知微見(jiàn)著 析辯思行 識(shí)變應(yīng)變

劉英英

摘要：對(duì)2021年北京中考?jí)狠S題從試題結(jié)構(gòu)、知識(shí)能力、素材題源、解法探究、變式拓展等角度進(jìn)行詳細(xì)分析，提出增強(qiáng)單元意識(shí)、增長(zhǎng)數(shù)學(xué)見(jiàn)識(shí)、技術(shù)賦能的教學(xué)啟示，指向?qū)W科育人.

關(guān)鍵詞：幾何直觀?數(shù)形結(jié)合單元數(shù)學(xué)見(jiàn)識(shí)

1?試題呈現(xiàn)

（2021年北京市中考第28題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為1.對(duì)于點(diǎn)A和線段BC，給出如下定義：若將線段BC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)可以得到⊙O的弦B′C′（B′，C′分別是B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），則稱(chēng)線段BC是⊙O的以點(diǎn)A為中心的“關(guān)聯(lián)線段”.

（2）△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)A（0，t），其中t≠0.若BC是⊙O的以點(diǎn)A為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，求t的值;

（3）在△ABC中，AB=1，AC=2.若BC是⊙O的以點(diǎn)A為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，直接寫(xiě)出OA的最小值和最大值，以及相應(yīng)的BC長(zhǎng).

2?試題簡(jiǎn)析

新定義“關(guān)聯(lián)線段”既熟悉又陌生，旋轉(zhuǎn)和圓已熟知但課本或其他素材從未將二者相結(jié)合，也不是高中的某個(gè)知識(shí)點(diǎn);單獨(dú)利用旋轉(zhuǎn)或圓的知識(shí)去解決問(wèn)題，已經(jīng)積累了一定的解題經(jīng)驗(yàn)和解題模型，但二者結(jié)合背景下的新定義題，不是簡(jiǎn)單的知識(shí)綜合應(yīng)用，而是現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用，需要獨(dú)立自主學(xué)習(xí)，調(diào)取數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，靈活應(yīng)變解決問(wèn)題的能力，壓軸題指向能力立意評(píng)價(jià).

知識(shí)層面分析：“把一個(gè)平面圖形繞平面內(nèi)某一點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，叫做圖形的旋轉(zhuǎn)”“平面內(nèi)，線段OA繞它固定的端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A形成的圖形叫做圓”，旋轉(zhuǎn)是一個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程，圓是這個(gè)運(yùn)動(dòng)的結(jié)果，圓是特殊的旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)與圓研究的是動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)之間的關(guān)系——位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與直線、點(diǎn)與形的關(guān)系是幾何核心內(nèi)容.能力層面分析：新定義、新背景下解決問(wèn)題，考查學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀、幾何直觀、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，指向數(shù)學(xué)思考，引發(fā)數(shù)學(xué)創(chuàng)新.對(duì)學(xué)生而言，在自主學(xué)習(xí)的過(guò)程中獨(dú)立思考、更學(xué)會(huì)思考，最終形成自己的學(xué)科思維，探究知識(shí)的過(guò)程和獲得的結(jié)果都屬于創(chuàng)新.試題沒(méi)有知識(shí)前置的痕跡，無(wú)需解題技巧和解題模型，更沒(méi)有競(jìng)賽的影子，但為高中后續(xù)認(rèn)識(shí)和理解點(diǎn)與平面、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系奠定基礎(chǔ)，分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力一以貫之.高中課程突出幾何直觀與代數(shù)運(yùn)算的融合，在原有知識(shí)結(jié)構(gòu)不變的前提下，將核心知識(shí)相關(guān)聯(lián)，以數(shù)觀形，以形顯數(shù)，數(shù)形雙向流動(dòng)，特殊一般相結(jié)合，從概念出發(fā)突出學(xué)科通法.試題3問(wèn)低起點(diǎn)高定位，為不同基礎(chǔ)和不同能力的考生搭建了思維的平臺(tái)，實(shí)現(xiàn)了試題的分層評(píng)價(jià)功能.題源素材分析：中考試題選材常常以教材為“源”，教材章引言、例習(xí)題、圖形等是素材.北師大版八年級(jí)下冊(cè)第三章《圖形的平移與旋轉(zhuǎn)》3.4隨堂練習(xí)，九年級(jí)下冊(cè)第三章《圓》單元復(fù)習(xí)題18、19均有這道中考題的影子.八年級(jí)下冊(cè)第三章《圖形的平移與旋轉(zhuǎn)》3.4隨堂練習(xí)：1.如圖，四邊形ABCD經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)后與四邊形ADEF重合.（1）指出這一旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角;（2）寫(xiě)出圖中相等的線段和相等的角.（第1題）?（第2題）2.如圖，你能繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，使得線段AB與線段CD重合嗎？為什么？九年級(jí)下冊(cè)第三章《圓》單元復(fù)習(xí)題18、19：18.已知A為⊙O上的一點(diǎn)，⊙O的半徑為1，⊙O所在的平面上另有一點(diǎn)P.（1）如果PA=5，那么點(diǎn)P與⊙O有怎樣的位置關(guān)系？（2）如果PA=3，那么點(diǎn)P與⊙O有怎樣的位置關(guān)系？（第19題）19.如圖，等邊三角形OBC的邊長(zhǎng)為10，點(diǎn)P沿O→B→C→O的方面運(yùn)動(dòng)，⊙P的半徑為3，⊙P運(yùn)動(dòng)一圈與△OBC的邊相切多少次？點(diǎn)P分別在什么位置？

人教版九年級(jí)上冊(cè)第二十四章《圓》小結(jié)回顧與思考設(shè)問(wèn)：“圓的位置及大小由哪些要素確定？如何從點(diǎn)的集合角度理解圓的概念”，問(wèn)題引領(lǐng)學(xué)生用運(yùn)動(dòng)變化的視角認(rèn)識(shí)圓.“關(guān)聯(lián)線段”源自教材又超越教材，是已有知識(shí)的延伸與生長(zhǎng)，點(diǎn)線是種子，圖形（網(wǎng)格、平面直角坐標(biāo)系）是載體，幾何直觀是方法.面對(duì)新問(wèn)題，在沒(méi)有模型可類(lèi)比、沒(méi)有經(jīng)驗(yàn)可借鑒時(shí)，就要回歸研究對(duì)象的本體，教材為中考試題提供經(jīng)典素材.3?解法探究

考查學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀理解能力，將文字描述轉(zhuǎn)化為圖形和符號(hào)語(yǔ)言，讀懂“關(guān)聯(lián)線段”條件、結(jié)論、操作規(guī)則，用數(shù)學(xué)工具“做”即可.用圖形和數(shù)量去表現(xiàn)概念的物理屬性，是從“抽象到具體”的實(shí)踐過(guò)程，三種語(yǔ)言相互轉(zhuǎn)換，多形式演繹表現(xiàn)是概念學(xué)習(xí)的重要環(huán)節(jié).解法1?以“形”引思：以A為圓心，分別以AB1，AC1為半徑做圓，依據(jù)概念圓環(huán)與⊙O有交點(diǎn)，交點(diǎn)構(gòu)成的弦長(zhǎng)與B1C1相等時(shí)，即為關(guān)聯(lián)線段.B2C2、B3C3同理可得，也可以構(gòu)成圖形△AB1C1，通過(guò)整體旋轉(zhuǎn)進(jìn)行判斷，兩種解法的不同在于看點(diǎn)、看形，共性是旋轉(zhuǎn)，“弦”在心中數(shù)相隨.解法2?以“數(shù)”明思：點(diǎn)A到⊙O的最小距離為2-1，最大距離2+1，依據(jù)新定義，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心A的距離范圍在2-1

第（2）問(wèn)?點(diǎn)A從位置確定到y(tǒng)軸動(dòng)點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)中心從單純的點(diǎn)到圖形等邊三角形頂點(diǎn)，條件從約束到半約束，從點(diǎn)線關(guān)聯(lián)進(jìn)入形關(guān)聯(lián)，圖形漸漸“豐滿”體現(xiàn)概念的“骨干”，等邊三角形邊長(zhǎng)為1與⊙O半徑相同，點(diǎn)A在y軸上，可能的位置“正負(fù)半軸”，與圓相結(jié)合，點(diǎn)A在⊙O上、⊙O內(nèi)、⊙O外分類(lèi)討論自然而來(lái).

先定形再分類(lèi)，直觀促邏輯，邏輯引推理，畫(huà)圖是關(guān)鍵.

解法2?轉(zhuǎn)譯顯形，化動(dòng)為靜.第（2）問(wèn)動(dòng)態(tài)問(wèn)題可以通過(guò)“轉(zhuǎn)譯”問(wèn)題實(shí)現(xiàn)化動(dòng)為靜.例如：“直角坐標(biāo)系中半徑為1的⊙O，弦B′C′=1，y軸上點(diǎn)A（A不在原點(diǎn)），構(gòu)造等邊△AB′C′，求A的坐標(biāo)”;或者“如圖，直角坐標(biāo)系中半徑為1的⊙O，點(diǎn)A在y軸上，⊙A與⊙O半徑相等，兩圓公共弦B′C′=1，求A的坐標(biāo)”.學(xué)生遇到動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，難免產(chǎn)生畏難心理，語(yǔ)言的“轉(zhuǎn)譯”讓問(wèn)題變的簡(jiǎn)單，第（2）問(wèn)兩種解法實(shí)質(zhì)是相同的，著眼點(diǎn)在“旋轉(zhuǎn)得到⊙O的弦”，此時(shí)研究重心是點(diǎn)與形的關(guān)系.

第（3）問(wèn)?第（3）問(wèn)的解答分兩步進(jìn)行，先確定OA的最值，再計(jì)算BC長(zhǎng).

第一步，確定OA的最值.

解法1?條件中AB=1，AC=2，隱含以A為圓心的同心圓，點(diǎn)A從y軸上的動(dòng)點(diǎn)，變?yōu)槠矫嬷苯亲鴺?biāo)系內(nèi)的點(diǎn)，BC由確定到不確定，三角形由特殊到一般動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)，綜合性逐步上升指向數(shù)學(xué)思維，關(guān)注解題“通法”.先畫(huà)圖找到最值點(diǎn)，以圖啟思，用圖助思，實(shí)現(xiàn)從直覺(jué)到直觀.延續(xù)第（2）問(wèn)“轉(zhuǎn)譯”，回歸關(guān)聯(lián)線段定義，“旋轉(zhuǎn)得到⊙O的弦”轉(zhuǎn)化為同心圓⊙A與⊙O的位置關(guān)系，兩圓位置關(guān)系由圓心距與兩圓半徑數(shù)量關(guān)系確定，即AO長(zhǎng)度.兩圓相切、相交、相離，OA最值即為邊界值，數(shù)定形實(shí)現(xiàn)了一般到特殊，如圖3.

此時(shí)，兩圓之間的關(guān)系并不受點(diǎn)A位置的影響，所以也可以取A點(diǎn)為軸上點(diǎn)，則題目變的更容易理解.第（1）問(wèn)的啟示也可以從圓環(huán)與⊙O的位置關(guān)系思考，最終轉(zhuǎn)化到圓與圓的位置關(guān)系，其實(shí)質(zhì)相同.設(shè)點(diǎn)A（t，0），因?yàn)榇蟆袮半徑為2，小⊙A半徑為1，⊙O半徑為1，所以當(dāng)1

第（3）問(wèn)變式2：如果將題中“線段BC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)可以得到⊙O的弦B′C′”變?yōu)椤瓣P(guān)于以直線l對(duì)稱(chēng)可以得到⊙O的弦B′C′”你還可以提出哪些問(wèn)題;

概念類(lèi)比，指向知識(shí)網(wǎng)絡(luò)建構(gòu)，揭示內(nèi)在聯(lián)系，理解本質(zhì)辨異同，實(shí)現(xiàn)從概念到關(guān)系到結(jié)構(gòu).策略類(lèi)比，指向解法遷移，延伸經(jīng)驗(yàn)強(qiáng)化學(xué)法，通過(guò)“變”滲透推理方法、提升推理能力.

5?教學(xué)啟示

這道中考?jí)狠S題連續(xù)三問(wèn)，起于概念又落于概念，旋轉(zhuǎn)中心從定點(diǎn)到區(qū)域點(diǎn)到任意點(diǎn)，最終都轉(zhuǎn)化為圖形基本元素點(diǎn)與點(diǎn)之間的關(guān)系“數(shù)量定位置”.刷題留下的模型短暫而有限，碎片的“技”不足以應(yīng)對(duì)千變?nèi)f化的“形”，有模型還要破定勢(shì).圖形是工具，讓直觀促直覺(jué)，讓直覺(jué)引推理，由表及里協(xié)同發(fā)展，實(shí)現(xiàn)形促數(shù)定、數(shù)引形分，思想與方法不斷內(nèi)化.解題的過(guò)程即是思維爬坡的過(guò)程，考查的是思維遞進(jìn)的深度，引導(dǎo)的是教學(xué)向核心處延伸，考查的是學(xué)生“真實(shí)學(xué)力”，引導(dǎo)的是教學(xué)中的視角，由題、由解題、由師生解題引發(fā)對(duì)教學(xué)的深思.

5.1?見(jiàn)微有為，知著尋脈，構(gòu)建單元意識(shí)

平面幾何研究基本元素及元素之間的關(guān)系，點(diǎn)就是基本元素，關(guān)系就在概念中，從概念出發(fā)尋找生長(zhǎng)點(diǎn)、延伸點(diǎn)，圖形變換、結(jié)構(gòu)分析、數(shù)量刻畫(huà)、邏輯推理從“直觀”開(kāi)始，見(jiàn)微有為動(dòng)中找定從“看圖”做起.教學(xué)中帶領(lǐng)學(xué)生有意識(shí)的看——“看元素、看位置、看結(jié)構(gòu)、看邊界”，有意識(shí)的想——“想關(guān)系、想數(shù)量、想特殊、想變換”，從基本元素“點(diǎn)、線、角”到基本位置“平行、相交”，從基本圖形到基本圖形之間的關(guān)系——全等、相似、圖形變換等，所有圖形的變化生長(zhǎng)都圍繞“點(diǎn)、線、角”，著力點(diǎn)在“數(shù)與形”，策略在“特殊與一般”，滲透用概念思考問(wèn)題和解決問(wèn)題的意識(shí)，會(huì)看圖更會(huì)思圖.顯性的素材隱性的結(jié)構(gòu)，從系統(tǒng)的視角尋找生長(zhǎng)的脈絡(luò)，從單元到課時(shí)系統(tǒng)化設(shè)計(jì)目標(biāo)達(dá)成，從細(xì)究“點(diǎn)”轉(zhuǎn)向探尋“脈”，見(jiàn)樹(shù)更見(jiàn)森林，于經(jīng)驗(yàn)處遷移、于結(jié)論處生長(zhǎng)、于“內(nèi)核”處聯(lián)結(jié)，構(gòu)建單元意識(shí)，知著尋脈讓學(xué)習(xí)自然發(fā)生.

5.2?析辯養(yǎng)智，思行育識(shí)，增長(zhǎng)數(shù)學(xué)見(jiàn)識(shí)

新定義題以中考試題呈現(xiàn)，考查學(xué)生真實(shí)學(xué)力和解決問(wèn)題的能力.解題即解決問(wèn)題，當(dāng)從A點(diǎn)切入不能解決問(wèn)題時(shí)，如何轉(zhuǎn)換視角，轉(zhuǎn)化思維，“化”的能力對(duì)學(xué)生及我們一線老師提出更高要求.學(xué)數(shù)學(xué)不僅是知識(shí)更是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維方式，解題、析題、賞題，思維隨題而縱深發(fā)展，通過(guò)解題去體會(huì)命題人的智慧，析辯養(yǎng)智.知識(shí)易得見(jiàn)識(shí)難求，相同情景的近遷移到陌生環(huán)境的遠(yuǎn)遷移，逐層抽象中核心要素關(guān)聯(lián)轉(zhuǎn)化，運(yùn)用思維規(guī)律去解決問(wèn)題，聚焦通性通法.從老師的解題到解題教學(xué)，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效能，從核心知識(shí)的精準(zhǔn)把握到指向核心素養(yǎng)學(xué)科育人，從“知其然、知其所以然”到“知何由以知其所以然”到“然可再然”，思行育“識(shí)”，育知識(shí)更育膽識(shí).

5.3?技術(shù)賦能，賡續(xù)力量，識(shí)變促應(yīng)變

移動(dòng)技術(shù)、“互聯(lián)網(wǎng)+”師生共享技術(shù)紅利，技術(shù)的浸潤(rùn)讓教學(xué)環(huán)境更豐富，教師與學(xué)生已經(jīng)將信息技術(shù)視為學(xué)科教學(xué)的核心要素之一.用技術(shù)變革教學(xué)結(jié)構(gòu)，用技術(shù)優(yōu)化教學(xué)活動(dòng)，用技術(shù)提升教學(xué)質(zhì)量，技術(shù)與學(xué)科深度融合，構(gòu)建新型教學(xué)生態(tài)環(huán)境，”互聯(lián)網(wǎng)+教育+數(shù)學(xué)+畫(huà)板”讓抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容更加靈動(dòng)，技術(shù)賦能讓數(shù)學(xué)可操作探究、可大膽實(shí)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)動(dòng)靜直觀、可視呈現(xiàn)，從“隨意操作→規(guī)律發(fā)現(xiàn)→有序思考→自我建構(gòu)”，用技術(shù)的終極目的是“不用”，遷移內(nèi)化培養(yǎng)真實(shí)學(xué)力.新時(shí)代下教學(xué)有“道”有“理”還要有“術(shù)”，晰“道”學(xué)科價(jià)值、確“理”科學(xué)方法、借“術(shù)”賡續(xù)力量，識(shí)變應(yīng)變.

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