基于問題理解的學(xué)生問題解決錯誤“診斷”研究

鄒學(xué)紅，周 鈞

基于問題理解的學(xué)生問題解決錯誤“診斷”研究

鄒學(xué)紅，周 鈞

（北京師范大學(xué) 教師教育研究中心，北京 100875）

基于學(xué)生問題理解的直譯策略和問題模式策略，以百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用問題解決為例，結(jié)合學(xué)生的問題理解過程對問題解決錯誤進(jìn)行了“診斷”．發(fā)現(xiàn)：百分?jǐn)?shù)應(yīng)用問題解決錯誤的學(xué)生在問題理解上并不主要是因為直譯策略的運用，但直譯策略確實阻礙了一部分學(xué)生對多步問題意義和結(jié)構(gòu)的理解；問題模式策略雖然可以幫助學(xué)生基于對問題情境的理解構(gòu)建對問題的數(shù)學(xué)表征，但由于學(xué)生對問題的理解受多種因素的影響，如對概念的理解程度、已有知識經(jīng)驗的錯誤、問題情境轉(zhuǎn)譯錯誤、急于求成的心理等，問題模式策略也無法保證學(xué)生對問題的全面有效理解．

問題理解；問題解決；直譯策略；問題模式策略

1 問題提出

學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的錯誤具有普遍性、長期性、復(fù)雜性、多樣性等特點，雖然無法直接避免，但教師通過對學(xué)生數(shù)學(xué)錯誤的及時捕捉，并對其深入研究，找出學(xué)生數(shù)學(xué)錯誤的根源，采取一定的策略將錯誤變成學(xué)生學(xué)習(xí)和教師教學(xué)的資源，可以減少錯誤的發(fā)生．正如研究者指出，關(guān)于數(shù)學(xué)錯誤分析的研究是永恒的主題[1]．

問題解決貫穿于教師數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程之中，其對于提升學(xué)生的思維水平、培養(yǎng)學(xué)生問題解決能力發(fā)揮著重要價值．在問題解決教學(xué)中，教師要面對學(xué)生出現(xiàn)的各種錯誤．這些錯誤可能會對學(xué)生之后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生負(fù)面的影響．正如有研究發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)問題解決錯誤是很多人數(shù)學(xué)焦慮的根源[2]．然而在實踐中，教師往往忽略學(xué)生的錯誤，或?qū)㈠e誤視為不被接受的事物，因此改錯教學(xué)更看重學(xué)生訂正錯誤的結(jié)果，忽視了學(xué)生錯誤的原因分析[3]．學(xué)生的問題解決過程是基于其先前知識經(jīng)驗進(jìn)行建構(gòu)的過程，他們不僅需要理解成功解決問題所需要的數(shù)學(xué)表征、問題解決方法，還需要理解他們嘗試的解答過程為什么是錯誤的，而這種錯因分析常?？梢詭椭鷮W(xué)生形成更有差異性的更高一級的概念結(jié)構(gòu)[4]．由此可見，結(jié)合學(xué)生的問題理解過程對問題解決錯誤進(jìn)行“診斷”的研究顯得尤為重要．

2 文獻(xiàn)綜述

問題解決是數(shù)學(xué)教育的一個非常重要的方面．從本質(zhì)上講，問題解決是學(xué)生的一種極其復(fù)雜的思維活動形式，它涉及的遠(yuǎn)不止是簡單地回顧和運用數(shù)學(xué)知識，而是依賴于很多因素的相互作用（如知識獲取和使用、信念、社會文化背景等）[5]．因此學(xué)生問題解決錯誤的原因也非常復(fù)雜．早期研究者注重對不同類型問題特征的研究來解釋學(xué)生問題解決錯誤的原因．研究者通過線性回歸模型，以及信息處理技術(shù)，概括出決定問題解決難度的4個任務(wù)變量：內(nèi)容及內(nèi)容背景變量、結(jié)構(gòu)變量、語法變量和啟發(fā)式行為變量，如研究發(fā)現(xiàn)問題陳述的長度和語句順序的變化會影響問題的難度[6]．隨著認(rèn)知科學(xué)的發(fā)展，研究者更多地致力于關(guān)于問題解決成功者和失敗者之間認(rèn)知和情感特質(zhì)的研究．如西爾弗觀察到成功的問題解決者更注重問題的結(jié)構(gòu)特征，失敗的問題解決者更關(guān)注問題的表面細(xì)節(jié)[7]．隨后，研究發(fā)現(xiàn)大多數(shù)學(xué)生在問題解決中遇到的困難是對問題的理解，而不是計算[8]．于是問題解決錯誤研究的重點就轉(zhuǎn)向關(guān)注學(xué)生對問題的理解．學(xué)生對問題的理解過程即建構(gòu)對問題的數(shù)學(xué)表征的過程[9]．研究表明對問題情境的不理解是學(xué)生問題解決失敗的重要原因，旨在促進(jìn)學(xué)生對問題理解的教學(xué)可以調(diào)高學(xué)生解決問題的能力[10-11]．希加蒂等人研究發(fā)現(xiàn)問題解決失敗的學(xué)生在表征變量關(guān)系時，更多的采用的是直譯策略[12]，依賴于直譯策略的學(xué)生在解決問題時，關(guān)鍵字傳達(dá)給學(xué)生的信息并不能反映問題的意義和結(jié)構(gòu)，因此很難幫助學(xué)生對問題進(jìn)行有效的數(shù)學(xué)表征[13]．阿瓦洛斯等人對6～7歲學(xué)生的數(shù)學(xué)問題理解能力與問題解決水平之間的關(guān)系調(diào)查發(fā)現(xiàn)，用學(xué)生的問題理解能力可以預(yù)測其問題解決水平，但不能預(yù)測學(xué)生的運算水平[14]．諾特維德運用實驗法研究了計算水平相當(dāng)?shù)斫饽芰λ讲煌膬山M學(xué)生被試（兩組被試的計算能力都高于所在整體的平均水平；第一組被試的理解能力比平均水平低，第二組被試的理解能力比平均水平高），研究發(fā)現(xiàn)在這兩組學(xué)生解決一步問題時，第一組被試的問題解決成績稍稍差于第二組被試，但在解決多步問題時，第一組被試的成績與第二組被試的成績有顯著性差異[15]．該研究表明在計算能力水平相當(dāng)?shù)那闆r下，學(xué)生對問題理解水平的高低可以預(yù)測學(xué)生的問題解決水平，其理解水平越高，則問題解決成功的可能性就越大，反之亦然．基塔拉與比約恩通過對八年級學(xué)生的問題理解能力與問題解決水平之間的關(guān)系進(jìn)行了調(diào)查，也得出了類似的結(jié)論：學(xué)生的問題解決水平與學(xué)生的問題理解能力顯著相關(guān)[16]．另外，也有研究者發(fā)現(xiàn)學(xué)生的視圖表征能力也影響學(xué)生的數(shù)學(xué)問題解決．如布寧等人對128位六年級學(xué)生進(jìn)行了實驗研究，發(fā)現(xiàn)學(xué)生厘清問題的已知條件與所求問題間的關(guān)系、對問題的視圖表征是保障學(xué)生問題解決成功所需要的基本能力[17]．事實上，學(xué)生在問題解決過程中，首先需要理解問題，然后將問題的文字表述轉(zhuǎn)化為視圖表征，對問題的理解是學(xué)生問題解決的第一步．由此可見，學(xué)生對問題理解程度的高低往往決定著他們問題解決的成?。?/p>

盡管相關(guān)研究證實了學(xué)生的問題理解是問題解決的關(guān)鍵，但這些研究更多地是以量化研究的方法研究問題解決失敗者和問題解決成功者在問題理解上的不同，很少有研究通過質(zhì)性方法分析問題解決錯誤學(xué)生的數(shù)學(xué)理解過程，且以往研究中涉及的問題解決更多的是整數(shù)加減法領(lǐng)域．研究采用質(zhì)性研究方法，分析百分?jǐn)?shù)應(yīng)用問題解決錯誤學(xué)生的問題理解過程，以期為改進(jìn)問題解決教學(xué)提供借鑒．

3 理論基礎(chǔ)

關(guān)于問題解決中學(xué)生數(shù)學(xué)理解有很多種定義，研究中的學(xué)生數(shù)學(xué)理解指的是學(xué)生在解決問題中寫在紙上的、用語言表達(dá)的或頭腦中構(gòu)建的想法的組合[18]．很明顯，學(xué)生對問題的理解有很多不同的表現(xiàn)形式，如口頭語言、書面語言、符號、心理意象等，它是學(xué)生認(rèn)知活動的工具[19]．

關(guān)于學(xué)生的問題理解，希加蒂等人研究發(fā)現(xiàn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)問題的兩種策略：直譯策略和問題模式策略[20]．直譯策略，即學(xué)生試圖根據(jù)題文中的關(guān)鍵字和數(shù)據(jù)來表征題文，具體表現(xiàn)為學(xué)生在問題解決時，根據(jù)問題文字表述中的“關(guān)鍵字”來選擇相應(yīng)的計算方法，比如看到“一共”就用加法計算，看到“…比…少”就用減法計算，看到“…是…的幾倍”就用乘法計算，看到“平均分”就用除法計算．另一種是問題模式策略，即學(xué)生組織題文信息，并根據(jù)上下文將題文轉(zhuǎn)換成基于問題情境描述的心理模型，據(jù)此進(jìn)行數(shù)學(xué)運算，并對數(shù)學(xué)運算進(jìn)行解釋和論證，具體表現(xiàn)為學(xué)生根據(jù)問題表述中的數(shù)量關(guān)系來建立數(shù)學(xué)表征，并選擇相應(yīng)的計算方法，很少受“關(guān)鍵字”的影響．學(xué)生運用直譯策略或問題模式策略的問題理解過程如圖1所示[12]．

圖1 學(xué)生問題解決理解過程模型

根據(jù)這一模型，學(xué)生理解問題的過程可以分為3個階段，分別是理解語義、構(gòu)建模型或選擇數(shù)據(jù)及關(guān)鍵字、制定解決方案．學(xué)生在問題解決的過程中，對題文信息的理解和建立模型是問題解決的關(guān)鍵[21]．因此研究重點是學(xué)生語義理解和模型構(gòu)建或選擇數(shù)據(jù)及關(guān)鍵字這兩個過程，即學(xué)生構(gòu)建問題數(shù)學(xué)表征的過程．

語義理解即學(xué)生閱讀題文后要對題文中的語句逐一理解，這一過程包括確定問題中的已知量、未知量，并建立一個初步的情境模型．在語義理解階段，學(xué)生對題文信息的理解是以遞增的方式來實現(xiàn)的，即學(xué)生會根據(jù)題文的標(biāo)點符號，逐句讀取，依次獲取信息，并建立這些信息之間的關(guān)系．簡言之，學(xué)生在這一階段的主要任務(wù)是將外在的問題描述逐步轉(zhuǎn)化為其內(nèi)部理解，并在其內(nèi)部構(gòu)造一個語義網(wǎng)絡(luò)．

在建立問題模型階段，學(xué)生能將之前建立的情境模型建成一個更抽象的心理模型[22]，是成功解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵．哈爾福特認(rèn)為，心理模型是學(xué)生思考問題、組織和指導(dǎo)后續(xù)工作的腳手架[23]．在這個階段，運用直譯策略的學(xué)生會根據(jù)題文中的關(guān)鍵字和數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)學(xué)表征的構(gòu)建．他們對問題的表征中所包含的信息往往少于題文中所包含的信息，且可能是基于錯誤的數(shù)量的關(guān)系．運用問題模型策略的學(xué)生，會基于問題情境構(gòu)建數(shù)學(xué)表征，注重分析每個語句中涉及的量之間的關(guān)系．

4 研究設(shè)計

4.1 研究問題

（1）問題解決錯誤學(xué)生是如何理解問題的？

（2）阻礙問題解決錯誤學(xué)生有效理解問題的因素有哪些？

4.2 樣本選擇

通過方便取樣的辦法選取北京市海淀區(qū)一所普通公立小學(xué)六年級的6個班，共208名學(xué)生，這些學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了“百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用”相關(guān)內(nèi)容．

4.3 數(shù)據(jù)收集與分析

采用質(zhì)性研究方法進(jìn)行數(shù)據(jù)收集．為深入了解學(xué)生問題解決錯誤的原因，采用維果茨基的微衍生法[24]，即先采集學(xué)生進(jìn)行百分?jǐn)?shù)應(yīng)用問題解決的材料，經(jīng)過分析，找出學(xué)生在問題解決中出現(xiàn)的問題：在學(xué)生解決的百分?jǐn)?shù)應(yīng)用問題中，當(dāng)題文中包含兩個百分?jǐn)?shù)，且兩個百分?jǐn)?shù)對應(yīng)的單位“1”不同時，學(xué)生問題解決的錯誤率相對較高．在與任課教師、六年級教研員商討的基礎(chǔ)上設(shè)計如下問題解決任務(wù)：前些天，學(xué)校組織了捐書活動。據(jù)統(tǒng)計，六（1）班同學(xué)捐書數(shù)量占六年級捐書總數(shù)的30%，六（2）班捐書數(shù)量是六（1）班捐書數(shù)量的120%，六（2）班比六（1）班多捐30本書，六年級學(xué)生共捐多少本書？

學(xué)生獨立解答后，找出所有解答錯誤的樣本（共56份），并反饋給解答者本人，運用放聲法收集問題解決錯誤學(xué)生解答的具體思維過程材料，在此基礎(chǔ)上，根據(jù)需要對學(xué)生進(jìn)行訪談，盡可能保證研究材料的全面與詳盡．具體數(shù)據(jù)收集及分析流程如圖2．

5 研究結(jié)果

5.1 問題解決錯誤學(xué)生對問題的理解

從問題理解策略上來看，在56份錯誤解答中，運用直譯策略理解問題的學(xué)生有15位，約占27%；運用問題模式策略理解問題的學(xué)生有41位，約占73%．下面具體分析這些問題解決錯誤的學(xué)生是如何理解問題的．

5.1.1 基于題文的關(guān)鍵字和數(shù)據(jù)建立“量”與“率”的關(guān)系

運用直譯策略的學(xué)生傾向于脫離問題的情境來理解題文語句，并從題文中選擇他們認(rèn)為的關(guān)鍵字和數(shù)據(jù)，然后依據(jù)所選的關(guān)鍵字和數(shù)據(jù)直接將問題的要素轉(zhuǎn)化為算術(shù)計算．這些學(xué)生往往認(rèn)為：如果要解決六年級捐書量這個百分?jǐn)?shù)應(yīng)用的問題，就需要找一個率和一個量，于是他們從題文中選擇一個明確的率，即六（1）班捐書量是六年級捐書的30%，然后再想辦法尋找一個量，如錯例1（圖3），該同學(xué)根據(jù)“六（1）班同學(xué)捐書量占六年級捐書總數(shù)的30%”這句話，找到了六（1）班捐書量所占六年級捐書量的百分率，這句話中的“占”是學(xué)生理解這句題文數(shù)學(xué)意義的關(guān)鍵字，然后脫離情境，將六年級的捐書量設(shè)為100本，根據(jù)量率對應(yīng)關(guān)系，用100×30%求出六（1）班的捐書量；再如錯例2（圖4），該同學(xué)在訪談時表示：“六（1）班捐書量是六年級捐書的30%，30%表示的是率，沒有量，所以我就用30作為量，然后用量除以率求出六（1）班的捐書量．”當(dāng)追問該學(xué)生為什么要用30作為量時，他表示題文中只有30是具體的量，其他數(shù)據(jù)都是百分?jǐn)?shù)，即率．

圖2 數(shù)據(jù)收集及分析流程圖

圖3 錯例1

圖4 錯例2

通過對這15位運用直譯策略理解問題的學(xué)生進(jìn)行算式分析和進(jìn)一步的訪談，發(fā)現(xiàn)他們往往花更多的時間來理解題文中的數(shù)字和關(guān)系術(shù)語，而忽略題文中的其它情境信息，即使有學(xué)生在解題過程中可能會多次重讀題文，但依然沒有基于問題情境對問題進(jìn)行模式表征，因此這種策略阻礙了學(xué)生對問題意義和結(jié)構(gòu)的理解．直譯策略的運用往往導(dǎo)致學(xué)生很難從問題表述中厘清問題的已知條件之間、已知條件與問題之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)而套用模版的方式（在這里具體表現(xiàn)為所謂的“量率對應(yīng)關(guān)系”）來解決問題，過度地使用問題表述中的“關(guān)鍵字”，從而建立了錯誤的運算關(guān)系，導(dǎo)致問題解決錯誤．

5.1.2 基于問題情境理解的多元化數(shù)學(xué)表征

運用問題模式策略的學(xué)生主要依據(jù)問題情境思考問題解決方案，即學(xué)生的問題解決思路源于他們對問題的意義及量與量之間關(guān)系的理解．對這41位同學(xué)的解答過程進(jìn)行歸納，發(fā)現(xiàn)他們運用問題模式策略理解問題的方式主要有3種，分別是畫線段圖（20人），如錯例3（圖5）；直接用算式表征（14人），如錯例4（圖6）；把百分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成份數(shù)（7人），如錯例5（圖7），所占百分比分別為49%、34%、17%．

圖5 錯例3

圖6 錯例4

運用問題模式策略的學(xué)生，無論是畫線段圖，還是直接用算式表征問題、或把百分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成份數(shù)，他們對問題理解的過程有共同的特征：基于對問題情境的理解來對問題進(jìn)行模式建構(gòu)．在錯例3中，學(xué)生根據(jù)六（1）班和六年級捐書量之間的關(guān)系、六（1）班和六（2）班捐書量之間的關(guān)系繪制了表征三者之間關(guān)系的線段圖；在錯例4中，學(xué)生依據(jù)題文中給出的已知條件：六（2）班捐書量是六（1）班的120%，且六（2）班比六（1）班多捐30本，再根據(jù)量率對應(yīng)關(guān)系求出六（1）班的捐書量；在錯例5中，學(xué)生根據(jù)六（2）班捐書量和六（1）班之間的關(guān)系將相應(yīng)的百分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成對應(yīng)的份數(shù)進(jìn)行邏輯推理．在對部分學(xué)生進(jìn)行訪談中發(fā)現(xiàn)，他們不但依據(jù)題文情境信息來進(jìn)行數(shù)學(xué)表征，還注重對其理解的合理性進(jìn)行解釋和論證，如出現(xiàn)錯例5的同學(xué)在描述自己問題解決過程時說：“1?200%-1=20%，是因為六（2）的捐書量是六（1）班的120%，也就是說六（2）班比六（1）班多20%，多的這20%正好與六（2）班比六（1）班多的30本相對應(yīng)，所以用30除以20%就可以求出六（1）班的捐書量．”但由于學(xué)生問題理解過程受多種因素的影響，因此學(xué)生運用問題模式策略也不能保證對問題的理解全部有效．

5.2 阻礙學(xué)生有效理解問題的因素

學(xué)生運用直譯策略從題文中選擇他們認(rèn)為的關(guān)鍵字和數(shù)據(jù)來理解問題，忽略了問題的意義和結(jié)構(gòu)，因此直譯策略是阻礙學(xué)生有效理解問題的重要因素之一．研究對阻礙41位運用問題模型策略有效理解問題的因素進(jìn)行了歸納，這些因素有：已有知識經(jīng)驗錯誤、問題情境轉(zhuǎn)譯錯誤、對問題中相關(guān)概念的理解不全面、急于求成的心理．

5.2.1 已有知識經(jīng)驗錯誤

在錯例3中，學(xué)生采用繪制線段圖的策略對題文中的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行直觀化表征，然而該學(xué)生是以線段圖上端點的數(shù)量來確定六年級的捐書量，導(dǎo)致六年級捐書量在線段圖上平均分成的是9份，而不是10份．同樣在線段圖上把六（1）班平均分成10份時，他還是在線段圖上數(shù)端點作為份數(shù)．而在線段圖上根據(jù)六（1）班和六（2）班捐書量關(guān)系表征六（2）班捐書量時，學(xué)生是數(shù)線段的數(shù)量，確定六（2）班的捐書量占12份．可見學(xué)生在用線段圖表征數(shù)量關(guān)系時混淆了線段圖上每條線段與端點表示的數(shù)量關(guān)系導(dǎo)致問題表征錯誤．

5.2.2 問題情境轉(zhuǎn)譯錯誤

在錯例4中，學(xué)生首先根據(jù)六（1）班和六（2）班捐書量之間關(guān)系求出六（1）班的捐書量，然后計算出六（2）班的捐書量，最后求六（1）班和六（2）班的總捐書量．訪談該同學(xué)時，她說：“做題的時候，我覺得六年級就兩個班，所以把兩個班的捐書量加在一起就可以了．”

錯例6（圖8）是學(xué)生在算出六（1）班的捐書量之后，又算出六（2）班的捐書量，然后把六（2）班捐的180本看作六年級捐書的30%，以此來計算六年級的捐書量．訪談中他表示：“讀完題目后，我覺得自己有了很清晰的解題思路，沒想到自己把六（1）班與六年級捐書量之間的關(guān)系想成六（2）班和六年級捐書量之間的關(guān)系了．”錯例7（圖9）是學(xué)生把六（1）班的捐書量150本看作是六（2）班的捐書量．在訪談時他講到：“我覺得這道題并不難，可惜做題的時候我把我算出的六（1）班的捐書量當(dāng)成六（2）班的了，所以才用150減30算六（1）的班捐書量．”

圖7 錯例5

圖8 錯例6

出現(xiàn)這類錯例的學(xué)生共性的地方是他們不需要借助線段圖來表征題文中的數(shù)量關(guān)系，而是運用百分?jǐn)?shù)量率對應(yīng)關(guān)系圖式對題文蘊含的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行自上而下的加工．但學(xué)生在解答問題的過程中把題文所表達(dá)的問題情境部分地轉(zhuǎn)譯成自己所構(gòu)想的運算情境，然后采用與構(gòu)想的情境相匹配的計算策略來解決問題[25]．

5.2.3 概念理解不全面

學(xué)生對問題中涉及概念的理解程度是問題解決的重要因素之一[26]．在錯例8（圖10）中，學(xué)生可以在線段圖上表示六（1）班和六年級捐書數(shù)量的關(guān)系，但不知道如何繼續(xù)表征六（1）班捐書數(shù)量和六（2）班捐書數(shù)量之間的關(guān)系．這類錯誤的出現(xiàn)，與學(xué)生對百分?jǐn)?shù)這一概念理解不夠全面有關(guān)．北師版教材對于百分?jǐn)?shù)相關(guān)知識的呈現(xiàn)，第一階段（百分?jǐn)?shù)的認(rèn)識）是偏向部分與整體的關(guān)系來幫助學(xué)生理解百分?jǐn)?shù)，而在第二階段（百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用）中會涉及兩個獨立量之間關(guān)系比較的百分?jǐn)?shù)．由于學(xué)生最早是基于部分與整體的關(guān)系理解來百分?jǐn)?shù)，因此當(dāng)學(xué)生解決涉及兩個獨立量之間比較關(guān)系的百分?jǐn)?shù)問題時，自然會對百分?jǐn)?shù)的理解產(chǎn)生偏差，造成學(xué)生很難在線段圖上將題文中的3個關(guān)系量轉(zhuǎn)換為一個數(shù)量關(guān)系集．

圖9 錯例7

圖10 錯例8

在錯例9（圖11）中，學(xué)生將六（2）班比六（1）班多捐的20%轉(zhuǎn)化成2份，再根據(jù)這20%對應(yīng)的捐書量是30本，求出1份對應(yīng)15本．學(xué)生在訪談中闡述了自己的想法：“我覺得只看題目中百分?jǐn)?shù)，找不到解題的思路，于是我把六（2）班比六（1）班多捐的20%轉(zhuǎn)化成兩份，這樣我就可以求出1份對應(yīng)的捐書量．但是往下怎么做我就想不出來了！我試著用120%÷15，但感覺不對．”

問題解決的關(guān)鍵是學(xué)生能否構(gòu)建出反應(yīng)問題本質(zhì)的數(shù)學(xué)表征，而在這個過程中認(rèn)知加工圖式發(fā)揮著非常重要的作用[27]．認(rèn)知加工圖式是學(xué)生相關(guān)知識和經(jīng)驗的組織[28]．雖然學(xué)生求出了六（1）班捐書量1份（10%）對應(yīng)的捐書數(shù)量是15本，但由于不理解百分?jǐn)?shù)120%所表示的六（2）班捐書量與六（1）班捐書量之間的關(guān)系，也不具備量率對應(yīng)關(guān)系圖式，因此無法繼續(xù)解答問題．

5.2.4 急于求成的心理

在錯例10（圖12）中，學(xué)生借助線段圖來表征題文中蘊含的數(shù)量關(guān)系．從線段圖上可以看出學(xué)生把表示六年級捐書量的這條線段平均分成10份，取3份表示六（1）班的捐書量，然后又把表示六（1）班捐書量的這3份平均分成10份，在10份的基礎(chǔ)上再增加2份．與其他學(xué)生所畫線段圖不同的地方是，這個學(xué)生又把六年級捐書量由原來的10份劃分成20份．

他在訪談中說到：“因為我已經(jīng)知道六（2）班比六（1）班多30本，所以我覺得只要在線段圖上確定六（2）班捐書量比六（1）班多的20%占六年級的百分之幾，根據(jù)量率對應(yīng)關(guān)系，就可以求出六年級的捐書量，但是我不知道怎么確定，于是我把六年級的捐書量又進(jìn)行了劃分，發(fā)現(xiàn)六（2）班比六（1）班多出的2份正好與我第二次劃分的線重合，于是我快速地找到了答案：多出的這兩份占六年級捐書量的5%．”可見，該學(xué)生不是通過對問題情境的進(jìn)一步分析，而是試圖通過對線段進(jìn)行二次劃分來確定六（2）班和六年級捐書量之間數(shù)量關(guān)系．像這樣，為了達(dá)到在問題解決中快速地找到問題解決方案的目標(biāo)，學(xué)生往往試圖想辦法找到快捷的解決途徑，來回避對問題的深入分析，由于缺少對問題準(zhǔn)確地邏輯推理，導(dǎo)致他們對問題的數(shù)學(xué)表征錯誤．

圖11 錯例9

圖12 錯例10

6 討論和啟示

6.1 百分?jǐn)?shù)問題解決錯誤的學(xué)生多數(shù)運用問題模式策略理解問題

通過對百分?jǐn)?shù)問題解決錯誤的56位學(xué)生的問題理解過程進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)運用問題模式策略的學(xué)生遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于運用直譯策略的學(xué)生，這表明問題解決錯誤的學(xué)生多數(shù)是運用問題模式策略來理解問題．這與希加蒂等人研究發(fā)現(xiàn)問題解決錯誤的學(xué)生主要是運用直譯策略理解問題這一結(jié)論不一致．為避免研究中偶然性的發(fā)生，研究者又翻閱了這些學(xué)生日常作業(yè)中的問題解決過程，和研究發(fā)現(xiàn)一致，多數(shù)同學(xué)在問題理解上運用的是問題模式策略，這表明學(xué)生理解問題的策略具有穩(wěn)定性，他們往往在理解數(shù)學(xué)問題時傾向于運用同一種策略．而學(xué)生問題理解策略的選擇受環(huán)境因素的影響[29]，對于學(xué)生來說最重要的環(huán)境因素就是課堂．于是研究者對學(xué)生的問題解決課堂學(xué)習(xí)情況進(jìn)行了追問，學(xué)生在訪談中提及到他們在問題解決的課堂學(xué)習(xí)中，教師經(jīng)常引導(dǎo)他們比較不同的問題解決思路，并讓他們對不同的問題解決思路進(jìn)行解釋和論證．合理的解釋和論證必然要基于對問題情境的理解，所以可以肯定的是教師基于情境意義的問題解決教學(xué)可以幫助學(xué)生認(rèn)識到基于情境建構(gòu)問題表征的重要性，但這樣的過程在學(xué)生形成穩(wěn)定的問題模式策略的過程中起了多大的作用是需要進(jìn)一步思考的問題，因為學(xué)生個人因素也會對理解問題的策略選擇產(chǎn)生影響．

研究也證實了運用直譯策略的學(xué)生比運用問題模式策略的學(xué)生在建構(gòu)問題的表征上要困難得多，他們花更多的時間回顧問題中的他們認(rèn)為很關(guān)鍵的信息，非常糾結(jié)于如何根據(jù)題文中的關(guān)鍵字和數(shù)據(jù)進(jìn)行算術(shù)運算，若不確定算術(shù)運算的必要性，他們也會對題文進(jìn)行多次閱讀，但他們并不是試圖通過利用問題情境來構(gòu)建問題的心理模型．而學(xué)生問題解決的成功與否取決于是否基于對問題的理解將問題要素轉(zhuǎn)換成一個適且的心理模型，且這個心理模型必須將這些要素整合成一個相互聯(lián)系的整體[30]．那么教師如何幫助學(xué)生實現(xiàn)這種問題理解策略上的轉(zhuǎn)變呢？首先教師在教學(xué)中要為學(xué)生提供一些運用直譯策略不能很好地解決的數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生深切體會直譯策略在理解一些多步問題上的局限性．其次，在教學(xué)中為學(xué)生提供可以幫助學(xué)生理解問題情境的具體方法，如劉易斯通過使用數(shù)線圖的方法來幫助學(xué)生掌握問題模式策略來理解問題[31]．

6.2 學(xué)生運用問題模式策略理解問題的過程受多種因素的影響

希加蒂等人研究發(fā)現(xiàn)成功解決問題的學(xué)生主要是運用問題模式策略來理解問題，與希加蒂等人研究不同的是，研究者研究中的學(xué)生多數(shù)是運用問題模式策略，但問題解決是錯誤的．可見，雖然問題模型策略可以幫助學(xué)生基于對問題情境的理解來表征問題，但學(xué)生理解問題的過程受多種因素的影響，因此即使學(xué)生運用問題模型策略也不能保證對問題有效理解．

邁耶發(fā)現(xiàn)阻礙學(xué)生有效理解問題的因素有第二語言障礙、相關(guān)概念或程序性數(shù)學(xué)知識不足[32]．舍恩菲爾德發(fā)現(xiàn)學(xué)生對數(shù)學(xué)的信念也會影響學(xué)生對問題的理解[33]．研究中，除了邁耶研究發(fā)現(xiàn)的學(xué)生對相關(guān)概念不足這一因素相同外，還有學(xué)生已有知識經(jīng)驗的錯誤、問題情境轉(zhuǎn)譯錯誤、急于求成的心理等阻礙學(xué)生有效理解問題因素．

因此，在問題解教學(xué)中，教師在注重引導(dǎo)學(xué)生運用問題模式策略理解問題的同時，還要關(guān)注阻礙學(xué)生有效理解問題的多種因素．由于樣本量的有限，研究者并沒有窮盡所有的阻礙學(xué)生有效理解問題的因素，但研究可以啟迪教師更有效地對學(xué)生錯誤的具體原因進(jìn)行“診斷”，然后采取有針對性的教學(xué)策略幫助學(xué)生認(rèn)識錯誤、反思錯誤，從而減少錯誤，如要幫助學(xué)生及時發(fā)現(xiàn)問題表征中存在的先前知識經(jīng)驗錯誤；利用客觀信息與學(xué)生主觀認(rèn)識的沖突幫助學(xué)生減少情境轉(zhuǎn)譯錯誤的發(fā)生；對于因為急于求成而模糊推測數(shù)量關(guān)系的同學(xué)，要借助問題解決中的由因?qū)Ч木C合法或執(zhí)果索因的分析法，培養(yǎng)學(xué)生有理有據(jù)的推理能力等．

7 小結(jié)

研究發(fā)現(xiàn)：百分?jǐn)?shù)應(yīng)用問題解決錯誤的學(xué)生在問題理解上并不主要是因為直譯策略的運用，但直譯策略確實阻礙了一部分學(xué)生對多步問題意義和結(jié)構(gòu)的理解；問題模式策略雖然可以幫助學(xué)生基于對問題情境的理解構(gòu)建對問題的數(shù)學(xué)表征，但由于學(xué)生對問題的理解受多種因素的影響，如對概念的理解程度、已有知識經(jīng)驗的錯誤、問題情境轉(zhuǎn)譯錯誤、急于求成的心理等，且學(xué)生在理解問題的過程中有可能意識不到這些阻礙因素的存在，因此問題模式策略也無法保證學(xué)生對問題的全面有效理解．由此可以表明學(xué)生問題解決錯誤并不一定是由于上課聽講不認(rèn)真或解答時不用心造成的，因此教師要改變這樣一種糾錯模式：面對學(xué)生的數(shù)學(xué)錯誤，就讓學(xué)生自己訂正，一遍不對，再訂正一遍，直到訂正對為止．在提倡學(xué)生反思數(shù)學(xué)錯誤的同時，還需要教師結(jié)合學(xué)生解決問題時的思維過程分析錯誤的具體原因，幫助學(xué)生更深刻地認(rèn)識錯誤，加深教師自身對數(shù)學(xué)教學(xué)知識的理解，幫助教師更好地改進(jìn)教學(xué)．

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A Study on “Diagnosis” of Students’ Errors in Problem-Solving and Understanding

ZOU Xue-hong, ZHOU Jun

(Center for Teacher Education Research, Beijing Normal University, Beijing 100875, China)

Based on the direct translation strategy and problem model strategy of students’ problem understanding, this paper takes percentage application problem solving as an example and combines it with the process of students’ problem understanding to “diagnose” problem-solving errors. It was found that the percentage of students who applied problem-solving errors in problem understanding was not mainly due to the use of direct translation strategies, but direct translation strategies did hinder some students’ understanding of the meaning and structure of multi-step problems. Problem model strategies can help students construct mathematical representations of problems based on their understanding of problem situations. However, students’ understanding of problems is affected by many factors, such as the degree of their understanding of concepts, errors in existing knowledge and experience, errors in translating problem situations, and the psychology of eagerness to achieve success. Students may not realize the existence of these obstacles in the process of understanding problems, thus the problem model strategy cannot guarantee students’ comprehensive and effective understanding of problems.

problem understanding; problem solving; direct translation strategy; problem model strategy

G622.4

A

1004–9894（2021）06–0046–06

鄒學(xué)紅，周鈞．基于問題理解的學(xué)生問題解決錯誤“診斷”研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2021，30（6）：46-51．

2021–08–21

北京市社會科學(xué)基金重點項目——人類學(xué)視角下的教師角色研究（16JYA001）

鄒學(xué)紅（1984—），女，山東臨沂人，博士生，主要從事小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)和教師教育研究．

[責(zé)任編校：陳雋、陳漢君]