引領(lǐng)學(xué)生解讀直線參數(shù)方程中t的幾何意義

張麗娜

教師在教學(xué)過(guò)程中不僅要給予學(xué)生知識(shí)點(diǎn)的灌輸，還要及時(shí)了解學(xué)情，分析學(xué)生易錯(cuò)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)分析失誤點(diǎn)，明確是知識(shí)點(diǎn)掌握的不清楚還是運(yùn)算上的失誤.

直線的參數(shù)方程是高考選修題常考的知識(shí)點(diǎn)，利用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義求有關(guān)的弦長(zhǎng)、面積、最值等問(wèn)題是考查的重點(diǎn).而學(xué)生在用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義解決有關(guān)問(wèn)題時(shí)，由于對(duì)參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義理解不透徹，出現(xiàn)一些常見(jiàn)錯(cuò)誤.本文以直線的參數(shù)方程知識(shí)點(diǎn)為例，歸納學(xué)生常出錯(cuò)的題目，進(jìn)而明確問(wèn)題考查的本質(zhì).

知識(shí)點(diǎn)重現(xiàn) 經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（x0，y0）、傾斜角是α的直線的參數(shù)方程為x=x0+tcosαy=y0+tsinα（t為參數(shù)）

其中點(diǎn)M（x，y）為直線上的任意一點(diǎn)，參數(shù)t的幾何意義是從點(diǎn)P到點(diǎn)M的位移，可以用有向線段PM的數(shù)量來(lái)表示.

一、理解參數(shù)t的幾何意義

教師引導(dǎo)學(xué)生回顧知識(shí)點(diǎn)的同時(shí)，要告訴學(xué)生這個(gè)知識(shí)點(diǎn)是怎么推導(dǎo)出來(lái)的，幫助學(xué)生理解與記憶知識(shí)點(diǎn)，讓學(xué)生知其一更要知其二.對(duì)知識(shí)點(diǎn)的復(fù)習(xí)不能僅僅停留在知識(shí)點(diǎn)的本身，更要通過(guò)例題習(xí)題的練習(xí)進(jìn)行鞏固與思考.

例1 已知直線l過(guò)點(diǎn)P（1，2），且它的傾斜角θ=135°.

（1）寫出直線l的參數(shù)方程;

（2）求直線l與直線y=x的交點(diǎn)坐標(biāo).

解 （1）由直線l過(guò)點(diǎn)P（1，2），且它的傾斜角θ=135°，所以它的參數(shù)方程可以寫成

x=1+tcos135°y=2+tsin135°（t為參數(shù)），即x=1-22ty=2+22t（t為參數(shù)）;

（2）把x=1-22ty=2+22t代入y=x，

得1-22t=2+22t，即t=-22，

把t=-22代入x=1-22ty=2+22t得到兩條直線的交點(diǎn)為（32，32）（如圖1所示）.

圖1

學(xué)生反思 第（2）問(wèn)中由直線的參數(shù)方程求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，t=-22表明P到M的位移是-22，P到M的距離為PM=22.

變式 如果將本題過(guò)點(diǎn)P（1，2）的直線l的參數(shù)方程寫成如下形式x=1-ty=2+t（t為參數(shù)），直線l與直線y=x交點(diǎn)為M，求PM.

錯(cuò)解 把x=1-ty=2+t代入y=x，得1-t=2+t，即t=-12，所以t=PM=12.

錯(cuò)因 對(duì)于直線參數(shù)方程中t的幾何意義理解不透徹，仔細(xì)觀察直線l的參數(shù)方程x=x0+tcosαy=y0+tsinα（t為參數(shù)），關(guān)于x的式子中t的系數(shù)為直線傾斜角的余弦值，關(guān)于y的式子中t的系數(shù)為直線傾斜角的正弦值（由直線傾斜角的范圍可知，sinα≥0），也就是說(shuō)，當(dāng)直線的參數(shù)方程表示成滿足此種形式的式子時(shí)，參數(shù)t表示從P（x0，y0）到直線上任一點(diǎn)M（x，y）的位移，也即是有向線段PM的數(shù)量，此時(shí)t=PM.

即若直線l的參數(shù)方程為如下形式：x=x0+nty=y0+mt（t為參數(shù);n，m為常數(shù)）

當(dāng)n，m滿足n2+m2=1且m≥0時(shí)，該參數(shù)方程中的t才具備上述幾何意義.

正解 將直線l的參數(shù)方程x=1-ty=2+t變換為x=1-22ty=2+22t，代入y=x，得1-22t=2+22t，即t=-22，t=PM=22.

二、有關(guān)知識(shí)點(diǎn)

教師應(yīng)引領(lǐng)學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)做進(jìn)一步力所能及的推廣，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用知識(shí)分析問(wèn)題的能力.解題后，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從題目中總結(jié)出來(lái)新的方法、技巧和結(jié)論性的東西.

例2 設(shè)直線x=2+ty=4-t，與拋物線y2=4x交于相異兩點(diǎn)M，N，A（2，4）.

（1）求M，N到點(diǎn)A的距離之和;

（2）求MN;

（3）求M，N的中點(diǎn)K，KA.

解 首先將直線參數(shù)方程x=2+ty=4-t變換為x=2-22ty=4+22t，代入y2=4x得t2+122t+16=0，設(shè)M，N對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t1，t2，則有t1+t2=-122t1·t2=16，可知t1<0，t2<0.

MA+NA=t1+t2=t1+t2=122

MN=t1-t2=（t1-t2）2

=（t1+t2）2-4t1t2=414

（3）設(shè)K對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t0，則t0=t1+t22=-62，x=

2-22·（-62）=8，

y=4+22·（-62）=-2，所以K（8，-2），KA=t0=62.

學(xué)生反思 已知條件中直線的參數(shù)方程t與標(biāo)準(zhǔn)形式下的直線的參數(shù)t的含義是不一樣的，需要進(jìn)行轉(zhuǎn)化標(biāo)準(zhǔn)形式下的直線的參數(shù)方程，注意直線的兩個(gè)參數(shù)方程中參數(shù)的不同.

提升 經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（x0，y0）、傾斜角是α的直線的參數(shù)方程為

x=x0+tcosαy=y0+tsinα（t為參數(shù)），若點(diǎn)M，N在直線上，對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t1，t2，則

（1）線段MN長(zhǎng)度MN=t1-t2.

設(shè)M，N的中點(diǎn)為K，則K對(duì)應(yīng)的參數(shù)t0=t1+t22，KP=t0.

（3）若定點(diǎn)P（x0，y0）恰是弦MN的中點(diǎn)，則有t1+t2=0.

三、變式鞏固

課堂上獲得的知識(shí)是有限的，需要在多次做題中進(jìn)行自我“揭短”，從新的層次、新的角度看到自己的不足，這體現(xiàn)了學(xué)生進(jìn)行自我剖析、自我批判的勇氣.我國(guó)著名心理學(xué)家林崇德教授認(rèn)為，一個(gè)學(xué)習(xí)好的學(xué)生，應(yīng)該是善于反思的學(xué)生.

例3 （2021全國(guó)高考仿真模擬卷）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C：x24+y2=1，直線l的參數(shù)方程為x=2+ty=2-t，（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)、x軸的非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系.

（1）寫出曲線C的參數(shù)方程及直線l的極坐標(biāo)方程;

（2）若直線l上的點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t，t+22，點(diǎn)Q在曲線C上，求△QAB面積的取值范圍.

解 （1）略.

（2）法一 直線l的參數(shù)方程變形為x=2-22（-2t）y=2+22（-2t）（t為參數(shù)），令t′=-2t，直線l的參數(shù)方程為x=2-22t′y=2+22t′（t′為參數(shù)），A、B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t′A=-2t，t′B=-2（t+22），AB=t′A-t′B=（-2t）-（-2（t+22））=4.

法二 A（2+t，2-t），B（2+t+22，2-t-22），AB=（22）2+（-22）2=4.

設(shè)Q（2cosθ，sinθ），直線l的直角坐標(biāo)方程為x+y-4=0，點(diǎn)Q到直線l的距離d=2cosθ+sinθ-42=|4-5sin（θ+）|2，

4-52

≤d≤4+52，故△QAB面積的取值范圍是42-10，42+10.

學(xué)生反思 第一問(wèn)容易解決，第二問(wèn)的求解中要先計(jì)算AB的長(zhǎng)度，大部分學(xué)生是這樣計(jì)算的AB=t-（t+22）=22，這是沒(méi)有徹底理解t的幾何意義，此時(shí)需要對(duì)參數(shù)方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化.求曲線上的點(diǎn)到直線的距離，可將曲線方程轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程，借助三角函數(shù)求距離的最值問(wèn)題.

本文主要講述直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義，通過(guò)對(duì)知識(shí)點(diǎn)的再現(xiàn)及常見(jiàn)誤區(qū)的展示，讓學(xué)生深刻理解直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義.

本文中的題后反思不僅是教師教學(xué)過(guò)程中對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)行為的反思，更要體現(xiàn)到學(xué)生解題后的反思，找到錯(cuò)誤的根源，從根源上解決問(wèn)題，不斷對(duì)知識(shí)點(diǎn)本身或從數(shù)學(xué)思想方法的角度進(jìn)行提升，是十分有利于學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展的.

基金項(xiàng)目：本文系阜陽(yáng)市教育科學(xué)規(guī)劃課題“核心素養(yǎng)下高中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生反思能力有效性實(shí)踐的研究”（編號(hào)：FJK043的階段性研究成果.

（收稿日期：2021-09-14）