386.

【通聯(lián)編輯：梁書】