抓性質(zhì)理解 構(gòu)模型解題

周澤軍 李盼

摘要：習(xí)題教學(xué)的“根”就是數(shù)學(xué)模型，習(xí)題教學(xué)的“魂”在于數(shù)學(xué)思想方法.一道好的考題，往往是命題者智慧的結(jié)晶.本文以一道習(xí)題為例，探究其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)模型與思想方法，意在闡述中點(diǎn)性質(zhì)與中點(diǎn)模型的潛在教學(xué)價(jià)值，旨在讓習(xí)題教學(xué)減負(fù)增效，讓學(xué)生對(duì)幾何圖形的認(rèn)知逐漸深厚起來(lái)，讓數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)“落地生根”.

關(guān)鍵詞：中點(diǎn);基本性質(zhì);數(shù)學(xué)模型;數(shù)學(xué)思想方法

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》特別強(qiáng)調(diào)：數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志.幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)，是學(xué)生不斷經(jīng)歷、體驗(yàn)各種數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程的結(jié)果.如何將學(xué)生從窮于應(yīng)付繁瑣的數(shù)學(xué)內(nèi)容和過(guò)量的題目解脫出來(lái)？通過(guò)對(duì)基本性質(zhì)的深刻理解，提煉基本模型，抓住思維的“生長(zhǎng)點(diǎn)”、尋求思維的“延伸點(diǎn)”才能真正達(dá)到“解一題，會(huì)一類，通一片”的效果.

1題目呈現(xiàn)

題目如圖1，在△ABC中，AB=AC，以AB為斜邊作Rt△ABD，使點(diǎn)D落在△ABC內(nèi)，∠.ADB=90°，把△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△ACE，連接ED并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)P.求證：BP=CP.

2解法探究

本題的實(shí)質(zhì)是中點(diǎn)、等腰三角形“三線合一”、旋轉(zhuǎn)中的“手拉手”全等與相似問(wèn)題，因此，可以以基本性質(zhì)及常見(jiàn)模型作為切入點(diǎn)，打開(kāi)思維的洪流即：“中線倍長(zhǎng)法”“構(gòu)造中位線法”“三線合一法”“構(gòu)判定法”“構(gòu)手拉手”相似法.

2.1中線倍長(zhǎng)法

解法1如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CF//BD，交EP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

因?yàn)椤鰽CE是由OABD旋轉(zhuǎn)得到的，

所以△ACE≌△ABD.

所以∠AEC=∠ADB=90°，AD=AE，CE=BD.所以∠ADE=∠AED，∠ADE+∠BDP=∠AED+∠PEC=90°.

所以∠BDP=∠PEC.

又因?yàn)镃F//BD，所以∠BDP=∠DFC.

所以∠DFC=∠FEC.

所以CE=CF.

所以BD=CF.

所以△BPD≌CPF（AAS）.

所以BP=CP.

解法2如圖3，過(guò)點(diǎn)B作BF//CE，交EP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

因?yàn)椤鰽CE是由△ABD旋轉(zhuǎn)得到的，

所以△ACE≌△ABD.

所以∠.AEC=∠.ADB=90°，AD=AE，CE=BD.所以∠ADE=∠AED，LADE+∠BDP=∠AED+∠PEC=90°.

所以∠BDP=∠PEC.

又因?yàn)锽F//CE，所以∠BFP=∠PEC.

所以L.BFP=∠BDP.

所以BF=BD.

所以BF=CE.

所以△BPF≌△CPE（AAS）.

所以BP=CP.

2.2構(gòu)造中位線法

解法3如圖4，延長(zhǎng)BD到點(diǎn)F，使得DF=BD，連接CD，CF，EF，AF.

因?yàn)椤鰽CE是由△ABD旋轉(zhuǎn)得到的，

所以△ACE≌△ABD.

所以∠AEC=∠ADB=90°，∠BAD=∠CAE，AD=AE，CE=BD=DF.

所以∠ADE=∠AED，∠ADE+∠BDP=∠AED+∠PEC=90°.

所以∠BDP=∠PEC.

又因?yàn)锳D垂直平分BF，所以AF=AB=AC.所以∠FAD=∠BAD=∠CAE.

所以∠FAD-LCAF=LCAE-∠CAF.

即∠DAC=∠EAF.

所以O(shè)ADC≌△AEF（AAS）.

所以CD=EF.

所以△FDC≌△CEF（SSS），△EDC≌△DEF（SSS）.所以C.DFC=∠ECF，∠EDF=LDEC.

又因?yàn)椤螪GE=∠CGF，所以∠.DFC=∠ECF=∠EDF=∠DEC.

因?yàn)椤螧DP=∠EDF，所以∠BDP=∠BFC.所以DP//CF.

所以BPBD

=1.PC-DF

所以BP=CP.

2.3三線合一法

解法4如圖5，過(guò)點(diǎn)A作AQ⊥BC于Q，取AB中點(diǎn)F，連接DF，QF.

則QF=DF=二AB，所以A、B、Q、D四點(diǎn)共圓.

所以∠BAQ=∠BDQ.

又因?yàn)锳B=AC，

所以∠BDQ=CBAQ=TCBAC，BQ=CQ.

因?yàn)椤鰽CE是由△ABD旋轉(zhuǎn)得到的，

所以△ACE≌△ABD，∠BAC=∠DAE.

所以∠AEC=∠.ADB=90°，AD=AE.

所以∠.ADE=∠AED，CADE+∠BDP=90°.又因?yàn)?∠ADE+∠DAE=180°，

所以2∠ADE+∠BAC=180°.

所以∠ADE+二∠BAC=90°.

所以∠BDP=∠BAC.

所以∠BDQ=∠BDP.所以P、Q重合.

所以BP=CP.

2.4構(gòu)判定法

解法5如圖6，在ED上截取EF=DP，連接FC.

因?yàn)椤鰽CE是由△ABD旋轉(zhuǎn)得到的，

所以O(shè)ACE≌OABD.

所以∠AEC=∠.ADB=90°，AD=AE，CE=BD.所以∠ADE=LAED，LADE+∠，BDP=∠AED+∠PEC=90°.

所以∠BDP=∠PEC.

又因?yàn)镋F=DP，BD=CE，

所以△BDP≌△CEF（SAS）.

所以∠BPD=∠CFE，BP=CF.

所以∠FPC=LPFC.

所以CP=CF.

所以BP=CP.

解法6如圖7，分別過(guò)點(diǎn)B，C作BG⊥直線DP于點(diǎn)G，CF⊥直線DP于點(diǎn)F.

則∠BGD=∠CFE=90°.

因?yàn)椤鰽CE是由△ABD旋轉(zhuǎn)得到的，

所以△ACE≌△ABD.

所以∠AEC=∠ADB=90°，AD=AE，CE=BD.

所以∠ADE=∠AED，LADE+LBDP=LAED+∠PEC=90°.

所以∠BDP=∠PEC.

所以△BDG≌△CEF（AAS）.

所以BG=CF.

又因?yàn)椤螧PG=∠CPF，

所以O(shè)BPG≌△CPF（AAS）.

所以BP=CP.

2.5構(gòu)“手拉手”相似法

解法7如圖8，連接AP，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥PE，交BC于點(diǎn)F，AC與EP交于點(diǎn)G，

則∠PDF=90°=∠ADB.

因?yàn)椤鰽CE是由△ABD旋轉(zhuǎn)得到，

所以△ACE≌△ABD.

所以LBAC=∠DAE.

所以AD=AE.

180°-∠DAE.=又因?yàn)锳B=AC，所以∠AED=

180°-∠BAC=∠ACB.

又因?yàn)椤?AED+∠CAD=∠AGP=∠EPC+∠ACB，所以∠EPC=∠EAC=∠BAD.

所以NPDFn△ADB.

所以PDDFADBD

又因?yàn)長(zhǎng)ADP=∠BDP+90°，∠BDF=∠BDP+90°，所以∠ADP=∠BDF.

所以ADPn△BDF.

所以∠PAD=∠FBD.

所以∠APB=∠ADB=90°.

又因?yàn)锳B=AC，所以BP=CP.

3解法思考

本題的一題多解，從不同的角度、沿著不同的方向?qū)ふ覇?wèn)題的解法.在這7種解法中，運(yùn)用了初中幾何許多知識(shí)和方法（例如：“三線合一”，全等三角形的判定，多邊形的內(nèi)、外角和，相似三角形，圓周角等），它對(duì)基本解題方法技巧的掌握，知識(shí)間聯(lián)系的建立，思路的開(kāi)拓，思維發(fā)散性、廣闊性、靈活性的培養(yǎng)，數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升都頗為有益基于此，抓住基本性質(zhì)、關(guān)注基本圖形、積累經(jīng)驗(yàn)圖形或許是習(xí)題教學(xué)的一種導(dǎo)向.

3.1抓住基本性質(zhì)，理解數(shù)學(xué)本質(zhì)

與圖形相關(guān)的點(diǎn)、線段、角等關(guān)系的證明實(shí)質(zhì)是基本的多邊形一三角形及特殊三角形的判定與性質(zhì)的再現(xiàn)本題可以考查很多圖形的基礎(chǔ)知識(shí)，進(jìn)行一題多解的教學(xué)，有利于開(kāi)發(fā)學(xué)生智力，觸類旁通，掌握基礎(chǔ)知識(shí)，理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，提高解題能力，收到事半功倍的效果.

3.2關(guān)注基本圖形，探究解題規(guī)律

基本圖形往往是解決幾何問(wèn)題的突破口.在復(fù)雜圖形中發(fā)現(xiàn)基本圖形，特別是發(fā)現(xiàn)這些圖形所擁有的共同要素，并進(jìn)一步得到相應(yīng)的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，進(jìn)行思維分析，探討解題規(guī)律和對(duì)習(xí)題的多角度“追蹤”，是探索幾何問(wèn)題常用的基本方法，

3.3積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感悟數(shù)學(xué)思想

對(duì)一些典型幾何圖形進(jìn)行挖掘，探索圖形各元素之間的關(guān)系及圖形各要素之間的聯(lián)系，探尋“一題多解”的多種策略，幫助學(xué)生進(jìn)行總結(jié)與反思，有助于加深學(xué)生對(duì)幾何知識(shí)的理解，提高學(xué)生研究幾何圖形的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1]許洪梅，惠井華.一題多解對(duì)學(xué)生創(chuàng)造性思維能力的培養(yǎng)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2003（11）：35—36.

[2]齊欣.明確轉(zhuǎn)化方向，探求一題多解——一道中考題的多種解法探究及思考[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2017（11）：36—38+50.

[3]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.