分解因式的技巧方法

李燕

摘要：分解因式是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，而教材限于篇幅，重點(diǎn)介紹了因式分解的幾種常用方法，而對(duì)解題技巧的介紹還不夠.本文對(duì)因式分解的若干技巧作一補(bǔ)充分析，以期對(duì)學(xué)生學(xué)好這部分知識(shí)有所感悟.

關(guān)鍵詞：技巧;靈活;分解因式

1巧用均值代換

例1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式（2x+9）4+（2x+1）*-904.

（2x+9）+（2x+1）

解設(shè)y=-T22

則（2x+9）*+（2x+1）+-904

=（y+4）*+（y-4）+-904

=[（y+4）2+（y-4）2]2-2（y+4）-（y-4）2-904=4（y2+16）2-2（y2-16）2-904

=2y”+192y2-392

=2（y+96y-196）

=2（y2-2）（y2+98）

=2（y+2）（y-v2）（y+98）

=2（2x+5+/2）（2x+5-12）（4x2+20x+123）.

評(píng)注取其算術(shù)平均值（也稱取中值）為新變量是這道題的關(guān)鍵，如果采用直接配方或直接展開，不僅麻煩而且不易于分解”.

2巧用倒數(shù)代換

例2在有理數(shù)范圍內(nèi)分解因式2x4+3x3-5x2+3x+2.

解原式=x2（2x2+3x-5+-3、2

=x[2（x2+氣）+3（x+-）-5]

=x°[2（x+=）2+3（x+二）-9].

設(shè)y=x+一，則

原式=x（2y2+3y-9）

=x（2y-3）（y+3）

=x（2x+3）（x+-+3）

=（2x2-3x+2）（x3+3x+1）.

評(píng)注本題所給多項(xiàng)式是一個(gè)對(duì)稱型多項(xiàng)式，凡是對(duì)稱型多項(xiàng)式分解因式都可采用倒數(shù)代換的技巧求解.

3常量代換技巧

例3在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式x+-10x3-2（a-11）x2+2（5a+6）x+2a+a2，其中a為非負(fù)數(shù).

解把原多項(xiàng)式整理成關(guān)于a的二次三項(xiàng)式，把x視為常數(shù)，a視為未知數(shù).

a2-2（x2-5x-1）a+（x4-10x3+22x2+12x）=（a-x2+6x）（a-x2+4x+2）=（x2-6x-a）（x2-4x-2-a）=（x-3+v9+a）（x-3-v9+a）（x-2+√6+a）（x-2-√6+a）.

評(píng)注本題把未知數(shù)看成為常數(shù)，常數(shù)反而視為未知數(shù)的這種反客為主的常量代換技巧，是對(duì)學(xué)生習(xí)慣思維（定勢(shì)思維）的沖擊，如果學(xué)生能靈活運(yùn)用這種技巧，可以迅速解題.

4巧添項(xiàng)

例4在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式x5+x+1.

解此題添上平方項(xiàng)x2-x2，原多項(xiàng)式變形為x-x2+x2+x+1，前兩項(xiàng)為一組，后三項(xiàng)為一組，于是

x+x+1=（x-x2）+（x2+x+1）

=x2（x3-1）+（x2+x+1）

=（x2+x+1）（x3-x2+1）.

評(píng)注添項(xiàng)是分解因式中常用的技巧，至于添哪一項(xiàng)，這要因題而定.一般地，要進(jìn)行多項(xiàng)試驗(yàn)添項(xiàng)后進(jìn)行適當(dāng)分解，然后轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的分解因式法的問題.

5巧拆項(xiàng)

例5在有理數(shù)范圍內(nèi)分解因式x4-11x2+1.

解此題把11x2分拆成9x2+2x2，拆項(xiàng)后，再用分解因式法.

x4-11x2+1

=x4-2x2+1-9x2

=（x2-1）2-9x2

=（x2+3x-1）（x2-3x-1）.

評(píng)注拆項(xiàng)與添項(xiàng)一樣是因式分解中的常用技巧，此題拆11x2為9x2與2x2之和是關(guān)鍵.

6巧用觀察法

例6分解因式x3+6x2+11x+6.

解此題是按x降冪排列的多項(xiàng)式，并且奇次項(xiàng)系數(shù)之和等于偶次項(xiàng)系數(shù)之和，這個(gè)多項(xiàng)式必含有x+1這個(gè)因式，于是

x3+6x2+11x+6

=（x+x2）+（5x2+5x）+6x+6

=x（x+1）+5x（x+1）+6（x+1）

=（x+1）（x2+5x+6）

=（x+1）（x+2）（x+3）.

例7在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式x3+6x-7.

解此題是各項(xiàng)系數(shù)之和為0，故多項(xiàng)式必含有x-1這個(gè)因式，于是

x3+6x-7

=x3-x+7x-7

=x（x2-1）+7（x-1）

=（x-1）（x2+x+7）.

評(píng)注觀察法對(duì)于處理像例6.例7這兩種情形;奇次項(xiàng)系數(shù)之和等于偶次項(xiàng)系數(shù)之和或各項(xiàng)系數(shù)之和為零，非常方便.

7巧用恒等變形

例8在有理數(shù)范圍內(nèi)分解因式（4x+5）2（2x+3）（x+1）-7.

解此題從表面上看是不能直接運(yùn)用所學(xué)過的各種方法，即使展開，分解起來也十分繁雜面對(duì)該多項(xiàng)式巧妙地進(jìn)行恒等變形，把x的系數(shù)都變成相同的.

（4x+5）”（2x+3）（x+1）-7

=-[（4x+5）2（4x+6）（4x+4）]-7

=-[（4x+5）-（4x+5+1）（4x+5-1）-56]=8{（4x+5）2[（4x+5）2-1]-56}

=-一[（4x+5）4-（4x+5）2-56]

=-[（16x2+40x+17）（16x2+40x+32）

=（2x2+5x+4）（16x2+40x+17）.

評(píng)注凡形如（A，B+B{）（A2x+B2）（A3x+Bg）（A4x+B4）+C這種類型的多項(xiàng)式分解因式，把未知數(shù)的系數(shù)變成相同，是解這類題目的關(guān)鍵【2】.

參考文獻(xiàn)：

[1]楊昊.因式分解三步曲[J].初中生世界，2015（13）：71.

[2]宋林.常見的因式分解方法探究[J].中學(xué)教學(xué)參考，2015（11）：47.