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    從“數(shù)”與“差”的錯題中體驗概念教學

    2021-12-08 15:28:55萬濤
    中學數(shù)學雜志(初中版) 2021年5期
    關(guān)鍵詞:中位數(shù)體驗方差

    【摘?要】概念是客觀事物的本質(zhì)屬性在人頭腦中的反映,是人腦對現(xiàn)實對象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征的一種反映形式,數(shù)學概念是學生深入學習數(shù)學知識的基礎(chǔ),是計算和解決問題的重要依據(jù),正確理解并靈活運用數(shù)學概念,是掌握數(shù)學基礎(chǔ)知識和運算技能、發(fā)展邏輯思維能力和空間想象能力的前提,是發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)的重要保障.

    【關(guān)鍵詞】中位數(shù);眾數(shù);方差;體驗;概念

    李邦河院士說:“根據(jù)我上大學以后搞數(shù)學研究的經(jīng)驗,數(shù)學根本上是玩概念,不是玩技巧,技巧不足道也!”我們要判斷一件事情是什么或者不是什么,要判斷一道題的結(jié)果正確與否,最基本的方法就是“用定義來判斷”.章建躍博士也提出:“‘理解數(shù)學是當好數(shù)學教師的前提.在數(shù)學教師的知識結(jié)構(gòu)中,第一要素是‘數(shù)學素養(yǎng),其主要內(nèi)涵是:了解數(shù)學知識的背景,準確把握數(shù)學概念、定理、法則、公式等的邏輯意義.”可以說“依定義行事”“從定義出發(fā)研究問題”是數(shù)學理性精神的重要體現(xiàn).

    1?知識背景分析

    教師在進行“數(shù)據(jù)的集中趨勢和波動程度”的有關(guān)概念教學時,通常用統(tǒng)計圖和統(tǒng)計表整理和描述數(shù)據(jù),為了進一步獲取信息,還需要對數(shù)據(jù)進行分析.采用平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)(簡稱“數(shù)”)刻畫數(shù)據(jù)的集中趨勢,采用極差、方差、平均差或標準差(簡稱“差”)等來分析數(shù)據(jù)的波動程度.其中,平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)是描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢的三個統(tǒng)計量,平均數(shù)的計算要用到所有的數(shù)據(jù),它能夠充分利用數(shù)據(jù)提供的信息,但它受極端值的影響較大;中位數(shù)是反映一組數(shù)據(jù)集中趨勢的位置的代表值,表示一組數(shù)據(jù)排序后,位于最中間的統(tǒng)計量;當一組數(shù)據(jù)中某些數(shù)據(jù)多次重復(fù)出現(xiàn)時,眾數(shù)是值得關(guān)注的一個統(tǒng)計量,它是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù);而極差反映了一組數(shù)據(jù)的變化范圍,在一定程度上描述了這組數(shù)據(jù)的離散程度;方差則較為精確地反映一組數(shù)據(jù)的離散程度,是一個被廣泛用來描述數(shù)據(jù)離散程度的量.

    《義務(wù)教育數(shù)學課程標準》(2011年版)(以下簡稱“課標”)[1]中指出:“教學中讓學生經(jīng)歷收集、整理、描述和分析數(shù)據(jù)的活動,了解數(shù)據(jù)處理的過程.”“理解平均數(shù)的意義,能計算中位數(shù)、眾數(shù),加權(quán)平均數(shù),了解它們是數(shù)據(jù)集中趨勢的描述.體會刻畫數(shù)據(jù)離散程度的意義,會計算簡單數(shù)據(jù)的方差.”

    近期,學校在進行中考復(fù)習時,一些基礎(chǔ)薄弱的學生對“統(tǒng)計和概率”中“數(shù)”與“差”的概念理解出現(xiàn)了錯誤,筆者通過對這些錯題的分析和體驗教學指導(dǎo),和一線教師探討交流概念教學,目的是通過概念教學使得學生經(jīng)歷概念的形成過程,深入理解并內(nèi)化概念,使得一線教師能提高概念教學的有效性,最終提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

    2?典型錯題分析

    2.1?對“眾數(shù)”的概念理解錯誤

    例1?某校九年級(1)班40名同學的數(shù)學期末考試成績統(tǒng)計表如下:

    下列結(jié)論:①成績的中位數(shù)在80≤x<90;②成績的眾數(shù)在80≤x<90;③成績的平均數(shù)

    可能為70;④成績的極差可能為40.其中所有正確結(jié)論的序號是.

    分析?一些學生的答案是①②④,而正確答案是①④,為什么會有學生認為②也是對的,筆者對這些學生進行了解,很多學生的想法是,眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的,這40名同學的數(shù)學期末考試成績在80≤x<90出現(xiàn)的人數(shù)最多,是16人,所以成績的眾數(shù)在80≤x<90.

    學生對眾數(shù)的概念理解為成績在80≤x<90這個范圍內(nèi)出現(xiàn)的人數(shù)多就認為眾數(shù)在80≤x<90.而教材中眾數(shù)的概念是:一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).概念中強調(diào)的是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù),而不是在某個范圍內(nèi)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)最多.

    體驗?知道學生出錯的原因后,筆者對這些學生進行了體驗式指導(dǎo),讓學生把這40個數(shù)據(jù)一一列舉出來,特別地,把在70≤x<80分的14人的成績都寫成75分,把在80≤x<90分的16人的成績寫成不同的數(shù)據(jù),比如:80,80.5,81,81.5,82,82.5,83,83.5,84,84.5,85,85.5,86,86.5,87,87.5,學生還沒寫完,就恍然大悟,“哦!原來眾數(shù)指的是某個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)最多,而不是某個范圍內(nèi)的數(shù)最多.”

    2.2?對“中位數(shù)”的概念理解錯誤

    例2?一組數(shù)據(jù)6,8,10,x的中位數(shù)與平均數(shù)相等,求x的值.

    分析?一些學生的答案是12,而正確答案是4或8或12,為什么這些學生只得到一個答案,筆者繼續(xù)尋找原因,發(fā)現(xiàn)很多學生認為數(shù)據(jù)6,8,10,x是一組按照從小到大排好順序的數(shù)據(jù),還有的學生忘記了中位數(shù)要排序,只想到找中間兩個數(shù)8和10的平均數(shù)作為中位數(shù),對中位數(shù)的概念理解出現(xiàn)了錯誤.教材中中位數(shù)的概念是:將一組數(shù)據(jù)按大小順序排列,如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù),那么處于中間位置的數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù);如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù),那么處于中間位置的兩個數(shù)的平均數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).因此,找中位數(shù)的前提是先將一組數(shù)據(jù)按從大到小或者從小到大的順序排列.

    學生經(jīng)過推理發(fā)現(xiàn):一組數(shù)據(jù)如果都增加3,則平均數(shù)也增加3,但方差不變.一組數(shù)據(jù)如果擴大3倍,則平均數(shù)也擴大3倍,但方差擴大9倍.

    進一步思考:如果把一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)都增加c,平均數(shù)和方差如何變化?如果把一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)都擴大c倍(c>0),那么平均數(shù)和方差又如何變化?

    學生通過推理得出方差具有如下特點:如果一組數(shù)據(jù)都增加c,平均數(shù)也增加c,方差不變.如果一組數(shù)據(jù)都擴大c倍(c>0),平均數(shù)也擴大c倍,方差則為原方差的c2倍.

    3?概念教學反思

    概念教學是數(shù)學教學的核心,在實際教學中,教師壓縮概念教學時間的現(xiàn)象很常見,這使得學生對概念本質(zhì)的理解產(chǎn)生了影響,因為概念是濃縮的精華,是以不變應(yīng)萬變的法寶,所以教師要引領(lǐng)學生回歸概念,重視概念的獲得過程,讓概念教學落地生根[2].

    3.1?初步感知概念,激發(fā)學習欲望

    對于概念教學,教師要從學生已有的認知出發(fā),課前先清楚了解學生已經(jīng)具備哪些知識和生活經(jīng)驗,充分了解學情,然后通過課堂教學設(shè)計,喚醒學生已有的知識和生活經(jīng)驗,讓學生自然地去感知概念并接受概念.

    教師在教“眾數(shù)和中位數(shù)”之前,可以先進行調(diào)查:“你聽說過眾數(shù)和中位數(shù)嗎?”如果學生對概念不能清晰去表達,可以接著問:“你能從生活中舉例進行說明嗎?”學生的初步感知就是眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù),中位數(shù)是中間位置的數(shù).當然,學生在課前對概念的理解不準確是很正常的,只有了解實際的學情,教師才會有重點、有目的、有針對性地去設(shè)計教學,使學生理解概念并且掌握地更加清晰.

    在教學引入時,可展示某一次考試,班級10個學生的數(shù)學成績,分別為:81,86,86,87,89,86,91,92,92,92.問學生:你知道眾數(shù)和中位數(shù)是多少嗎?對于眾數(shù),學生會發(fā)現(xiàn)86出現(xiàn)了3次,92也出現(xiàn)了3次,眾數(shù)可以是兩個嗎?學生會覺得不確定;對于中位數(shù),按照學生的理解,找中間一個數(shù),這10個數(shù)的中間一個數(shù)是多少呢?是89,還是86呢?學生也會很猶豫.原因是學生目前還不清楚眾數(shù)和中位數(shù)的概念是什么?對概念的認知還不清楚,這充分說明了學習眾數(shù)和中位數(shù)概念的必要性.學生產(chǎn)生了困惑,迫切想學習新知,從而激發(fā)學生對學習眾數(shù)和中位數(shù)的強烈欲望,這樣的喚醒是自覺的,也是學生運用經(jīng)驗感知概念的一種理性思考.

    3.2?合理設(shè)問,經(jīng)歷概念的形成過程[3]

    在“統(tǒng)計與概率”的概念課教學中,教師覺得內(nèi)容很簡單,往往把重點放在學生的技能訓(xùn)練上,忽視探究知識的過程,在一定程度上抑制了學生思維能力的發(fā)展,這樣學生就沒有經(jīng)歷概念形成的具體過程.該如何讓學生經(jīng)歷概念的形成過程呢?首先,需要建立在學生的認知基礎(chǔ)上;其次,概念是由學生經(jīng)歷概念的形成過程后,對概念逐漸清晰后總結(jié)出來的,不是老師告訴的.

    對于上面班級10個學生的數(shù)學成績,分別為:81,86,86,87,89,86,91,92,92,92.教師可以問學生:“你覺得眾數(shù)是什么?”學生會回答:“眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù),”繼續(xù)追問:“那么,這組數(shù)據(jù)中哪個數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)最多?”學生會回答:“86和92出現(xiàn)的次數(shù)最多,都出現(xiàn)3次.”按照這個學生的理解,眾數(shù)應(yīng)該是86和92這兩個數(shù).所以,學生經(jīng)歷這個思考過程,可總結(jié)出眾數(shù)的概念:一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).需要提醒的是眾數(shù)可以不是一個數(shù),當有兩個數(shù)據(jù)出現(xiàn)次數(shù)最多時,這兩個數(shù)據(jù)都是眾數(shù).

    那么,中位數(shù)呢?是中間一個數(shù)據(jù)嗎?學生不太敢回答,因為對中位數(shù)的概念不清楚,但也會有學生認為是“89和86”,因為這兩個數(shù)在中間,那么如果將這10個數(shù)的位置進行調(diào)整呢?變成89,81,86,86,87,91,92,92,92,86.按照剛才這位學生的理解,那么中位數(shù)豈不是變成了“87和91”,這顯然是不可取的.一方面,一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)隨位置的變化而不同,另一方面,中位數(shù)反映數(shù)據(jù)的集中趨勢,如果這樣,中位數(shù)就不能反映一組數(shù)據(jù)的集中趨勢了.該如何定義中位數(shù)呢?以此引發(fā)學生對中位數(shù)概念的思考,學生會發(fā)現(xiàn)中位數(shù)和一組數(shù)據(jù)的位置有關(guān),要想使得中位數(shù)反映數(shù)據(jù)集中趨勢,應(yīng)該將中位數(shù)先進行排序,然后找中間的那個數(shù),將上面10個數(shù)排好順序為:81,86,86,86,87,89,91,92,92,92.那么中間的兩個數(shù)為“87和89”,并且是鄰近的兩個數(shù),為了更好地反映數(shù)據(jù)集中趨勢,排序后,當數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù),處于中間位置的數(shù)據(jù)的平均數(shù)為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù);當數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù),處于中間位置的數(shù)據(jù)為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).也說明這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)只能是一個數(shù),這是有別于眾數(shù)的,讓學生經(jīng)歷概念的形成過程.

    3.3?典例剖析,深入理解概念的內(nèi)涵

    為了加深學生對眾數(shù)的理解,可以設(shè)計這樣的典型例子:

    這是某一次考試,另外一個班級10個學生的數(shù)學成績表,你知道這10個學生數(shù)學成績的眾數(shù)在哪嗎?有些學生會不假思索地回答:“眾數(shù)在80≤x<90”,也會產(chǎn)生反對的聲音:“通過觀察,前面一個班10個學生的成績,成績在80≤x<90也有6人,90≤x<100也有4人,但眾數(shù)是86和92這兩個數(shù),其中92就不在80≤x<90”,引發(fā)學生對眾數(shù)的概念再次進行深度思考:眾數(shù)概念中強調(diào)的是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù),而不是在某個范圍內(nèi)出現(xiàn)的人數(shù)最多.

    對于中位數(shù),可以這樣設(shè)計典型題目,加深學生對中位數(shù)的理解,如圖,為了解九年級女生體質(zhì)健康的變化情況,老師從九年級全體200名女生中隨機抽取20名女生進行體質(zhì)測試,并對成績進行整理、描述和分析,下面給出了部分信息.

    這20名女生體質(zhì)測試成績(百分制)的頻數(shù)分布直方圖如下(數(shù)據(jù)分組:60≤x<70,70≤x<80,80≤x<90,90≤x≤100):

    其中,成績在80≤x<90的是:80,81,85,85,85,86,88.

    那么,這些參加體質(zhì)測試的女生成績的中位數(shù)是多少?部分學生會誤認為是85,可見,這些學生找的是80≤x<90這7位女生的成績的中位數(shù),并不是抽取的20名女生體質(zhì)測試成績的中位數(shù),要找這20名女生體質(zhì)測試成績的中位數(shù),應(yīng)該排序后,找第10個和第11個數(shù)據(jù)的中位數(shù).題中成績在60≤x<70的有3個學生,70≤x<80的有6個學生,那么,第10個和第11個數(shù)據(jù)應(yīng)該從80≤x<90中來找,第10個和第11個數(shù)據(jù)分別為80和81,中位數(shù)是取其平均數(shù),應(yīng)該是80.5.

    學生在解決數(shù)學問題時出現(xiàn)錯誤,主要原因是對概念的理解出現(xiàn)偏差,數(shù)學教學中,教師可把有細微差別的內(nèi)容安排在一起進行辨析教學,讓學生從錯誤中反省,從中感知概念的內(nèi)涵,達到深度理解概念的目的.

    3.4?了解概念產(chǎn)生的必要性,發(fā)展核心素養(yǎng)

    數(shù)學的很多概念之間有著密切的聯(lián)系,每一個新概念的產(chǎn)生都是舊概念的延續(xù),教師在教學時,應(yīng)該有意識地引導(dǎo)學生去探索新舊概念之間的聯(lián)系,這樣不僅能促進學生對新概念的理解,又能在相互聯(lián)系的概念中進行比較,厘清知識之間的區(qū)別和聯(lián)系.例如:在學習方差時,方差是如何產(chǎn)生的?方差和平均數(shù)有什么關(guān)系?方差是不是越小就越好呢?需要把這些問題思考清楚.

    教學時,可以借助于教材中的情境,兵乓球的標準直徑是40mm.質(zhì)檢部門隨機抽取了A和B廠生產(chǎn)的10只乒乓球,對其直徑進行檢測,結(jié)果如下(單位:mm).

    分析表格發(fā)現(xiàn),A和B兩廠生產(chǎn)的10只乒乓球的平均數(shù)都是40mm,極差都是0.4mm,僅用平均數(shù)和極差就無法比較了,究竟哪家生產(chǎn)的乒乓球更接近標準直徑?怎樣更精確地比較這兩組數(shù)據(jù)的離散程度呢?

    學生會找每個數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差,求所有差值的和.但這樣會出現(xiàn)正負抵消的情況,如何避免抵消,可以把這些差值取絕對值后,再相加.但如果這兩組數(shù)據(jù)選取的個數(shù)不一樣呢?學生會想到求其平均數(shù),這其實就是平均差.由于平均差得到的結(jié)果很接近,相差不大,為了更清楚地反應(yīng)數(shù)據(jù)的離散程度,我們把每一個數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差進行平方,然后求其平均數(shù),方差是經(jīng)歷這樣的過程才產(chǎn)生的[4],通過方差就能很好地解決這個問題.

    3.5?內(nèi)化概念,提升對概念的認知

    學生通過對方差概念的理解,已經(jīng)知道方差是反映數(shù)據(jù)波動程度的量,一組數(shù)據(jù)的方差越大,這組數(shù)據(jù)的離散程度越大,波動就越大;反之,一組數(shù)據(jù)的方差越小,這組數(shù)據(jù)的離散程度越小,波動就越小.顯然,僅知道這些是不夠的,還需要對方差的概念進行內(nèi)化,提升學生對概念的深度認知.例如:(2015年南京市中考)某工程隊有14名員工,他們的工種及相應(yīng)每人每月工資如下表所示:

    現(xiàn)該工程隊進行了人員調(diào)整:減少木工2名,增加電工、瓦工各1名.與調(diào)整前相比,該工程隊員工月工資的方差(填“變小”,“不變”或“變大”).

    部分學生通過表格觀察出來,減少木工2名,增加電工、瓦工各1名.其實是把2名木工每月的工資的6000和6000變成一名電工和一名瓦工每月的工資7000和5000,雖然人員調(diào)整了,14名員工每月工資的平均數(shù)仍不變,因為平均數(shù)是6000,數(shù)據(jù)7000和5000比6000和6000數(shù)據(jù)的波動變大了,離散程度變大了,也就是方差變大了,根本不需要通過計算方差和比較方差計算的結(jié)果,就可以分析出來,這就需要學生在內(nèi)化概念的基礎(chǔ)上,不斷提升對方差概念的認知.

    總之,教師在概念教學時,要結(jié)合學生的認知規(guī)律和教學內(nèi)容的特點,巧妙設(shè)計教學過程,幫助學生在探索、體驗、辨析、應(yīng)用中深入理解概念的本質(zhì),構(gòu)建數(shù)學概念的知識體系,提升數(shù)學概念教學的效果,學生需要在教師的引導(dǎo)下去經(jīng)歷、去體驗、去領(lǐng)悟,才能使數(shù)學概念得以內(nèi)化和提升,從而發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

    參考文獻

    [1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學課程標準(2011年版)[M].北京:北京師范大學出版社,2012.

    [2]楊莉.大道至簡,悟在概念[J].中學數(shù)學教學參考(中旬),2021(4):54-56.

    [3]沈淑霞.讓數(shù)學概念教學之“根”深植于活動經(jīng)驗之中[J].小學教學參考,2021(5):46-47.

    [4]鄭雋,葉旭山.突出過程教學,激活學生思維——“方差”教學設(shè)計[J].中小學數(shù)學,2015(2):35-36.

    作者簡介?萬濤(1984—),男,中學高級教師,南京市張愛平、趙齊猛初中數(shù)學名師工作室成員,南京市鼓樓區(qū)學科教學帶頭人,南京市鼓樓區(qū)優(yōu)秀青年教師,曾獲得南京市優(yōu)秀教育案例一等獎,南京市鼓樓區(qū)初中數(shù)學青年教師基本功大賽一等獎,主要從事初中數(shù)學體驗教學研究.

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