中考數(shù)學中極端法問題的考查功能分析

唐紹友

摘要：極端法是通過考慮問題的極端狀態(tài)，探求解題方向或轉化途徑的一種常用方法.具有如下積極的考查功能：有利于數(shù)形結合思想的考查;有利于轉化與化歸的數(shù)學思想的考查;有利于運動變化中的空間想象能力的考查.當然也有一定的消極功能：負面影響高中函數(shù)最值理論的學習;負面影響高中解析幾何理論的學習.

關鍵詞：數(shù)形結合;化歸思想;空間想象;負面影響

極端法是通過考慮問題的極端狀態(tài)，探求解題方向或轉化途徑的一種常用方法.在中考中主要表現(xiàn)為如下形式：一是在研究幾何變量（包括動點、動線、動角、動圖等）中，以幾何變量的極端位置為主要研究對象，探求問題的結論，必要時再進行一般性的討論;二是在研究代數(shù)問題中，通過考察代數(shù)變量的極值為突破口，尋找解決思路.這種問題具有較強的綜合性，考查的知識點較多，考查的數(shù)學思想方法層面較高，所以在中考中命制這類問題，具有如下積極的考查功能：有利于數(shù)形結合思想的考查;有利于轉化與化歸的數(shù)學思想的考查;有利于運動變化中的空間想象能力的考查.當然也有一定的消極功能：負面影響高中函數(shù)最值理論的學習;負面影響高中解析幾何理論的學習.

1極端法問題積極的考查功能

1.1有利于數(shù)形結合思想的考查

數(shù)形結合思想是最基本的數(shù)學思想之一，所以在中考中占重要地位，特別是幾何問題代數(shù)化與代數(shù)問題幾何化等問題都集中體現(xiàn)了這一數(shù)學思想，在相當多省市的中考試卷中出現(xiàn)了極端法與數(shù)形結合的綜合問題，讓試題更具特色，使試題的解法更具活力，對思維深刻性的考查更有層次性.

例1 （2012年安徽中考）如圖1，點A在半徑為2的?O上，過線段OA上的一點P作直線l，與?O過點A的切線交于點B，且?APB=60°，設OP=x，則△PAB的面積y關于x的函數(shù)圖象大致是（）（注：求解本題時可將點視為三角形的特殊情況），

分析由于點P是線段OA上的動點，所以容易想到點P的兩個極端位置O與A.當點P在O處時，y取得最大值;當點P在A處時，y=0，故可以排除選項A與C，但這兩個極端位置無法判斷選項B與D的正確性，所以從圖形抽象數(shù)量關系

考慮，由此可知選項B錯，D對.當然本題也可不求函數(shù)關系，只需一個特殊點，比如取OA的中點P，計算出此時的y=，

而選項B的圖象對應y=，

只有選項D符合要求.本題的解決是通過幾何圖形的特殊點（包括極端位置）提煉數(shù)量特征（由圖到數(shù)），再從數(shù)量特征回到圖象（由數(shù)到形），分析圖象的正確性，顯然是對數(shù)形結合思想的重點考查.

例2 （2012年珠海中考）如圖2，二次函數(shù)y=（x-2）2+m的圖象與y軸交于點C，點B是點C關于該二次函數(shù)圖象的對稱軸對稱的點已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過該二次函數(shù)圖象上點A（1，0）及點B.

（1）求二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式;

（2）根據(jù)圖象，寫出滿足kx+b≥（x-2）2+m的x的取值范圍.

分析（1）容易求得二次函數(shù)是y=（x-2）2-1，一次函數(shù)是y=x-1;

（2）因為A、B坐標為（1，0），（4，3），所以當kx+b≥（x-2）2+m時，1≤x≤4.A，B是滿足不等式hx+b≥（x-2）=+m的兩個極端位置，最后得到結論1≤x≤4，其依據(jù)是圖形.思路是先求出極端位置的坐標（即代數(shù)特征），再由這個代數(shù)特征控制圖形特征：線段AB在拋物線段的上方，端點重合.本題實現(xiàn)了極端位置的代數(shù)特征與圖形特征相融的命題目標，正是數(shù)形結合的標志.

1.2有利于轉化與化歸數(shù)學思想的考查

加強轉化與化歸思想的考查一直是中考的主流，包括數(shù)與形、方程與函數(shù)、高次與低次、特殊與一般、未知與已知、正面與反面、整體與局部、分散與集中等之間的相互轉化都是重要的轉化形式，利用極端值問題可以實現(xiàn)其中的一些轉化目標.比如求范圍問題有時可以轉化為求邊界值問題，根據(jù)動點條件選擇函數(shù)圖象問題，可以轉化為研究動點在一些極端位置的情形.

例3 （2012年嘉興中考）如圖3，正方形ABCD的邊長為a，動點P從點A出發(fā)，沿折線A→B→D→C→A的路徑運動，回到點A時運動停止.設點P運動的路程長為x，AP長為y，則y關于x的函數(shù)圖象大致是（）.

分析按常規(guī)求出y與x之間的函數(shù)關系式可以找到答案，但運算量大.若取幾個特殊點驗證圖象，更容易找到正確答案.當點P運動到BD的中點時，此時，函數(shù)圖象應該在第二段中點處取得最小值，這樣可排除選項B，當點P運動到點C時，函數(shù)圖象應該在第三段右端點取最大值，且此最大值比其它值都大，這樣可確定選項D正確.考查這樣的問題，有利于考查轉化思想，將選擇整體圖象問題轉化為研究原圖形與圖象的幾個關鍵點，體現(xiàn)了整體與局部、一般與特殊之間的轉化.

例4（2014年北京東城一模）已知：關于x的一元二次方程mx2-（4m+1）x+3m+3=0（m>1）.（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根;

（2）設方程的兩個實數(shù)根分別為x1，x2（其中x1>x2），若y是關于m的函數(shù)，且y=x1-3x2，求這個函數(shù)的解析式;

（3）將（2）中所得的函數(shù)的圖象在直線m=2的左側部分沿直線m=2翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象.請你結合這個新的圖象回答：當關于m的函數(shù)y=2m+b的圖象與此圖象有兩個公共點時，b的取值范圍.

分析（1）略;（2）y=-3/m（m>1）.

（3）作出函數(shù)y=-3/m（m>1）的圖象，并將圖象在直線m=2左側部分沿此直線翻折，所得新圖形如圖4所示.易知點A，B的坐標分別為A（3，-3），B（2，-3/2）.當直線y=2m+b過點A時，可求得b=-9;過點B時，可求得b=-11/2;因此，-9

第（3）問的成功解決，是將求范圍問題轉化為求兩個極端值問題.其主要依據(jù)是根據(jù)圖形特征抽象代數(shù)特征.

1.3有利于運動變化中的空間想象能力的考查

課標指出：“在探索圖形的性質圖形的變換以及平面圖形與空間幾何體的相互轉換等活動過程中，初步建立空間觀念，發(fā)展幾何直覺.”這說明圖形的運動變化是幾何的重點內(nèi)容，在圖形的運動變化中抽象數(shù)量關系，特別是通過圖形的極端位置，尋找數(shù)量關系有利于抓住問題的關鍵，從而找到問題的解決思路.這恰好是中考的主要題型之一.

例5（2014年北京西城一模）拋物線y=x2-kx-3與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，其中點B坐標為（1+k，0）.

（1）求拋物線對應的函數(shù)表達式;

（2）將（1）中的拋物線沿對稱軸向上平移，使其頂點M落在線段BC上，記該拋物線為G，求拋物線G對應的函數(shù)表達式;

（3）將線段BC平移得到線段BC（B的對應點記作B，C的對應點記作C），使其經(jīng)過（2）中所得拋物線G的頂點M，且與拋物線G另有一個交點N，求點B到直線OC的距離h的取值范圍.

分析（1）y=x2-2x-3;

（2）y=x2-2x-1;

（3）作OE⊥BC于點E.所以BC=BC=32，OE=1/2BC=32/2.所以SxoprCr=-OC.h=tBC.OE

所以5≤0C≤/17.所以9/17≤h≤.9√5.

第（3）問在平移線段BC的過程中，雖然線段BC的位置變了，但是長度是不變的，且原點0到線段BC所在直線的距離是不變的，即△BCO的面積是不變的，所以求點B到OC的距離h變化范圍，即需求0C的取值范圍，找到OC的兩個極端位置即可.在本題的解決過程中，發(fā)現(xiàn)面積不變量與OC的變化范圍是關鍵，其主要依靠空間想象能力對圖形的分析，發(fā)現(xiàn)不變量與可變量，從而抽象出數(shù)量指標.

2消極功能

2.1負面影響高中函數(shù)最值理論的學習

由于中考極端值問題的解決思路是通過觀察極端位置情況，依據(jù)極端位置建立數(shù)量關系，求出相應的代數(shù)指標，從而指出未知量的取值范圍就夾在這兩個極端值之間，而缺少了嚴格的論證，從而產(chǎn)生負遷移.求函數(shù)最大值與最小值或求函數(shù)值域時，相當部分學生代區(qū)間端點值求出函數(shù)的對應值，就默認為是函數(shù)的最值，由此產(chǎn)生一些誤區(qū).事實上，只有當函數(shù)在給定定義域上具有單調性才能利用端點函數(shù)值代替函數(shù)最值或函數(shù)邊界值

例7（2012年北京中考）已知二次函數(shù)y=（t+1）x2+2（t+2）x+，在x=0和x=2時的函數(shù)值相等.

（1）求二次函數(shù)的解析式;

（2）若一次函數(shù)y=kxx+6的圖象與二次函數(shù)的圖象都經(jīng)過點A（-3，m），求m和k的值;

（3）設二次函數(shù)的圖象與x軸交于點B，C（點B.在點C的左側），將二次函數(shù)的圖象在點B，C間的部分（含點B和點C）向左平移n（n>0）個單位后得到的圖象記為G，同時將（2）中得到的直線y=hx+6向上平移n個單位.請結合圖象回答：當平移后的直線與圖象G有公共點時，n的取值范圍.

分析（1）y=-x2+x+3/2;（2）k=4;（3）由題意可得B、C的坐標分別為（-1，0），（3，0）.平移后，點B、C的對應點分別為點B（-1-n，0），C”（3-n，0）.將直線y=4x+6平移后得到直線y=4x+6+n，當直線y=4x+6+n過點B（-1-n，0）時，圖象G（點B除外）在該直線右側，可得n=氣;當直線y=4x+6+n經(jīng)過點C（3-n，0）時，圖象G（點C除外）在該直線左側，可得n=6，所以由圖象可知，符合題意的n的取值范圍是2/3≤n≤6.

第（3）問解決的關鍵在于找到兩個極端位置對應的n值，這里容易產(chǎn)生質疑：①為何直線過點B時是一個極端位置，直線與拋物線段BC相切的位置是否為極端位置？②為何n的取值就夾在這兩個極端值之間？缺少嚴格的論證.當學生大量練習此類問題之后，自然形成定勢習慣：求范圍者，找極端位置也從而負遷移到高中函數(shù)最值理論的學習，無論函數(shù)單調與否，都代端點值求值，默認其值就是最值.

2.2負面影響高中解析幾何理論的學習

由于解極端值問題思路的影響，在高中解析幾何中負遷移尤其突出遇到求范圍問題，就急于找到兩個極端位置，算出兩個對應值，就默認范圍夾在這兩個值之間.事實上沒有充分的理由說明，是不一定可靠的.比如求y軸上一定點P到橢圓x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）上點的距離的取值范圍.就不是簡單地找兩個極端位置的對應取值，而是建立函數(shù)關系，找到定義域，研究函數(shù)最值才能正確求解.所以在初中解決極端位置問題，能用科學定量的方法求解的，在生源較好的班級可以做一些嘗試，當然不能超綱，以實現(xiàn)初高中之間的銜接，這樣可減少負遷移的影響，

例8（2014年北京西城二模）經(jīng)過點（1，1）的直線l：y=kx+2（k≠0）與反比例函數(shù)Gi：y1=m/x（m≠0）的圖象交于點A（-1，a），B（b，-1），與y軸交于點D.

（1）求直線l對應的函數(shù)表達式及反比例函數(shù)G的表達式;

（2）反比例函數(shù)G2：y2=-（t≠0），

①若點E在第一象限內(nèi)，且在反比例函數(shù)G2的圖象上，若EA=EB，且△AEB的面積為8，求點E的坐標及t值;

②反比例函數(shù)G2的圖象與直線l有兩個公共點M，N（點M在點N的左側），若DM+DN<312，直接寫出t的取值范圍.

分析（1）y=-x+2;y=-3/x;（2）E（3，3）;（3）用極端位值法解決即先算極值.

①當t<0時，令DM+DN=32，則DM=3222/2=2/2.由此可知，M（-1/2，5/2），代入y=t/x

得t=-5/4

此時-_5

②當t>0時，DM+DN=22<312，只需直線l與雙曲線y=，相交即可.由△>0解得0

這種方法充分利用圖形特征，顯得直觀感性，但缺少理性分析與定量分析.比如：算出極值t=-二時，為什么確認答案是-5/4

其解題方法如下：

當t<0時，由t得x2-2x+t=0.

因為t<0，所以△=4-4t>0.

所以x=2+√4-46.=1+/T-i.2

所以M（1-/T-t，1+/1-t），N（1+/1-t，1-V1-t）.

所以DM+DN=√（1-√1-）*+（√1-t-1）+√（1+√1-t）*+（--i-1）=12（1-1-1）+小2（1+/1-1）=2/2v1-i<3/2.

即1-t<所以9解得-5/4

這種方法是極其嚴謹而理性的，對初高中數(shù)學方法的銜接具有一定的積極意義.

總而言之，極端位置法問題在中考中要慎用，不能過多，在命制有關問題時，要注意到求解方法最好能多途徑入手，既能通過極端位置法考慮，也可用科學定量法，通過嚴格論證，得到正確答案，這樣有利于實現(xiàn)感性思維向理性思維過渡，既有利于初高中之間的銜接，又可以減少對高中數(shù)學學習的負遷移.