情境視角下的習(xí)題比較及價(jià)值分析

【摘?要】近年來，數(shù)學(xué)情境問題備受關(guān)注，是數(shù)學(xué)教育研究的重要議題.以人教版和北師大版的初中數(shù)學(xué)教材為研究對(duì)象，對(duì)教材中“一次函數(shù)”章節(jié)的習(xí)題情境進(jìn)行比較分析，發(fā)現(xiàn)：在情境類型上，兩版本主要以無情境和個(gè)人情境為主，忽視職業(yè)情境和社會(huì)情境.在情境水平上，兩版本各有特色.在數(shù)學(xué)特征方面，北師大版的運(yùn)算要求高于人教版;在表征特征上，人教版較少直接運(yùn)用圖形表格這樣直觀的表征，北師大版表征方式更為豐富多樣;在任務(wù)特征上，兩版本都注重概念性理解，人教版以基礎(chǔ)性鞏固和常規(guī)性運(yùn)用為主，北師大版則更注重問題解決和問題探究.通過對(duì)個(gè)別經(jīng)典案例進(jìn)一步分析，發(fā)現(xiàn)人教版善于聯(lián)系生活實(shí)際，北師大版忠于學(xué)科間橫向聯(lián)系.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)教科書;習(xí)題;情境;一次函數(shù);比較研究

1?研究背景

數(shù)學(xué)教科書作為數(shù)學(xué)教學(xué)過程中重要的工具，由正文、例題和習(xí)題三部分有機(jī)組成.不同層次的例題和習(xí)題，是加深數(shù)學(xué)概念、命題及定理的理解，深化數(shù)學(xué)基本思想、數(shù)學(xué)方法及技能的掌握和數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，是教科書的重要組成部分[1].習(xí)題包括教科書中的練習(xí)、習(xí)題和復(fù)習(xí)題，是幫助學(xué)生理解和鞏固新知識(shí)，提高應(yīng)用新知識(shí)分析和解決問題技能的重要載體.近年來，關(guān)于習(xí)題的研究有很多：鮑建生為尋找習(xí)題比較的量化標(biāo)準(zhǔn)，建立了綜合難度的一個(gè)多因素模型，為習(xí)題比較提供了工具[2];以二次方程及函數(shù)為例，高文君和鮑建生設(shè)計(jì)了數(shù)學(xué)認(rèn)知水平分析框架，發(fā)現(xiàn)中美習(xí)題在不同認(rèn)知水平上的差異[3];賈隨軍、呂世虎和李保臻從習(xí)題的數(shù)量、類型及難度方面分析了中美“與三角形有關(guān)的角”的習(xí)題[4].習(xí)題的質(zhì)量影響著數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的表征程度和滲透程度，對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)也有著深刻的影響.問題是數(shù)學(xué)的心臟，數(shù)學(xué)問題離不開數(shù)學(xué)情境.通過梳理文獻(xiàn)發(fā)現(xiàn)，關(guān)于習(xí)題在問題情境方面的比較研究較少.

數(shù)學(xué)情境在數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)揮著關(guān)鍵的作用.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)（2011版）》）提出：“數(shù)學(xué)課程能為學(xué)生未來生活、工作和學(xué)習(xí)奠定重要的基礎(chǔ);課程內(nèi)容的選擇要貼近學(xué)生的實(shí)際，有利于學(xué)生體驗(yàn)與理解、思考與探索.”習(xí)題以問題的形式表現(xiàn)，為學(xué)生內(nèi)化數(shù)學(xué)知識(shí)，獲得數(shù)學(xué)技能、豐富數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)所服務(wù).基于此，研究以“數(shù)與代數(shù)”板塊中的“一次函數(shù)”章節(jié)為依托，對(duì)國內(nèi)不同版本的教科書習(xí)題情境進(jìn)行比較，深度挖掘習(xí)題價(jià)值所在，以期對(duì)函數(shù)習(xí)題的設(shè)計(jì)提供借鑒與啟示.

2?研究設(shè)計(jì)

2.1?研究對(duì)象

本研究選取人民教育出版社、北京師范大學(xué)出版社出版的義務(wù)教育教科書《數(shù)學(xué)》（以下分別簡(jiǎn)稱“人教版”“北師大版”）“一次函數(shù)”章節(jié)的習(xí)題，其內(nèi)容如下表1.

2.2?分析框架

2.2.1?數(shù)學(xué)問題情境類型

根據(jù)PISA中情境的分類方式，按照“情境與學(xué)生生活遠(yuǎn)近程度”，將問題情境劃分為個(gè)人情境、職業(yè)情境、社會(huì)情境和科學(xué)情境.結(jié)合數(shù)學(xué)問題呈現(xiàn)的簡(jiǎn)潔性，將“無情境”也作為一種情境類型，從而將數(shù)學(xué)問題情境劃分為以下5類（見表2）.

2.2.2?數(shù)學(xué)問題情境水平

數(shù)學(xué)情境是關(guān)于“學(xué)習(xí)活動(dòng)的環(huán)境”及“數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)”的整合，在數(shù)學(xué)問題情境中包含相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)思想方法.Yeping Li開發(fā)了一個(gè)針對(duì)教科書數(shù)學(xué)問題呈現(xiàn)的3維度分析框架，即“數(shù)學(xué)特征”、“表征形式”和“任務(wù)要求”，鮑建生在習(xí)題綜合難度模型中提出探究、背景、運(yùn)算、推理和知識(shí)含量5個(gè)因素.根據(jù)數(shù)學(xué)問題呈現(xiàn)的維度，結(jié)合習(xí)題綜合難度模型中考慮的因素，以陳志輝改進(jìn)的數(shù)學(xué)問題情境水平分析框架為工具，得到“數(shù)學(xué)特征水平”、“表征形式水平”及“任務(wù)特征水平”三維特征分析模型，見表3.

以人教版中的一道習(xí)題為例：甲、乙兩家商場(chǎng)平時(shí)以同樣價(jià)格出售相同的商品.春節(jié)期間兩家商場(chǎng)都讓利酬賓，其中甲商場(chǎng)所有商品按8折出售，乙商場(chǎng)對(duì)一次購物中超過200元后的價(jià)格部分打7折.

（1）以x（單位：元）表示商品原價(jià)，y（單位：元）表示購物金額，分別就兩家商場(chǎng)的讓利方式寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式;

（2）在同一直角坐標(biāo)系中畫出（1）中函數(shù)的圖象;

（3）春節(jié)期間如何選擇這兩家商場(chǎng)去購物更省錢？

根據(jù)上述分析框架，首先在情境類型上，商場(chǎng)購物屬于個(gè)人情境，其次，對(duì)該問題情境從三個(gè)維度分析：數(shù)學(xué)特征上，該問題的外部表征并沒有包含運(yùn)算，因此屬于水平1（NC1）;表征特征上，該問題是將商場(chǎng)購物的背景以文字描述出來，且不含任何圖表，屬于水平2（S2）;任務(wù)特征方面，此問題是利用一次函數(shù)來解決購物問題，因此將其歸為水平3（PS3）.

3?研究結(jié)果

根據(jù)以上分析框架對(duì)兩個(gè)版本相應(yīng)的內(nèi)容進(jìn)行統(tǒng)計(jì)和分析，得到以下研究結(jié)果.

3.1?數(shù)學(xué)問題情境類型比較結(jié)果

通過統(tǒng)計(jì)人教版和北師大版“一次函數(shù)”習(xí)題，發(fā)現(xiàn)人教版共65道，北師大版共57道，人教版習(xí)題數(shù)量更多.由表4及圖1知，人教版和北師大版在習(xí)題情境類型的側(cè)重上有相似之處，其中，無情境和個(gè)人情境的習(xí)題數(shù)占總數(shù)的80%以上，而有關(guān)職業(yè)情境和社會(huì)情境的習(xí)題都不足10%，說明兩個(gè)版本對(duì)于“一次函數(shù)”情境都著重于學(xué)生日常生活經(jīng)驗(yàn)，忽視了學(xué)生未來生活發(fā)展的職業(yè)情境以及社會(huì)情境.

根據(jù)兩個(gè)版本情境類占比情況，得到圖2.可見人教版教材和北師大版教材習(xí)題設(shè)置的一致性.對(duì)人教版和北師大版問題情境各類型進(jìn)行橫向比較，發(fā)現(xiàn)兩版本情境類型分布在整體相似的基礎(chǔ)上，人教版無情境習(xí)題比個(gè)人情境習(xí)題多7.7%，相應(yīng)地，北師大版相差14%，說明北師大版更注重?zé)o情境習(xí)題設(shè)置.此外，人教版?zhèn)€人情境和科學(xué)情境較北師大版多，而北師大版在公共情境和職業(yè)情境上，設(shè)置比人教版更豐富.

3.2?數(shù)學(xué)問題情境水平比較結(jié)果

3.2.1?數(shù)學(xué)問題情境整體水平比較

根據(jù)三維特征分析模型，對(duì)兩版教材中的習(xí)題進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，每一個(gè)維度不同水平賦予不同分值，為確保習(xí)題在各水平劃分上的客觀性，統(tǒng)計(jì)前制定一個(gè)合理的評(píng)判規(guī)則，在統(tǒng)計(jì)過程中按照制定的評(píng)判規(guī)則，采用多人多次評(píng)分的方法，對(duì)有爭(zhēng)議的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行討論和意見整合，從而得到表5，即不同版本習(xí)題各維度在不同水平層次上的分布頻數(shù)，通過計(jì)算不同版本三個(gè)特征的均值，同時(shí)繪制折線圖，得到圖3.

由圖3可知，人教版和北師大版教材中“一次函數(shù)”習(xí)題問題情境總體水平有差異.總體來說，北師大版在各維度水平都高于人教版，且北師大版在三個(gè)維度上問題情境水平相差不多，而人教版在表征特征這一方面的值明顯低于其他兩個(gè)維度的值.

縱向來看，人教版教材中，其任務(wù)特征值（2.3692）和數(shù)學(xué)特征值（2.1692）較高，表征特征值最小;北師大版教材以任務(wù)特征值（2.5263）最突出，且在三個(gè)特征上表現(xiàn)水平基本持平.此外，人教版習(xí)題表征特征值較低，數(shù)學(xué)問題大多以純數(shù)字或是文字這樣的文本形式描述，描述形式不夠豐富，相比之下北師大版習(xí)題中有很多問題以圖文結(jié)合的形式表現(xiàn)出來.

3.2.2?數(shù)學(xué)問題情境各特征水平比較

（1）數(shù)學(xué)特征

從整體來看，兩版本有一定的相似之處，但存在細(xì)微差別，故對(duì)人教版和北師大版教材數(shù)學(xué)問題情境在各特征方面表現(xiàn)作進(jìn)一步分析，探究各維度的相同點(diǎn)與差異處.

由圖4可知，人教版和北師大版教材“一次函數(shù)”數(shù)學(xué)問題都主要以無運(yùn)算、一步運(yùn)算、兩步運(yùn)算居大多數(shù)，三步運(yùn)算以上的數(shù)學(xué)問題僅占了少部分;對(duì)比人教版和北師大版各比重分布，發(fā)現(xiàn)人教版中含三步以上運(yùn)算問題所占比例不及北師大高.

結(jié)合“一次函數(shù)”內(nèi)容分析，人教版和北師大版都以變量引入函數(shù)，而理解變量及變量間的關(guān)系是學(xué)習(xí)函數(shù)知識(shí)的關(guān)鍵，因此兩個(gè)版本在此節(jié)設(shè)置的都是無運(yùn)算的數(shù)學(xué)問題，基于“一次函數(shù)”中對(duì)概念的理解會(huì)涉及求函數(shù)解析式、求某個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)、解決實(shí)際應(yīng)用題等，兩版本在后續(xù)設(shè)置了不同運(yùn)算長(zhǎng)度的數(shù)學(xué)問題.

（2）表征特征

圖5是對(duì)兩個(gè)版本“一次函數(shù)”數(shù)學(xué)問題情境的表征方式做了對(duì)比分析，可以看出人教版以純數(shù)字或短語占據(jù)絕大多數(shù)，其次以故事情節(jié)展示問題，關(guān)于圖形表格或情節(jié)與圖表結(jié)合的習(xí)題數(shù)加起來還不到總數(shù)的一半;相比之下北師大版問題表征的形式豐富且各形式分布均勻.

通過分析可得，人教版教材設(shè)置“一次函數(shù)”習(xí)題時(shí)，多以純數(shù)字短語表現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，直接聚焦到要考查的知識(shí)點(diǎn)，學(xué)生可以迅速調(diào)動(dòng)已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，快速遷移解決問題，但圖形表格的表征方式運(yùn)用少.北師大版教材中多以描述性語言和圖形圖象結(jié)合的形式出現(xiàn)，在設(shè)置較多純數(shù)字短語和故事情節(jié)問題的基礎(chǔ)上也很好地滲入圖象表格，實(shí)現(xiàn)從純知識(shí)點(diǎn)考查到情節(jié)圖象結(jié)合的順利過渡.

（3）任務(wù)特征

對(duì)兩版本“一次函數(shù)”習(xí)題的任務(wù)特征水平進(jìn)行比較，得到圖6.兩版本以“概念性理解”和“問題解決”為主，但北師大版涉及“問題探究”的比重遠(yuǎn)高于人教版.

由此可以看出人教版和北師大版“一次函數(shù)”內(nèi)容在任務(wù)表征上有共同的突出重點(diǎn)，同時(shí)又各具特色.基于函數(shù)的抽象性，結(jié)合學(xué)生第一次接觸函數(shù)的認(rèn)知特點(diǎn)，兩版本都以“概念性理解”為重點(diǎn)任務(wù).人教版更注重基礎(chǔ)性學(xué)習(xí)，對(duì)于“問題探究”方面的任務(wù)涉及比重較低;北師大版顯然在任務(wù)難度高的水平之下合理設(shè)置了更多的數(shù)學(xué)問題.

4?進(jìn)一步分析

在統(tǒng)計(jì)人教版和北師大版關(guān)于“一次函數(shù)”章節(jié)習(xí)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)兩版教材有涉及共同情境的習(xí)題，但表征方式和習(xí)題要求不同，為此，選取其中一些案例，作進(jìn)一步的分析.

根據(jù)“小球滾動(dòng)”設(shè)置數(shù)學(xué)問題情境，北師大版以文字描述的形式（表征特征S2）要求學(xué)生寫出相應(yīng)的解析式并判斷函數(shù)類型（任務(wù)特征CU2）;而人教版以圖文結(jié)合方式表征（PE4），要求學(xué)生寫出解析式判斷類型的同時(shí)并簡(jiǎn)單運(yùn)用（任務(wù)特征PS3），人教版對(duì)此情境的刻畫和運(yùn)用更全面.此外，兩版本都設(shè)置“電話計(jì)費(fèi)”問題情境.以北師大版為例，如下：

北師大版“電話計(jì)費(fèi)”問題情境

3.某電信公司手機(jī)的A類收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：不管通話時(shí)間多長(zhǎng)，每部手機(jī)每月必須繳月租費(fèi)12元，另外，通話費(fèi)按0.2元/min計(jì).

（1）寫出每月應(yīng)繳費(fèi)用y（元）與通話時(shí)間x （min）之間的關(guān)系式;

（2）某手機(jī)用戶這個(gè)月通話時(shí)間為180min，他應(yīng)繳費(fèi)多少元？

（3）如果該手機(jī)用戶本月預(yù)繳了100元的話費(fèi)，那么該用戶本月可通話多長(zhǎng)時(shí)間？

4.某電信公司手機(jī)的B類收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：沒有月租費(fèi)，但通話費(fèi)按0.25元/min計(jì).按照此類收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，分別完成第3題中的各小題.

※5.根據(jù)上面第3， 4題中的條件，完成下列各題：

（1）若每月平均通話時(shí)間為300 min， 你選擇哪類收費(fèi)方式？

（2）每月通話多長(zhǎng)時(shí)間，按A， B兩類收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)繳費(fèi)，所繳話費(fèi)相等？

第3、4、5題屬同一個(gè)問題情境（表征特征S2），但任務(wù)要求不同，難度也逐步增加.第3、4題主要考查學(xué)生對(duì)一次函數(shù)和正比例函數(shù)概念的理解與運(yùn)用（PS3），5題是對(duì)知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用（PE4）.這三道題巧妙地利用“電話計(jì)費(fèi)”的情境，用不同梯度的問題，幫助學(xué)生完成單一的知識(shí)點(diǎn)到綜合運(yùn)用的過渡，而“電話計(jì)費(fèi)”問題情境來源于生活，學(xué)生易理解，所以被兩個(gè)版本教材所重視.類似地，如“某地氣溫變化”“追及相遇問題”“水池蓄水”等都秉持由簡(jiǎn)入深的原則，很好地將知識(shí)點(diǎn)與實(shí)際生活結(jié)合起來.

關(guān)于“一次函數(shù)”習(xí)題，兩個(gè)版本都有各具特色的問題情境可供借鑒.如人教版中“活期儲(chǔ)蓄”及“運(yùn)輸肥料”屬于職業(yè)情境;北師大版利用“農(nóng)作物產(chǎn)量”“植物生長(zhǎng)”“溫度換算問題”等很好地將數(shù)學(xué)與科學(xué)知識(shí)結(jié)合起來，學(xué)生可以體會(huì)到數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值與應(yīng)用價(jià)值.此外，北師大版中還有一道題的情境為“小明繞赤道環(huán)行”，此情境與地理知識(shí)結(jié)合起來，要求學(xué)生閱讀理解能力與綜合運(yùn)用能力，是很好的嘗試.

5?啟示

5.1?豐富情境類型，促進(jìn)多元發(fā)展

數(shù)學(xué)是一門抽象的科學(xué)，數(shù)學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)可以讓數(shù)學(xué)知識(shí)具體化、形象化.習(xí)題情境類型的多樣化，能促進(jìn)發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，尤其是數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，創(chuàng)設(shè)不同類型問題情境，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力.設(shè)置多種類型的習(xí)題問題情境，既要注重知識(shí)與實(shí)際生活的聯(lián)系，又應(yīng)關(guān)注學(xué)科間的橫向關(guān)聯(lián).學(xué)生在學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)也體會(huì)到數(shù)學(xué)與個(gè)人生活，未來發(fā)展，甚至社會(huì)發(fā)展之間的緊密聯(lián)系.

5.2?圖文表征問題，發(fā)展數(shù)形結(jié)合

表征數(shù)學(xué)問題的方式多種多樣，要根據(jù)具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容來選擇恰當(dāng)?shù)谋碚鞣绞?“一次函數(shù)”處于初步培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力階段，因此，更應(yīng)貫徹具體與抽象相結(jié)合的原則，多用直觀辯證的方式，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念.“ 數(shù)缺形時(shí)少直觀”，利用幾何圖形描述問題，借助幾何直觀理解抽象的算理，這是解決數(shù)學(xué)問題的有效手段之一.人教版?zhèn)戎財(cái)⑹鲂缘奈淖置枋?，較少用直觀的圖象或表格來表征問題，因此，應(yīng)增加圖象或表格設(shè)置數(shù)學(xué)問題情境，在習(xí)題中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想.北師大版較多地用到圖象表征，可在此基礎(chǔ)上加強(qiáng)圖文間的相關(guān)性，充分發(fā)揮習(xí)題作用.

5.3?借鑒經(jīng)典案例，學(xué)科相互交融

經(jīng)典案例是知識(shí)點(diǎn)良好的載體，從不同角度設(shè)置問題，挖掘數(shù)學(xué)問題情境的價(jià)值.好的問題不僅可以快速引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，調(diào)動(dòng)學(xué)生已有知識(shí)體系，還能使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系，由縱向思考拓展到橫向?qū)W科間的思考.例如北師大版中以其他學(xué)科知識(shí)作為問題背景，創(chuàng)設(shè)問題情境，這會(huì)讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)不是獨(dú)立的一門學(xué)科，而是與其他學(xué)科相聯(lián)系的.數(shù)學(xué)問題情境不僅應(yīng)考慮個(gè)人發(fā)展，還應(yīng)體現(xiàn)出數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系.

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作者簡(jiǎn)介?張丹亭（1999—），女，甘肅天水人，碩士研究生，研究方向：數(shù)學(xué)教學(xué)論.