錐b-度量空間中相容映像的不動點定理*

彭 榮，柴富杰

(1.廣東培正學院數(shù)據(jù)科學與計算機學院，廣東 廣州 510830；2.廣東金融學院金融數(shù)學與統(tǒng)計學院，廣東 廣州 510521)

不動點定理是泛函分析研究的重要內容.近年來，有學者對不動點所在的空間和壓縮條件進行了各種形式的推廣，獲得了許多不同形式的不動點定理.Czerwik等[1]提出了b-度量空間的概念，證明了b-度量空間壓縮映像原理；Huang等[2]通過引入錐度量空間，獲得了錐度量空間中的不動點定理.此后，b-度量空間和錐度量空間中的不動點問題得到廣泛關注[3-8].2011年，Hussain等[9]給出了錐b-度量空間的概念，推廣和統(tǒng)一了b-度量空間和錐度量空間，證明了錐b-度量空間中的KKM壓縮不動點定理.最近，Hussain等[9-15]將公共不動點問題的研究拓展到錐b-度量空間中.受此啟發(fā)，筆者擬在錐b-度量空間框架下，研究一類廣義壓縮條件下2個相容映像對的公共不動點的存在性問題.

1 預備知識

定義1[2]設E為實Banach空間，θ表示E中的零元，稱P是E中一個錐，如果P是E中的非空閉子集且滿足如下條件：

(ⅰ)P≠{θ}；

(ⅱ)對于?a,b∈R，a≥0，b≥0和?x,y∈P，都有ax+by∈P；

(ⅲ)若x∈P且-x∈P，則x=θ.

設x,y∈E，若x?y?y-x∈P，xy?x?y且x≠y，x?y?y-x∈intP(intP表示P的內部)，則稱“?”和“?”為E中偏序.在錐P中，若對于?x?y存在常數(shù)N，使得‖x‖≤N‖y‖，則稱P為正規(guī)錐，其中最小常數(shù)N稱為正規(guī)常數(shù).

定義2[9]設X為一個非空集合，E是實Banach空間，稱d為X上的一個錐b-度量，s為度量系數(shù)，(X,d)為錐b-度量空間，如果映像d∶X×X→E滿足：

(ⅰ)對于?x,y∈X，有θ?d(x,y)且d(x,y)=θ?x=y；

(ⅱ)對于?x,y∈X，有d(x,y)=d(y,x)；

(ⅲ)對于?x,y,z∈X，有d(x,y)?s(d(x,z)+d(z,y)).

定義4[9]設(X,d)是錐b-度量空間，序列{xn}?X.對于?c?θ，存在n0∈N，當m,n>n0時，d(xm,xn)?c，則稱{xn}為Cauchy列.

引理1[9]設E是實Banach空間，P是E上的一個錐，則有：

(ⅰ)若{xn}為E中的序列，且θ?xn→θ，則對于?c∈intP，存在n0∈N，當n>n0時，xn?c；

(ⅱ)對于?a,b,c∈E，若a?b且b?c，則a?c.

定義5[9]設(X,d)是錐b-度量空間，若X中的任意Cauchy序列{xn}都收斂于X中，則稱(X,d)是完備錐b-度量空間.

定理1設(X,d)為錐b-度量空間，s≥1，序列{xn}和{yn}分別收斂于x，y，則有

證明因(X,d)為錐b-度量空間，故由定義2中條件(ⅲ)可得

d(x,y)?sd(x,xn)+s2d(xn,yn)+s2d(yn,y)，

(1)

d(xn,yn)?sd(xn,x)+s2d(x,y)+s2d(yn,y).

(2)

對(1)式下確界和(2)式上確界分別取極限，可得

d(yn,t)?s(d(xn,yn)+d(xn,t))，

(3)

注1交換映像一定是相容的，但是相容映像不一定可交換.

2 主要結果

定理3設(X,d)是一個完備的錐b-度量空間，度量系數(shù)s≥1，f,g,S,T∶X→X是X上的自映像，對于?x,y∈X，均有

(4)

其中q∈[0,1)，fX?TX，gX?SX，{f,S}和{g,T}為相容映像對且S，T連續(xù)，則f,g,S,T在X中存在唯一公共不動點.

證明任取x0∈X，由fX?TX可知存在x1∈X，使得Tx1=fx0，又由gX?SX可知存在x2∈X，使得Sx2=gx1，同理有Tx3=fx2，Sx4=gx3.依此類推，存在{x2n+1}，{x2n+2}?X，使得y2n=fx2n=Tx2n+1，y2n+1=gx2n+1=Sx2n+2.

(1)證明序列{d(yn+1,yn)}單調減且收斂.事實上，取x=x2n，y=x2n+1，代入(4)式，可得

(5)

現(xiàn)證明d(y2n,y2n+1)?d(y2n,y2n-1).若不然，設d(y2n,y2n+1)?d(y2n,y2n-1)，則有

(6)

(6)式代入(5)式，可得

顯然矛盾，因此

d(y2n,y2n+1)?d(y2n,y2n-1).

(7)

d(yn+1,yn)?λd(yn,yn-1)?…?λnd(y1,y0)，

d(ym,yn)?sd(yn,yn+1)+s2d(yn+1,yn+2)+…+sn-md(ym-1,ym)?sλnd(y0,y1)+

s2λn+1d(y0,y1)+…+sn-mλm-1d(y0,y1)=(shn+s2hn+1+…+

sm-nhm-1)d(y0,y1)=shn(1+sh+(sh)2+…+

(8)

下面取x=Sx2n,y=x2n+1，代入(4)式，可得

(9)

對(9)式取極限，由定理1可得

因此d(Sy,y)?qd(Sy,y).又由0≤q<1可得d(Sy,y)=θ，于是Sy=y.由映像T連續(xù)性，可知

取x=x2n，y=Tx2n+1，代入(4)式，可得

(10)

對(10)式取極限，由定理1可得

因此d(Ty,y)?qd(y,Ty)，于是d(Ty,y)=θ，從而Ty=y.

取x=y，y=x2n+1，代入(4)式，可得

(11)

對(11)式取極限，由Sy=Ty=y，可得

因此d(fy,y)?qd(fy,y)，于是d(fy,y)=θ，從而fy=y.又由(4)式及Sy=Ty=fy=y，可得

因此d(y,gy)=θ，于是y=gy，從而Sy=Ty=fy=gy=y.

(3)證明y的唯一性.假設y不唯一，即存在x≠y且Sx=Tx=fx=gx=x，則由(4)式可得

于是d(x,y)=θ，即x=y，與假設矛盾，因此y是唯一的公共不動點.

注2由于b-度量空間一定是錐b-度量空間且減弱了壓縮條件，因此定理3拓展了文獻[16]的相關結果.

推論1設(X,d)是一個完備錐b-度量空間，數(shù)量系數(shù)s≥1，映像f,g:X→X，對于?x,y∈X，有

其中0≤q<1，則f，g存在唯一公共不動點.

證明取S=T=I，由定理可3可知f，g存在唯一公共不動點.

推論2設(X,d)是一個完備錐b-度量空間，度量系數(shù)s≥1，S,T:X→X是X上的連續(xù)自映像，對于?x,y∈X，有

其中0≤q<1，則S，T存在唯一公共不動點.

證明令f=g=I，由定理3可知S，T存在唯一公共不動點.

推論3設(X,d)是一個完備錐b-度量空間，度量系數(shù)s≥1，映像f:X→X，對于?x,y∈X，有

其中0≤q<1，則f存在唯一不動點.

證明令f=g，S=T=I，由定理3可知f存在唯一不動點.

3 舉例

例1設E=R2，P={(x,y)∈E|x≥0，y≥0}，X=[0,1]，d∶X×X→E，定義錐度量d(x,y)=((x-y)2,α(x-y)2)，其中α≥0，則(X,d)為完備錐b-度量空間，s=2.定義壓縮映像

及偏序關系(a,b)?(c,d)?a