一節(jié)體現(xiàn)數(shù)學(xué)聯(lián)系與歷史的教學(xué)課例：勾股數(shù)的生成公式

趙千惠 張維忠

【摘?要】基于充分發(fā)揮數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教育中的重要作用，挖掘勾股數(shù)與斐波那契數(shù)列之間的密切關(guān)聯(lián)，設(shè)計了一節(jié)以勾股數(shù)的生成公式為主題的教學(xué)課例，展示了學(xué)生多角度處理同一數(shù)學(xué)問題的直觀體驗.

【關(guān)鍵詞】勾股數(shù);教學(xué)課例;數(shù)學(xué)史;數(shù)學(xué)聯(lián)系

勾股定理是一條古老的數(shù)學(xué)定理，不論什么國家、什么民族，只要是具有自發(fā)的（不是外來的）古老文化，他們都會說：我們首先認(rèn)識的數(shù)學(xué)定理就是勾股定理[1].而勾股數(shù)作為勾股定理的子概念，不僅具有重要的應(yīng)用價值，而且其所蘊含的數(shù)學(xué)思想方法更有教育價值，因此備受關(guān)注.譬如，以勾股數(shù)為載體的中考題時有所見：

（2017年宜昌第20題）閱讀：能夠成為直角三角形三邊長的三個正整數(shù)a，b，c稱為勾股數(shù).世界上第一次給出勾股數(shù)通解公式的是我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》，其中的勾股數(shù)公式為：

其中m>n>0，m，n是互質(zhì)的奇數(shù).

應(yīng)用：當(dāng)n=1時，求有一邊長為5的直角三角形的另外兩條邊的長.

此外，2005年山西臨汾、2004年福建三明等其他地區(qū)中考題中也均出現(xiàn)了該主題內(nèi)容，以探求勾股數(shù)的相關(guān)規(guī)律及凸顯其實用性.

可見，在初中階段學(xué)完勾股定理及其逆定理的相關(guān)內(nèi)容后，給學(xué)生拓展《勾股數(shù)的生成公式》一課，重新經(jīng)歷歷史上人們的探索過程，從而體會求勾股數(shù)的數(shù)學(xué)思想方法，感受勾股數(shù)所蘊涵的數(shù)學(xué)精神和價值就顯得十分必要[2].同時，教師在處理教學(xué)內(nèi)容時，應(yīng)深入挖掘與其它數(shù)學(xué)知識的關(guān)聯(lián)，并在教學(xué)中通過適當(dāng)?shù)姆绞匠尸F(xiàn)出來，讓學(xué)生感到數(shù)學(xué)是有趣的，好玩的，美妙的[3].基于此，本文給出一節(jié)筆者設(shè)計的數(shù)學(xué)教學(xué)課例，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教育中的重要作用，同時為學(xué)生提供一次感受數(shù)學(xué)知識之間密切聯(lián)系的機會.

1?課例：勾股數(shù)的生成公式

1.1?提出問題，探索勾股數(shù)的生成公式

師：我們已經(jīng)學(xué)過了勾股定理及其逆定理，把滿足a2+b2=c2的三個正整數(shù)a，b，c稱為勾股數(shù)，在西方則叫做畢達哥拉斯三元數(shù)組.從古巴比倫的數(shù)學(xué)泥板見證了人類歷史上最早有關(guān)勾股數(shù)的研究開始，再到我國數(shù)學(xué)文獻《周髀算經(jīng)》中記載的“勾廣三，股修四，徑隅五”，無不彰顯了勾股數(shù)在人類探索自然的悠悠歷史長河中扮演著的重要角色及古人們閃爍的智慧光芒.那么，古代數(shù)學(xué)家們究竟是如何得到這一組組神奇的勾股數(shù)的呢？為了寫出更多的勾股數(shù)，能否找到勾股數(shù)的生成公式？今天我們就來探究這個問題.

生1：我認(rèn)為可以采用歸納推理的方法，由特殊到一般，即先列舉出幾組我們已知的勾股數(shù)，發(fā)現(xiàn)它們之間的規(guī)律，再進一步總結(jié)出一般規(guī)律.

生2：勾股數(shù)必然是和勾股定理密切相關(guān)的，而有關(guān)勾股定理最重要的一個公式就是a2+b2=c2，所以可以從這個已知的公式入手.

生3：勾股數(shù)肯定要涉及到平方的運算，我想到我們已經(jīng)學(xué)過了乘法公式，而這些式子里面就都包含了很多數(shù)或式的平方，可以此為突破口，對乘法公式進行整合，看看是否能構(gòu)造出a2+b2=c2的形式.

……

師：這些思路都非常棒！請大家先自行思考再和組員交流，說說你們的發(fā)現(xiàn).

1.2?小組匯報，古代數(shù)學(xué)家再現(xiàn)課堂

生1（組1）：首先例舉出幾組已知的勾股數(shù)并把a，b，c三個數(shù)按從小到大的順序排列，然后把它們進行有規(guī)律的分類.可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)a為奇數(shù)時，c-b=1，如3，4，5;5，12，13;7，24，25等;當(dāng)a為偶數(shù)時，c-b=2，如6，8，10;8，15，17;12，35，37等.對于這兩種情況，分別和等式a2+b2=c2聯(lián)立，可以得到求勾股數(shù)的兩個公式：

（1）當(dāng)a為奇數(shù)時，a，a2-12，a2+12是一組勾股數(shù);

（2）當(dāng)a為偶數(shù)時，a，a24-1，a24+1是一組勾股數(shù).

生4（組1）：除此之外，我們在討論的過程中還發(fā)現(xiàn)了其他三條有關(guān)勾股數(shù)的小規(guī)律：

（1）已知a，b，c是一組勾股數(shù)，則ka，kb，kc也是一組勾股數(shù);

（2）a，b，c不能全是奇數(shù);

（3）在a，b，c中，只有一個數(shù)是偶數(shù)或者三個數(shù)都是偶數(shù).

師：組1同學(xué)所推導(dǎo)出來的公式和古希臘數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家畢達哥拉斯的結(jié)論不謀而合！當(dāng)然，畢達哥拉斯只是給出了a為奇數(shù)時勾股數(shù)的生成公式，而同學(xué)們還充分考慮了a為偶數(shù)的情況，讓我們?yōu)榻M1的這些小小畢達哥拉斯們鼓掌！

師：今天可真是一場數(shù)學(xué)家歡聚一堂的盛宴呀！生2所述公式和古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得給出的公式一致，只是后者進一步限定了m，n的取值范圍（m，n都是奇數(shù)或都是偶數(shù)，且mn是完全平方）.而生5則站在不同的視角，還原了我國魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽求勾股數(shù)的推導(dǎo)過程.值得一提的是，組2同學(xué)所給出的兩種方法均是基于②式展開的，誰能說說②式的幾何意義是什么？

生6：②式是①式的變形，所以我認(rèn)為兩個式子的幾何意義是一樣的，都是直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.

師：的確，①式變形得到②式，但這僅僅只能說明二者的代數(shù)運算結(jié)果是保持一致的，它們的幾何意義必然有所不同.我國古代數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》所作勾股圓方圖注中除了勾股定理這一命題外，還有與直角三角形有關(guān)的其他命題及其證明，這四條命題在《九章算術(shù)》勾股章及劉徽注文中也有所反映[4].其中前兩條命題就明確地闡述了②式的幾何意義（圖1），即通過割補法，得到股實之矩的面積b2=c2-a2=（c-a）（c+a）.

師：這就是歷史上古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖給出的求勾股數(shù)的公式.但是，不難發(fā)現(xiàn)這個公式和劉徽所導(dǎo)出的公式（生5所述）一樣，沒有辦法給出諸如9，12，15;15，36，39等勾股數(shù).所以后來人們把這組公式推到了更為一般的形式，使其能表示出所有的勾股數(shù)，即2mnr，（m2-n2）r，（m2+n2）r，其中r∈Z.需要說明的是，在運用推廣后的公式求勾股數(shù)時，它的缺點是容易遺漏和重復(fù)勾股數(shù).那么，現(xiàn)在請大家重新審視畢達哥拉斯（生1所述）和歐幾里得（生2所述）給出的公式，你有何發(fā)現(xiàn)？

生7：雖然這兩種方法確實能夠生成勾股數(shù)，但均存在一定缺陷，會發(fā)生重解、漏解的情況.如根據(jù)生1給出的a為偶數(shù)情況下的公式，可以算出32，255，257這組勾股數(shù)，但是沒法算出32，60，68這組勾股數(shù).再如，在歐幾里得給出的公式中，取m=9，n=1或m=8，n=2時，所得勾股數(shù)均為3，4，5;取m=18，n=2或m=16，n=4時，所得勾股數(shù)均為6，8，10，存在重解的情況.

師：因此，為了不重復(fù)、不遺漏地得到勾股數(shù)且易于操作，給大家介紹一種清代算學(xué)家沈立民所創(chuàng)造的求勾股數(shù)公式的方法.將a=3，b=4，c=5作為第一組勾股數(shù)代入以下公式：

從而得到三組新的勾股數(shù)，再將三組新的勾股數(shù)代入上述公式，又得到另外九組勾股數(shù)，以此類推.其特點是繼承了中國傳統(tǒng)算法，通過反復(fù)迭代而得到一定數(shù)區(qū)間內(nèi)的所有勾股數(shù)，具有程序化特點[2].

1.3?開闊視野，介紹斐波那契數(shù)列

師：可見，勾股數(shù)的生成公式一直以來都備受廣大數(shù)學(xué)研究者的關(guān)注，人們從未停止過對其的探索步伐.那么，是否還有其它生成勾股數(shù)的方式呢？接下來，老師就帶領(lǐng)著大家一起打開數(shù)學(xué)天窗，站在一個全新的視角，繼續(xù)探索更多有關(guān)勾股數(shù)的奧秘！

（教師在此部分為學(xué)生拓展有關(guān)斐波那契數(shù)列的相關(guān)背景及基本知識，具體素材在文[1]150-154中有詳細介紹，此處不再贅述）

1.4?建立聯(lián)系，實現(xiàn)二者的完美邂逅

師：想必大家對斐波那契數(shù)列這串神奇的數(shù)字密碼已不再陌生，現(xiàn)在請回到今天的課堂主題中來，你能否利用斐波那契數(shù)列推導(dǎo)出勾股數(shù)的生成公式，實現(xiàn)二者的完美邂逅呢？

生8：因為勾股數(shù)必然會涉及到數(shù)的平方，所以我把斐波那契數(shù)列中的每個數(shù)依次平方后得到一串新的數(shù)字1，1，4，9，25，64，169，441，1156，3025，…我嘗試著把前后兩個數(shù)字相加，但并未如愿得到一組勾股數(shù).不過，我對比了平方前后的兩個數(shù)列發(fā)現(xiàn)，后者任意相鄰的數(shù)字相加后的結(jié)果都屬于前者，如22+32=4+9=13，而13正是斐波那契數(shù)列的第7項.

師：這可真是個了不起的發(fā)現(xiàn)！給大家劇透一下，其實在接下來的探究過程中，就會出現(xiàn)生8發(fā)現(xiàn)的這個小規(guī)律.這位同學(xué)的思路非常好，只是暫時遇到了一點困難而已.老師給大家一點小小的提示，正如生8所說，推導(dǎo)過程中必然會涉及到數(shù)字的平方，大家可以選取斐波那契數(shù)列中任意連續(xù)的四個數(shù)進行研究，看看有何發(fā)現(xiàn)？（用Fn，F(xiàn)n+1，F(xiàn)n+2，F(xiàn)n+3分別表示連續(xù)四個數(shù)中的第一至第四個數(shù)）

師：是否有同學(xué)可以證明生9所給出公式的正確性？

師：從這個證明中也可以發(fā)現(xiàn)，x，y的取值是任意的，也就是說這個性質(zhì)對滿足“從第三項開始，每一項都等于前兩項之和”的任何數(shù)列都是成立的（前兩項不一定要為1，1）.還有其他發(fā)現(xiàn)嗎？

生11：按照生9的方式構(gòu)造出兩條直角邊a，b后，根據(jù)勾股定理算出c的值，可以發(fā)現(xiàn)c其實就是斐波那契數(shù)列中的一個數(shù).采用列表法能清晰地發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律（表1）[5].

1.5?教師總結(jié)，點明數(shù)學(xué)聯(lián)系和歷史的價值

在今天的探究過程中，同學(xué)們都進行了積極且深入的思考，表現(xiàn)非常出色！我們一起邂逅了畢達哥拉斯、歐幾里得、劉徽、趙爽、丟番圖、沈立民等中外古代偉大的數(shù)學(xué)家，站在他們的視角，像他們一樣思考，深刻感知到了數(shù)學(xué)世界的豐富性和探索歷程的艱難度.當(dāng)然，數(shù)學(xué)家在歷史上作出的判斷及給出的公式也并不是百分之百毫無缺陷的，需要不斷地修改與完善，這也就是數(shù)學(xué)家堅韌精神的最好詮釋，同時也是數(shù)學(xué)研究永不止步的動力所在.此外，同學(xué)們也需要將腦海里存留的知識關(guān)聯(lián)起來，發(fā)揮知識的最大效用.正如今天所學(xué)的斐波那契數(shù)列和勾股數(shù)之間的關(guān)聯(lián)一樣，表面看似不相關(guān)的內(nèi)容，實則在碰撞時能夠迸發(fā)出巨大的能量，發(fā)現(xiàn)令人意想不到的數(shù)學(xué)規(guī)律.

2?課例簡析

我國現(xiàn)行的初中教材并沒有把勾股數(shù)的生成公式作為一節(jié)單獨的課時內(nèi)容，但是其中蘊含了豐富的數(shù)學(xué)史教學(xué)資源及思維培養(yǎng)的素材，加之各地中考題頻頻出現(xiàn)相關(guān)內(nèi)容，足以引起重視.教師可以通過開展拓展課程或者研究性學(xué)習(xí)活動的方式，給予學(xué)生一次在充滿數(shù)學(xué)史內(nèi)容及數(shù)學(xué)知識聯(lián)系的課堂中體驗數(shù)學(xué)價值的機會，實現(xiàn)教學(xué)創(chuàng)新.

2.1?挖掘數(shù)學(xué)史的教育價值，凸顯數(shù)學(xué)的多元文化意義

關(guān)于勾股數(shù)生成公式的教學(xué)，上述課例充分挖掘了數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教育中的價值.在課堂中，以適當(dāng)?shù)男问揭肴舾煞N勾股數(shù)生成公式的推導(dǎo)方法，通過對比不同時空的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生全方位的認(rèn)知能力和思考彈性[7].同時，樹立學(xué)生的課堂主人翁意識，給予其充分的探究和發(fā)現(xiàn)的機會，引導(dǎo)學(xué)生像數(shù)學(xué)家一樣去思考，重演歷史上的推導(dǎo)過程，增強數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成就感，讓學(xué)生明白現(xiàn)有的簡潔、明了、美觀的數(shù)學(xué)公式并不是天上掉下來的餡餅，這其中飽含著前人艱辛的付出與努力.此外，這節(jié)教學(xué)課例涉及到了中外古代數(shù)學(xué)家們的豐富研究成果，隱含了多元文化背景下的數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的橫向比較.運用數(shù)學(xué)史進行教學(xué)并不能一味地追求所謂的民族自豪感，而應(yīng)更側(cè)重于讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識的來龍去脈，學(xué)會去欣賞其他文化的閃光點，了解數(shù)學(xué)的多元文化意義.

2.2?注重數(shù)學(xué)知識間的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生多角度處理問題

上述課例還有一個創(chuàng)新之處在于，注重數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，拓寬了學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，站在與眾不同的視角看待勾股數(shù)的生成問題.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》也在教學(xué)建議部分明確指出，“數(shù)學(xué)知識的教學(xué)，應(yīng)注重學(xué)生對所學(xué)知識的理解，體會數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)聯(lián)”“引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性，體會對于某些數(shù)學(xué)知識可以從不同的角度加以分析、從不同的層次進行理解.”[8]本課例為學(xué)生拓展了斐波那契數(shù)列的相關(guān)知識并用其生成勾股數(shù)，將頭腦中零星分散的數(shù)學(xué)知識聚合在一起，有助于學(xué)生發(fā)散思維的形成.教師在實施教學(xué)的過程中，需基于知識的延伸點和學(xué)生的生長點，充分挖掘知識間的有機聯(lián)系并加以適當(dāng)整合、拓展，為學(xué)生搭建一個自由探索的平臺，使其在建立數(shù)學(xué)聯(lián)系時擁有良好的體驗感和滿足感.

參考文獻

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作者簡介?趙千惠（1997—），女，浙江余姚人，碩士研究生.主要研究方向：數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論.

張維忠（1964—），男，甘肅天水人，教授.主要研究方向：數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論.