對一道高考題的剖析、溯源、變式、推廣

劉海濤

《中國高考評價體系》指出：“高考要求學(xué)生能夠觸類旁通、舉一反三，甚至融會貫通，既包括同一層面、橫向的交互融合，也包括不同層面之間、縱向的融會貫通”.高考客觀上對高中教學(xué)起到重要的引導(dǎo)作用，因此，在教學(xué)過程中，對于一些高考真題，如果能夠從不同角度思考，尋求不同的解法，并將其推廣到一般化情形，定能加深對問題的本質(zhì)認(rèn)識，從而拓寬解題視野，發(fā)散解題思維，提升學(xué)習(xí)興趣，提高解題能力.本文是筆者對2021年北京高考數(shù)學(xué)壓軸題的研究，現(xiàn)與讀者分享交流.

一、試題呈現(xiàn)與分析

（2021年北京卷題21）定義Rp數(shù)列an：對p∈R滿足：

①a1+p≥0，a2+p=0;

②n∈N*，a4n-1

③m，n∈N*，am+n∈am+an+p，am+an+p+1.

（1）對于前4項分別是2，-2，0，1的數(shù)列，可以是R2數(shù)列嗎？說明理由;

（2）若an是R0數(shù)列，求a5的值;

（3）是否存在p∈R，使得存在Rp數(shù)列an（其前n項和是Sn），對任意n∈N*，滿足Sn≥S10？若存在，求出所有這樣的p;若不存在，說明理由.

分析 該題形式上以集合為載體考查數(shù)列，主要考查了用遞推方法、分類討論思想解決問題的能力，需要用到猜想、歸納、證明結(jié)論，并利用新的結(jié)論解決問題，體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).第（1）、（2）兩問屬于常規(guī)問題，本文不再贅述，重點論述第（3）問，向讀者介紹筆者的研究.

二、解法探究

解析 （1）不是R2數(shù)列（理由略）;

（2）a5=1（過程略）;

（3）思路1 由Sn≥S10得a10≤0≤a11，于是想到先“必要性探路”，再“充分性驗證”的方法，首先根據(jù)條件中的遞推關(guān)系得到a10和a11，結(jié)合a10≤0≤a11，得到p的值，再對該值進(jìn)行充分性證明即可.

方法1 假設(shè)存在滿足條件的Rp數(shù)列an，其前n項和Sn的最小值為S10，則a10≤0≤a11.

由③知a2∈2a1+p，2a1+p+1，而2a1+p+1≥-p+1>-p=a2，則-p=2a1+p，即a1=-p.

由③知a3∈a1+a2+p，a1+a2+p+1=-p，1-p，a4∈2a2+p，2a2+p+1=-p，1-p，又由②知a3

同理計算可得a5=a6=a7=1-p，a8=a9=a10=a11=2-p.

于是有2-p≤0≤2-p，解得p=2，為Sn≥S10的一個必要條件.

下面驗證p=2的充分性.

當(dāng)p=2時，由上述分析得an=-2（1≤n≤3），an=-1（4≤n≤7），an=0（8≤n≤11），則S10=

minS1，S2，…，S11，欲證Sn≥S10，證當(dāng)n≥11時an≥0即可.下用數(shù)學(xué)歸納法證明.

當(dāng)n=11時，a11=0，命題成立;

假設(shè)n=k（k≥11，k∈N*）時，命題成立，即ak≥0.當(dāng)n=k+1時，由ak+1∈{ak+a1+2，ak+a1+3}得ak+1≥ak+a1+2≥a1+2=0.

綜上，得當(dāng)n≥11時an≥0.

評注 “先充分后必要”法是探究性問題的通性通法之一，先通過必要性找到參數(shù)討論的臨界點或取值，再反過來驗證其充分性，以保證命題的成立.

思路2 由題設(shè)條件分析數(shù)列an的遞推關(guān)系，歸納猜想出通項公式，用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想，最后用通項公式解題.

方法2 由③知a2∈2a1+p，2a1+p+1，而2a1+p+1>-p，則-p=2a1+p，即a1=-p.

由③知an+1∈a1+an+p，a1+an+p+1=an，an+1，an+2∈a2+an+p，a2+an+p+1 =an，an+1，于是an+1，an+2∈an，an+1，則a4n-1，a4n∈

a4n-2，a4n-2+1，又由②知a4n-1

同理計算可得an=-p（1≤n≤3），an=1-p（4≤n≤7），a8=2-p，由此猜想a4n-4= a4n-3=a4n-2=a4n-1=n-1-p（n∈N*）.（說明：這里為了敘述與表達(dá)的方便，給數(shù)列an增加了a0=-p）

用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想：

當(dāng)n=1，2時，猜想成立;

假設(shè)n=k（k≥2，k∈N*）時猜想成立，即a4k-4=a4k-3=a4k-2=a4k-1=k-1-p，則a4（k+1）-4 =a4k=a4k-2+1=k-p;由a4k+1∈k-p，k-p+1∩k-1-p，k-p，得a4（k+1）-3=k-p;由a4k+2∈k-p，k-p+1∩k-1-p，k-p，得a4（k+1）-2=k-p;a4（k+1）-1=a4（k+1）-2=k-p.因此當(dāng)n=k+1時猜想也成立.

綜上，a4n-4=a4n-3=a4n-2=a4n-1=n-1-p.

若Sn≥S10，則a10≤0≤a11，即2-p≤0≤2-p，即p=2.

當(dāng)p=2時，有an<0（1≤n≤7），an=0（8≤n≤11），an>0（n≥12），所以Sn≥S10.

綜上，滿足題設(shè)的實數(shù)p存在，且p=2.

評注 由數(shù)列的遞推關(guān)系得到前幾項后，根據(jù)規(guī)律歸納猜想出通項，再用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想，得到通項公式的方法是求解一些比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)通項的常用方法.猜想通項公式的過程是合情推理的體現(xiàn)，數(shù)學(xué)歸納法證明猜想的過程是演繹推理的體現(xiàn)，這種解決問題的思維模式恰是發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的過程.

三、問題的溯源

數(shù)學(xué)家波利亞曾說：“解題就像采蘑菇一樣，當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)一個蘑菇時，它的周圍可能有一個蘑菇圈.”通過上述解法探究，注意到4n-44=4n-34=4n-24=4n-14=n-1，所以數(shù)列an的通項可以記作an=n4-p（這里n表示不超過n的最大整數(shù)）.由此，可以將問題作一般化推廣，得到如下命題：

命題1 已知實數(shù)p，若數(shù)列an滿足：

①a1+p≥0，a2+p=0;

②n∈N*，a4n-1

③m，n∈N*，am+n∈am+an+p，am+an+p+1.

則（1）數(shù)列an的通項公式為an=n4-p;

（2）前n項和Sn=-2n42+n4-pn-n4.

（3）若p∈Z，則當(dāng)4p-1≤n≤4p+3時，Sn取最小值-2p2-p;若p∈（m，m+1）（m∈Z），則當(dāng)n=4m+3時Sn取最小值2m2+（2-4p）m-3p.

說明 命題1是對高考題的拓展，證明參照高考題的解法2，留給讀者思考.

筆者猜測，命題者是在充分挖掘了數(shù)列n4的性質(zhì)后，命制出的該道高考題.

四、問題的變式

若將高考題中的“S10”改為“S11”，則有a11≤0≤a12，即2-p≤0≤3-p，即2≤p≤3.若p=2，當(dāng)7≤n≤11時，Sn取得最小值;若p=3，當(dāng)11≤n≤15時，Sn取得最小值;若2

變式1 已知數(shù)列an滿足：

①a1≥-5，a2=-5;

②n∈N*，a4n-1

③m，n∈N*，am+n∈am+an+5，am+an+6.

記數(shù)列an的前n項和是Sn，求使得Sn取最小值時的n的值.

簡解 由命題得an=n4-5，則an<0（1≤n≤19），an=0（20≤n≤23），an>0（n≥24），所以當(dāng)19≤n≤23時Sn取最小值.

變式2 定義Rp數(shù)列an滿足：

①a1=-p，a3=1-p;

②n∈N*，a2n-1

③m，n∈N*，am+n∈am+an+p，am+an+p+1.

（1）求數(shù)列an的通項公式;

（2）是否存在p∈R，使得存在Rp數(shù)列an（其前n項和是Sn），對任意n∈N*，滿足Sn≥S2022？若存在，求出所有這樣的p;若不存在，說明理由.

簡解 （1）an=n2-p;（2）a2022=1011-p，a2023=1011-p，由Sn≥S2022，得a2022≤0≤a2023，即1011-p≤0≤1011-p，即p=1011.當(dāng)p=1011時，有an<0（1≤n≤2021），an=0（n=2022，2023），an>0（n≥2024），所以n∈N*，Sn≥S2021=S2022=S2023.因此，滿足題設(shè)的實數(shù)p存在，且p=1011.

根據(jù)上述變式，我們不難得到下面的命題：

命題2 已知實數(shù)p與正整數(shù)k（k≥2），若數(shù)列an滿足：

①a1+p=0，ak+1+p=1;

②n∈N*，akn-1

③m，n∈N*，am+n∈am+an+p，am+an+p+1.

則（1）數(shù)列an的通項公式an=nk-p;

（2）前n項和Sn=-k2nk2+nk-pn+1-k2nk;

（3）若p∈Z，則當(dāng)pk-1≤n≤（p+1）k-1時，Sn取最小值-k2p2+1-k2p;若p∈（m，m+1）（m∈Z），則當(dāng)n=（m+1）k-1時Sn取最小值

k2m2+（12-p）km-p（k-1）.

說明 命題2是對命題1的推廣，證明留給讀者思考.

高考試題凝聚著命題人的心血與智慧，是命題者反復(fù)考量與打磨才成型的，對教師的教學(xué)具有導(dǎo)向性與啟示性，要想科學(xué)高效備考，了解高考動向、把握高考脈絡(luò)，深入研究高考真題是必經(jīng)之路，是教師日常教研的一項基本任務(wù)，反映了教師本身的業(yè)務(wù)素養(yǎng)與能力.文章通過對真題的解法探究，根據(jù)a4n-1

到數(shù)列的通項、前n項和及其最值，即命題1，接著變式問題，改變p的取值得到變式1，條件式②改為a2n-1

（收稿日期：2021-08-23）