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    研究極值點(diǎn)偏移問題的新方法

    2021-12-09 07:20:21甘志國(guó)
    中學(xué)生理科應(yīng)試 2021年11期
    關(guān)鍵詞:增函數(shù)等價(jià)單調(diào)

    關(guān)于極值點(diǎn)偏移問題,已有很多相應(yīng)的高考題及相應(yīng)的文獻(xiàn)給予了深入研究,本文將從“增長(zhǎng)速度的快慢即導(dǎo)數(shù)的大小”方面研究該問題.

    題1 求證:(1)若0≤x≤e,則(e-x)e+x≤(e+x)e-x(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào));

    (2)若0≤x2≤x1≤e,則(e-x1)e+x2≤(e+x2)e-x1(當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=0時(shí)取等號(hào));

    (3)若-e

    證明 (1)只需證明當(dāng)0

    設(shè)u(x)=(e+x)ln(e-x)+(x-e)ln(e+x)(0

    u′(x)=ln(e2-x2)-2e2-x2(x2+e2)(0

    可設(shè)t=e2-x2(0

    易知h(t)=lnt-4e2t+2(0

    (2)只需證明當(dāng)0≤x2≤x1

    由(1)的結(jié)論,可得ln(e-x2)e-x2≤ln(e+x2)e+x2.

    用導(dǎo)數(shù)可證得函數(shù)g(x)=lnxx在(0,e)上單調(diào)遞增,進(jìn)而可得ln(e-x1)e-x1≤ln(e-x2)e-x2,所以ln(e-x1)e-x1≤ln(e+x2)e+x2,進(jìn)而可得欲證結(jié)論成立.

    (3)因?yàn)榘延C不等式的左邊看成函數(shù)時(shí)它是偶函數(shù),所以只需證明當(dāng)0≤x

    再由(1)的結(jié)論,可得f′(x)≥0(0≤x

    注 本題的編擬思路是這樣的:可得函數(shù)g(x)=lnxx在(0,e),(e,+SymboleB@)上分別單調(diào)遞增、單調(diào)遞減,進(jìn)而可做出該函數(shù)的圖像如圖1所示:

    由函數(shù)g(x)=lnxx的極大值點(diǎn)e的左、右兩側(cè)上升、下降的速度不一樣(左快右慢),進(jìn)而可猜測(cè)出第(1)問的等價(jià)結(jié)論g(e-x)-g′(e+x)(0

    如圖2所示,當(dāng)0

    題2 求證:若0e1+x1+x;

    (2)e1-x(1-x)2>e1+x(1+x)2.

    證明 (1)即證(x-1)e2x+x+1>0(0

    設(shè)g(x)=(x-1)e2x+x+1(0

    g′(x)=(2x-1)e2x+1,g″(x)=4xe2x>0(0

    g′(x)是增函數(shù),得g′(x)>g′(0)=0(0

    g(x)是增函數(shù),再得g(x)>g(0)=0(0

    (2)即證ex<1+x1-x,(x-1)ex+x+1>0(0

    設(shè)g(x)=(x-1)ex+x+1(0

    g′(x)=xex+1>0(0g(0)=0(0

    (2)的另證 由(1)的結(jié)論及題設(shè),可得e1-x1-x>e1+x1+x>0,11-x>11+x>0.把它們相乘,可得欲證結(jié)論成立.

    注 本題的編擬思路是這樣的:可得函數(shù)g(x)=exx在(0,1),(1,+SymboleB@)上分別單調(diào)遞減、單調(diào)遞增,進(jìn)而可做出該函數(shù)的圖像如圖3所示:

    圖3

    由函數(shù)g(x)=exx的極小值點(diǎn)e的左、右兩側(cè)下降、上升的速度不一樣(左快右慢),進(jìn)而可猜測(cè)出第(1)問的等價(jià)結(jié)論g(1-x)>g(1+x)(0g′(1+x)(0

    題3 求證:(1)若01e+x1e+x;

    (2)若0≤x1≤x2<1e,則1e+x11e+x1≤1e-x21e-x2(當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=0時(shí)取等號(hào)).

    證明 (1)即證1e+xln1e+x+x-1eln1e-x<00

    即證u(x)=1e+xln1e+x+x-1e

    ln1e-x0

    可得u′(x)=ln1e2-x2+2<00<1e2-x2<1e2,因而欲證結(jié)論成立.

    (2)可得0<1e-x2≤1e-x1≤1e≤1e+x1.

    由(1)的結(jié)論,可得1e-x11e-x1≥1e+x11e+x1.

    用導(dǎo)數(shù)可證得函數(shù)g(x)=xlnx即g(x)=lnxx在0,1e上單調(diào)遞減,進(jìn)而可得函數(shù)h(x)=xx在0,1e上單調(diào)遞減,所以1e-x21e-x2≥1e-x11e-x1,進(jìn)而可得欲證結(jié)論成立.

    由以上思路,筆者還得到了下面的四個(gè)結(jié)論:

    定理1 若f(x)在(a,x0],[x0,b)上分別是增函數(shù)、減函數(shù),f(x1)=f(x2)(a

    g(u)在(a,x0]上是增函數(shù)f(x1)2x0f(x2)>f(2x0-x2)g(u)在[x0,b)上是增函數(shù)

    證明 由題設(shè),可得g(u)在(a,x0]上是增函數(shù)g(x1)

    f(2x0-x1)x02x0-x1>ax1+x2>2x0>ax1>2x0-x2>aa

    f(x1)>f(2x0-x2)f(x1)=f(x2)f(x2)>f(2x0-x2)g(x2)>g(x0)g(u)在[x0,b)上是增函數(shù),

    所以欲證結(jié)論成立.

    定理2 若f(x)在(a,x0],[x0,b)上分別是增函數(shù)、減函數(shù),f(x1)=f(x2)(a

    f(2x0-x1)x1+x2<2x0f(x2)

    證明 同定理1可證.

    定理3 若f(x)在(a,x0],[x0,b)上分別是減函數(shù)、增函數(shù),f(x1)=f(x2)(a

    f(2x0-x1)x1+x2>2x0f(x2)

    證明 在定理1中設(shè)h(x)=-f(x),可得欲證結(jié)論成立.

    定理4 若f(x)在(a,x0],[x0,b)上分別是減函數(shù)、增函數(shù),f(x1)=f(x2)(a

    f(2x0-x1)x1+x2<2x0f(x2)>f(2x0-x2)g(u)在[x0,b)上是增函數(shù).

    證明 在定理2中設(shè)h(x)=-f(x),可得欲證結(jié)論成立.

    注 把定理1~4中的“a”換為“-SymboleB@”或“b”換為“+SymboleB@”后,所得結(jié)論也成立.由定理1~4還可編擬出很多題目.

    題4 已知函數(shù)f(x)=xe-x(x∈R).

    (1)(2010年高考天津卷理科第21(3)題)若x1≠x2,f(x1)=f(x2),求證:x1+x2>2;

    (2)求證:g(u)=f(u)-f(2-u)(u>1)是增函數(shù).

    注 由本題(2)結(jié)論及定理1可得本題(1)結(jié)論.

    題5 已知函數(shù)f(x)=1-x1+x2ex.

    (1)(2013年高考湖南卷文科第21(2)題)證明:當(dāng)

    f(x1)=f(x2)(x1≠x2)時(shí),求證:x1+x2<0;

    (2)求證:g(u)=f(u)-f(-u)(u>0)是減函數(shù).

    由本題(2)結(jié)論及定理2可得本題(1)結(jié)論.

    題6 已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2(a>0)有兩個(gè)零點(diǎn).

    (1)(2016年高考全國(guó)卷Ⅰ理科第21(2)題)設(shè)x1,x2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn),證明:x1+x2<2;

    (2)求證:g(u)=f(u)-f(2-u)(u>1)是增函數(shù).

    由本題(2)結(jié)論及定理4可得本題(1)結(jié)論.

    題7 已知函數(shù)f(x)=x(1-lnx).

    (1)(2021年新高考全國(guó)卷I第22(2)題部分結(jié)論的等價(jià)問題)若f(x1)=f(x2)(02;(2)求證:g(u)=f(u)-f(2-u)(0

    由本題(2)結(jié)論及定理1可得本題(1)結(jié)論.

    題8 已知函數(shù)f(x)=xlnx.

    (1)若f(x1)=f(x2)02e;

    (2)求證:g(u)=f(u)-f2e-u0

    由本題(2)結(jié)論及定理3可得本題(1)結(jié)論.

    題9 已知函數(shù)f(x)=lnx+1x.

    (1)若f(x1)=f(x2)1e2;

    (2)求證:g(u)=f(u)-f(2-u)1e

    由本題(2)結(jié)論及定理3可得本題(1)結(jié)論.

    基金項(xiàng)目:本文系北京市教育學(xué)會(huì)“十三五”教育科研滾動(dòng)立項(xiàng)課題“數(shù)學(xué)文化與高考研究”(課題編號(hào)FT2017GD003,課題負(fù)責(zé)人:甘志國(guó))階段性研究成果之一.

    (收稿日期:2021-09-10)

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