解析幾何教學(xué)要為核心素養(yǎng)而教

吳新紅

【摘要】在平面解析幾何教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，是值得探討的主題。平面解析幾何教學(xué)要“為素養(yǎng)而教”，注重培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)。本文以“點(diǎn)到直線的距離公式”新授課為例，提出在平面解析幾何教學(xué)中落實(shí)高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的四項(xiàng)策略：創(chuàng)新情境，問題引領(lǐng);自主探究，小組合作;及時(shí)反饋，過程評價(jià);總結(jié)提升，反思優(yōu)化。

【關(guān)鍵詞】中學(xué)數(shù)學(xué);解析幾何;核心素養(yǎng);點(diǎn)到直線的距離公式

如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是值得深入探討的問題。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育，離不開具體的數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)、應(yīng)用、創(chuàng)新。在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，不少教師仍然崇尚“題海戰(zhàn)術(shù)”，只是“為考試而教”，忽視培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，課堂教學(xué)效益較低。因此，在平面解析幾何教學(xué)中，要“為素養(yǎng)而教” ，注重培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，努力追求“負(fù)擔(dān)輕、效率高、效益佳”的課堂教學(xué)效果。下面以“點(diǎn)到直線的距離公式（新授課）”為例，分享我們的實(shí)踐與思考。

一、教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）教學(xué)目標(biāo)

1.會(huì)用坐標(biāo)法和向量法推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式。

2.會(huì)用點(diǎn)到直線的距離解決具體問題。

3.在點(diǎn)到直線距離公式推導(dǎo)過程中，培育直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)。

（二）重點(diǎn)難點(diǎn)

1.教學(xué)重點(diǎn)：點(diǎn)到直線的距離公式。

2.教學(xué)難點(diǎn)：點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)。

（三）教學(xué)過程設(shè)計(jì)

1.引入新課

上節(jié)課我們研究了兩點(diǎn)間的距離公式，本節(jié)課我們來探討點(diǎn)到直線的距離公式。

2.推導(dǎo)公式

問題1：何為點(diǎn)到直線的距離？

設(shè)計(jì)意圖：弄清概念，明確研究對象。

問題2：如圖，已知點(diǎn)P（xo， yo），直線l：Ax+Bx+C=0（A，B不同時(shí)為0），如何求點(diǎn)P到直線l的距離？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生經(jīng)歷點(diǎn)到直線的距離公式推導(dǎo)過程，培育邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。

追問：如果直線l：Ax+Bx+C=0（A=0，B≠0）平行于x軸，點(diǎn)P（xo，yo）到直線l的距離還滿足上式嗎？

如果直線l：Ax+By+C=0（B=0， A≠0）平行于y軸，點(diǎn)P（xo，yo）到直線l的距離還滿足上式嗎？

設(shè)計(jì)意圖：補(bǔ)充兩種特殊情況，體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性。

問題3：反思點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)過程，你發(fā)現(xiàn)引起復(fù)雜運(yùn)算的原因嗎？

設(shè)計(jì)意圖：優(yōu)化運(yùn)算過程。

問題4：向量是解決距離、角度問題的有力工具，能用向量方法求點(diǎn)到直線的距離嗎？

設(shè)計(jì)意圖：用向量法推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式。

問題5：點(diǎn)到直線的距離公式有什么結(jié)構(gòu)特征？

設(shè)計(jì)意圖：強(qiáng)化公式結(jié)構(gòu)，加深學(xué)生對公式的理解。

問題6：比較推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式的坐標(biāo)法和向量法，它們各有什么特點(diǎn)？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生認(rèn)識(shí)坐標(biāo)法和向量法的特點(diǎn)。

3.運(yùn)用公式

例1：求點(diǎn)P（-1，2）到直線2y=3的距離。

例2：已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別是A（1，2），B（3，1），C（-1，0），求△ABC的面積。

設(shè)計(jì)意圖：運(yùn)用公式解題，提高學(xué)生的知識(shí)遷移能力。

4.課堂小結(jié)

問題7：這節(jié)課我們學(xué)到了什么？有何感悟？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)，提高學(xué)生的反思意識(shí)。

5.變式練習(xí)（課外作業(yè)）

（1）求點(diǎn)P（-1，2）到直線3x+2y-7=0的距離。

（2）若點(diǎn)P（-1，2）到直線4x-3y+C=0的距離為1，求C的值。

（3）試探索點(diǎn)到直線的距離公式的其它證明方法。

二、教學(xué)實(shí)錄

教學(xué)片斷1：推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式

問題1：何為點(diǎn)到直線的距離？

學(xué)生1：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段長度，叫點(diǎn)到直線的距離。

問題2：已知點(diǎn)P（xo，yo），直線l：Ax+By+C=0（A，B不同時(shí)為0），怎樣求點(diǎn)P到直線l的距離d？

學(xué)生2：當(dāng)A=0時(shí)，直線可變?yōu)椋?，顯然.

學(xué)生3：當(dāng)B=0時(shí)，直線可變?yōu)椋?，顯然.

教師：當(dāng)A≠0，B≠0時(shí)，如何求點(diǎn)P到直線l的距離d？

學(xué)生4：先求垂足的坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)間的距離公式來求。

教師：很好，將點(diǎn)到直線的距離轉(zhuǎn)化為了兩點(diǎn)間的距離。如何求垂線PQ的方程？如何求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)？

學(xué)生5：利用垂直條件求PQ的斜率，再用點(diǎn)斜式求PQ的方程，最后聯(lián)立方程組，求出垂足Q的坐標(biāo)。

教師：這是推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式最直接的思路，能給出推導(dǎo)過程嗎？

師生合作：當(dāng)A≠0，B≠0時(shí)，直線l的斜率為，所以垂線PQ的斜率為.

因此，垂線PQ方程為，即Bx-Ay=Bxo-Ayo.

聯(lián)立方程組

將（1）×A+（2）×B得：（A2+B2）x+AC+AByo-B2xo=0，

問題3：反思點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)過程，你發(fā)現(xiàn)引起復(fù)雜運(yùn)算的原因嗎？

學(xué)生6：由于點(diǎn)Q的坐標(biāo)比較復(fù)雜，再代入兩點(diǎn)間的距離公式造成了運(yùn)算復(fù)雜。

教師：不求點(diǎn)Q的坐標(biāo)，能推出點(diǎn)到直線的距離公式嗎？設(shè)Q（x，y），觀察兩點(diǎn)間距離公式，能從方程組中直接寫出x-xo，y-yo的表達(dá)式嗎？

學(xué)生7：將變形得

從而（3）×A+（4）×B，（3）×B-（4）×A可求得：

教師：很好，“設(shè)而不求”是運(yùn)算中十分常用的方法。與第一種方法相比，第二種方法的計(jì)算量大大降低。你能概述一下簡化運(yùn)算的方法嗎？

學(xué)生8：第二種方法的推導(dǎo)過程，實(shí)際上是從所要求的表達(dá)式的結(jié)構(gòu)入手，通過整體代換簡化了運(yùn)算。

教師：總結(jié)得很好。

問題4：向量是解決距離、角度問題的有力工具，能用向量方法求點(diǎn)到直線的距離嗎？

教師：如圖，設(shè)M（x，y）是直線l上的任意一點(diǎn)，n是與直線l的方向向量垂直的單位向量，與、n有何關(guān)系呢？

學(xué)生9： 是在n上的投影向量。

學(xué)生10：

追問1：如何用坐標(biāo)表示n？

學(xué)生11：因?yàn)橹本€l：Ax+By+C=0的斜率為，它的一個(gè)方向向量為（1，），

因此，與直線l垂直的一個(gè)方向向量為（1，-），

所以，與直線l垂直的單位向量n=

追問2：如何求？

學(xué)生12：因?yàn)?（x-xo，y-yo），所以

因?yàn)镸（x，y）在直線l上，則Ax+By+C=0.代入（5）式整理得.

教學(xué)片斷2：點(diǎn)到直線的距離公式的理解

問題5：點(diǎn)到直線的距離公式有什么結(jié)構(gòu)特征？

學(xué)生12：公式的分子：跟直線方程一般式的結(jié)構(gòu)一致，只是把P點(diǎn)的坐標(biāo)代入到了直線方程中，體現(xiàn)了公式與直線方程關(guān)系。因?yàn)樗蟮氖蔷嚯x，所以要加絕對值保證結(jié)果為非負(fù)。

問題6：比較推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式的坐標(biāo)法和向量法，它們各有什么特點(diǎn)？

學(xué)生13：坐標(biāo)法是通過求垂足坐標(biāo)得到點(diǎn)到直線距離公式。由于求垂足坐標(biāo)的運(yùn)算量較大，所以采用“設(shè)而不求”，整體代換的手段，簡化運(yùn)算。向量法借助投影向量、直線方向向量，通過向量坐標(biāo)運(yùn)算得到點(diǎn)到直線距離公式。

教師：很好，向量法體現(xiàn)了解析幾何形與數(shù)、數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，降低了運(yùn)算量。是否還有其它的方法可以推導(dǎo)出點(diǎn)到直線的距離公式？課后請同學(xué)們繼續(xù)探究。

教學(xué)片斷3：總結(jié)提升

問題7：這節(jié)課我們學(xué)到了什么？有何感悟？

學(xué)生14：學(xué)到了用坐標(biāo)法推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式的方法。

學(xué)生15：向量法利用投影向量的概念，借助向量的坐標(biāo)運(yùn)算獲得點(diǎn)到直線距離公式。

學(xué)生16：數(shù)形結(jié)合是非常重要的。

教師：很好。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要善于總結(jié)，主動(dòng)思考，合作交流。

三、教學(xué)反思

解析幾何教學(xué)要突出坐標(biāo)法，發(fā)揮向量法的優(yōu)勢，著力培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，培育直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)。反思點(diǎn)到直線的距離公式的教學(xué)設(shè)計(jì)和實(shí)踐，筆者認(rèn)為，基于核心素養(yǎng)的解析幾何教學(xué)有以下四條教學(xué)策略：

1.創(chuàng)新情境，問題引領(lǐng)

問題引領(lǐng)的課堂教學(xué)能充分體現(xiàn)學(xué)生的課堂主體地位和教師的課堂主導(dǎo)作用，能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性和課堂參與性，在學(xué)生充分參與的過程中培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)。從本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)來看，問題引領(lǐng)學(xué)生探究“點(diǎn)到直線的距離公式”，注重知識(shí)間的相互聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生充分參與課堂活動(dòng)，培育學(xué)生的思維能力和核心素養(yǎng)。

2.自主探究，小組合作

當(dāng)前不少因素導(dǎo)致教師片面追求學(xué)生的“高分?jǐn)?shù)”，采用“填鴨式”教育，導(dǎo)致學(xué)生的學(xué)習(xí)能力不強(qiáng)，合作意識(shí)淡薄。本節(jié)課在師生提出了一種思路并解決后，教師還是交給學(xué)生自己去思考探究，將運(yùn)算進(jìn)行優(yōu)化，而不是直接告訴學(xué)生該怎么做。在這個(gè)過程中學(xué)生有自己的感悟，有互動(dòng)交流，質(zhì)疑論辯，學(xué)生的思維得以提升，邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)得以提升，達(dá)到學(xué)科目標(biāo)和育人目標(biāo)相結(jié)合的目的。但本節(jié)課在自主探究和小組合作這一部分仍然存在不足，這也是筆者下一階段將要研究和努力的方向。

3.及時(shí)反饋，過程評價(jià)

評價(jià)引領(lǐng)是將優(yōu)質(zhì)課堂深入發(fā)展下去的保證。用評價(jià)進(jìn)行激勵(lì)，增強(qiáng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)精神，樹立了榜樣作用。評價(jià)是對學(xué)生素質(zhì)能力的肯定，促進(jìn)了學(xué)生自主學(xué)習(xí)，深入探究，達(dá)到自我提升的效果。

本節(jié)課在學(xué)生回答問題和進(jìn)行運(yùn)算求解的過程中，教師一直在恰到好處地贊美激勵(lì)學(xué)生，讓學(xué)生始終保持一種旺盛的狀態(tài)，積極探究的精神，讓學(xué)生達(dá)到樂學(xué)的境界。

事實(shí)上，數(shù)學(xué)運(yùn)算是多數(shù)學(xué)生的瓶頸所在，算不好、不會(huì)算，然后不想算是不少學(xué)生的狀態(tài)。但數(shù)學(xué)畢竟少不了運(yùn)算，特別是解析幾何中，如果一時(shí)想不到什么巧妙解法，計(jì)算也許是學(xué)生唯一的途徑。因此，我們要培養(yǎng)學(xué)生勇敢面對復(fù)雜計(jì)算的信心，鼓勵(lì)學(xué)生勇于計(jì)算，讓學(xué)生從教師那里獲得解決問題的信心能量。

4.總結(jié)提升，反思優(yōu)化

課堂小結(jié)有利于幫助學(xué)生掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)技能，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。開展課堂小結(jié)不能只總結(jié)當(dāng)堂課的數(shù)學(xué)知識(shí)，也應(yīng)該總結(jié)本節(jié)課應(yīng)用的學(xué)習(xí)方法，有時(shí)學(xué)生并不能完全理解當(dāng)堂課學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)內(nèi)容，教師也不可能兼顧到全體學(xué)生的學(xué)習(xí)。因此，可以引導(dǎo)學(xué)生掌握正確學(xué)習(xí)方法的措施，幫助學(xué)生將數(shù)學(xué)知識(shí)前后聯(lián)系，達(dá)到觸類旁通的效果。

本節(jié)課在用三種方法推導(dǎo)出點(diǎn)到直線的距離公式后及時(shí)進(jìn)行了對比和小結(jié)。在課堂小結(jié)時(shí)，三個(gè)學(xué)生分別從本節(jié)課學(xué)習(xí)的知識(shí)技能、思維擴(kuò)展及合作交流等方面進(jìn)行了闡述，相信本節(jié)課對學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)和素養(yǎng)都有一定提升作用。

總之，高中數(shù)學(xué)有著較強(qiáng)的邏輯性與抽象性，包含大量的知識(shí)點(diǎn)，要求學(xué)生有著較高的邏輯思維能力與數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，而利用以上四個(gè)策略能夠有效激發(fā)學(xué)生的思維和創(chuàng)造力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，達(dá)到立德樹人的根本目標(biāo)。

[本文系廣州市教育科學(xué)規(guī)劃（Guangzhou education scientific research project）2019年度基于“大數(shù)據(jù)+人工智能”背景下的精準(zhǔn)教學(xué)策略研究（課題編號(hào)：201912044）的階段研究成果]

參考文獻(xiàn)：

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