三版初中數(shù)學(xué)教材“旋轉(zhuǎn)”內(nèi)容的比較研究

于潮 孫幸榮

【摘?要】教材是教師和學(xué)生開展教學(xué)活動的核心工具，教師只有把教材的內(nèi)涵和外延研析透徹，教學(xué)才能真正地深入淺出，取得良好的教學(xué)效果.因此教材分析就成為教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施的關(guān)鍵環(huán)節(jié).本文主要通過對三個版本教材中“旋轉(zhuǎn)”內(nèi)容的編排方式、章頭導(dǎo)入的圖文、培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)的題目及數(shù)學(xué)認(rèn)知水平四個維度的比較探究，得出一些關(guān)于教材編排和教師教學(xué)的啟示與建議，為今后培養(yǎng)學(xué)生直觀想象的數(shù)學(xué)素養(yǎng)提供有效參考.

【關(guān)鍵詞】比較研究;旋轉(zhuǎn);直觀想象

引言

我國最新頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）明確強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)是至關(guān)重要的，其中直觀想象是幾何部分最為重要的數(shù)學(xué)素養(yǎng)[1].與平移、軸對稱一樣，旋轉(zhuǎn)也是實(shí)際生活中廣泛存在的現(xiàn)象，是現(xiàn)實(shí)世界運(yùn)動變化的最基本形式之一.它們不僅是探索圖形性質(zhì)，認(rèn)識、描述物體形狀和空間位置關(guān)系的重要工具，而且是進(jìn)行數(shù)學(xué)交流，以及解決現(xiàn)實(shí)世界中具體問題的必要手段.“新課標(biāo)”中對“旋轉(zhuǎn)”內(nèi)容的學(xué)習(xí)有以下明確要求：通過具體實(shí)例認(rèn)識平面圖形關(guān)于旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)，探索旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì);了解中心對稱、中心對稱圖形的概念，探索他們的基本性質(zhì);探索線段、平行四邊形、正多邊形、圓的中心對稱性質(zhì);認(rèn)識并欣賞自然界和現(xiàn)實(shí)生活中的中心對稱圖形.

本文初中數(shù)學(xué)教材選取人民教育出版社九年級上冊（以下簡稱“人教版”）[2]、江蘇科學(xué)技術(shù)出版社八年級下冊（以下簡稱“蘇教版”）[3]、北京師范大學(xué)出版社八年級下冊（以下簡稱“北師大版”）[4]3個版本，從“旋轉(zhuǎn)”內(nèi)容的編排方式、章頭導(dǎo)入的圖文、培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)的題目及數(shù)學(xué)認(rèn)知水平四個維度進(jìn)行比較.

1?“旋轉(zhuǎn)”內(nèi)容編排方式的比較

“旋轉(zhuǎn)”作為圖形與幾何中的重要內(nèi)容，在不同版本教材中所占的比重也不盡相同，對學(xué)生學(xué)習(xí)掌握這一部分內(nèi)容各有什么幫助，對教師在處理教學(xué)設(shè)計(jì)時又有何要求？以及對今后數(shù)學(xué)教材編寫有什么啟發(fā)[5]？通過比較分析將獲得對上述問題更深刻的理解.考慮到三個版本教材中“旋轉(zhuǎn)”這一知識點(diǎn)所在的位置和呈現(xiàn)方式有較為明顯的差別，所以，為探究編排者這樣安排的目的，本文通過三個思維導(dǎo)圖將三版教材中“旋轉(zhuǎn)”所在的章節(jié)目錄進(jìn)行了對比，見圖1—圖3.

從“旋轉(zhuǎn)”內(nèi)容在教材中的位置來看，人教版在九年級剛開始學(xué)習(xí)該知識點(diǎn)，而蘇教版和北師大版均將其放在八年級來進(jìn)行學(xué)習(xí).

從“旋轉(zhuǎn)”內(nèi)容在不同版本中的呈現(xiàn)方式來看，除人教版把“旋轉(zhuǎn)”作為一整章內(nèi)容外，其他兩版教材均是與其它內(nèi)容放在一起進(jìn)行編排的.而且總體來看，三個版本的教材中關(guān)于“旋轉(zhuǎn)”的內(nèi)容均含有“圖形的旋轉(zhuǎn)、中心對稱”以及“圖案設(shè)計(jì)”這三部分內(nèi)容.對于人教版，學(xué)生在學(xué)習(xí)這一知識點(diǎn)之前已經(jīng)學(xué)過了平移、軸對稱這兩種基本變換，有了一定的變換思想，對猜想、驗(yàn)證等數(shù)學(xué)活動也有一定感受，這些都為新課學(xué)習(xí)提供了必備的知識經(jīng)驗(yàn)，這也體現(xiàn)了“新課標(biāo)”中“在遵循科學(xué)性的前提下，采用逐級遞進(jìn)、螺旋上升的原則”[6].對蘇教版而言，“旋轉(zhuǎn)”與“中心對稱圖形——平行四邊形”一起學(xué)習(xí)，有利于學(xué)生掌握“中心對稱”這一重點(diǎn)內(nèi)容.而北師大版，則是把“圖形的平移”與“圖形的旋轉(zhuǎn)”安排在一章進(jìn)行學(xué)習(xí)，有利于培養(yǎng)學(xué)生類比遷移和動手操作的能力.

2?章頭導(dǎo)入的圖文比較

每個版本的章頭圖和文字都各有特點(diǎn)，同時也有許多共同點(diǎn)，三版教材中“旋轉(zhuǎn)”所在章節(jié)章頭導(dǎo)入的圖文比較如表1所示.

1.信息量最豐富的是北師大版，圖片中有“秋千”“旋轉(zhuǎn)木馬”“城堡”等生活中的常見元素，迎合孩子的興趣愛好，不僅充分展現(xiàn)了生活中的數(shù)學(xué)美，也與本章題目呼應(yīng).

2.文字部分不僅列舉了生活中的電梯、風(fēng)扇的扇葉等與本章知識相關(guān)的物品，便于學(xué)生展開直觀想象進(jìn)行學(xué)習(xí)，還在右下角明確標(biāo)出了本章學(xué)習(xí)目標(biāo)，而且層層遞進(jìn)、由易到難，完整概括了整個章節(jié)即將呈現(xiàn)的內(nèi)容，既對教師的教學(xué)設(shè)計(jì)有幫助，又可以深入到學(xué)生學(xué)習(xí)本章的整個過程.但有時也會起到反效果，這可能會助長學(xué)生的惰性心理，使其對探索新知缺乏主動性.

3?培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)的題目比較

幾何作圖是本章教學(xué)過程中不可缺少的重要組成部分，通過作圖可以加深學(xué)生對“旋轉(zhuǎn)”的認(rèn)識和理解，扎實(shí)的作圖功底和在畫圖過程中識別的能力、積累的經(jīng)驗(yàn)都是學(xué)生后續(xù)解決幾何綜合問題的知識儲備[7].有效的操作活動，不僅有助于把抽象的數(shù)學(xué)知識形象化，還有利于培養(yǎng)學(xué)生直觀想象的數(shù)學(xué)素養(yǎng).縱觀三版教材中“旋轉(zhuǎn)”部分的所有內(nèi)容，統(tǒng)計(jì)出了要求學(xué)生作圖或動手操作的題目，結(jié)果見圖4.（其中“教材正文”部分包括“思考、探究、嘗試、操作、例題、數(shù)學(xué)活動、圖案設(shè)計(jì)”等除了習(xí)題外所有包含“旋轉(zhuǎn)”的內(nèi)容，“習(xí)題”部分包括“練習(xí)、習(xí)題、總復(fù)習(xí)題”等）.

從圖4可以看出，人教版和蘇教版的“旋轉(zhuǎn)”部分中培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)的題目在總體數(shù)量上是接近的，而北師大版則明顯高于以上兩版.而且與其他兩版相比，北師大版本章習(xí)題中有大量自主設(shè)計(jì)圖案的題目，說明其在培養(yǎng)學(xué)生直觀想象核心素養(yǎng)的過程中，還注重發(fā)散思維和創(chuàng)新思維的提高.

在教材正文中，蘇教版比其他兩版更側(cè)重于培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)，其正文中有明顯的“操作、嘗試”等標(biāo)志，這也說明蘇教版注重課堂上教師與學(xué)生的互動，而且教材正文中與習(xí)題中的數(shù)量是不相上下的，說明其在課堂上與課余時間對培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的時間分配比較均衡，使學(xué)生真正成為課堂的主人，而這也正是“新課標(biāo)”所倡導(dǎo)的.

但是人教版在這一方面的主要特點(diǎn)是：需要學(xué)生操作的部分，教材將步驟描述得非常詳細(xì)了，這樣學(xué)生完成得就相對輕松一點(diǎn)，如教材64—65頁中提到的：

“如圖23.2-3，三角尺的一個頂點(diǎn)是O，以點(diǎn)O為中心旋轉(zhuǎn)三角尺，可以畫出關(guān)于點(diǎn)O中心對稱的兩個三角形”，見圖5.

雖然這對培養(yǎng)學(xué)生直觀想象的核心素養(yǎng)有一定借鑒，但對培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考和幾何操作的能力有所欠缺.

4?數(shù)學(xué)認(rèn)知水平的比較

這里借鑒顧泠沅先生的數(shù)學(xué)認(rèn)知水平分析框架，他通過“青浦實(shí)驗(yàn)”和相關(guān)理論研究將數(shù)學(xué)認(rèn)知水平分為四個層次，水平1：計(jì)算——操作性記憶水平;水平2：概念——概念性記憶水平;水平3：領(lǐng)會——說明性理解水平;水平4：分析——探究性理解水平.水平1、2為較低認(rèn)知水平，水平3、4為較高認(rèn)知水平[8].

本文根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)“旋轉(zhuǎn)”所需要達(dá)到的數(shù)學(xué)認(rèn)知水平層次，對此部分內(nèi)容的所有習(xí)題的數(shù)學(xué)認(rèn)知水平層次做出如下界定：

水平1：計(jì)算——操作性記憶水平：該層次的認(rèn)知水平只需學(xué)生簡單了解“旋轉(zhuǎn)”的過程以及“中心對稱”的概念，不需要理解;涉及到的習(xí)題則無需動筆就能求解，如“指出旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角、對稱中心”等，只體驗(yàn)解決問題的過程.

水平2：概念——概念性記憶水平：該層次的認(rèn)知水平要求學(xué)生通過相關(guān)圖形及概念的呈現(xiàn)能夠接受“旋轉(zhuǎn)及中心對稱”的事實(shí);對于習(xí)題，要求學(xué)生能夠根據(jù)題目要求在方格紙上畫出簡單的旋轉(zhuǎn)后的圖形，并能辨別簡單的中心對稱圖形等，體驗(yàn)簡單分析、解決問題、動手操作的過程.

水平3：領(lǐng)會——說明性理解水平：該層次的認(rèn)知水平要求學(xué)生通過教材上的操作過程以及相關(guān)圖形的呈現(xiàn)順利理解“旋轉(zhuǎn)和中心對稱”的事實(shí)，并能用自己的語言進(jìn)行說明;對于習(xí)題，要求學(xué)生能夠根據(jù)題目熟練的畫出各種旋轉(zhuǎn)后的圖形以及中心對稱圖形，并能解決簡單的計(jì)算問題，體驗(yàn)分析問題、解決問題、動手操作的過程.

水平4：分析——探究性理解水平：該層次的認(rèn)知水平要求學(xué)生能夠綜合運(yùn)用“旋轉(zhuǎn)”和“中心對稱”的所有知識點(diǎn)，并可以試圖通過舉例來對相關(guān)問題進(jìn)行說明;對于一些復(fù)雜的、綜合性的問題能夠根據(jù)題目要求理清來龍去脈，熟練的進(jìn)行解答，學(xué)生在探究的過程中完整地體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的過程.

三版教材中所有與“旋轉(zhuǎn)”有關(guān)的習(xí)題中需要學(xué)生達(dá)到的數(shù)學(xué)認(rèn)知水平，見表2.

從表2可以明顯的看出人教版和北師大版的習(xí)題中認(rèn)知水平3和水平4占比較大，這說明這兩版教材更為注重培養(yǎng)學(xué)生的高層次數(shù)學(xué)能力和高層次認(rèn)知水平，尤其是北師大版，其習(xí)題比較注重與實(shí)際生活的聯(lián)系，也重視培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識，如教材90頁的第16題和17題，見圖6.?16.利用平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱設(shè)計(jì)一個圖案，說明你所表達(dá)的含義，并在班上展示你的作品.?17.利用一個圓、一個正三角形、通過2次旋轉(zhuǎn)或平移設(shè)計(jì)一個圖案，說明你的設(shè)計(jì)意圖.

這兩題考察學(xué)生綜合性知識的運(yùn)用，對學(xué)生應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識的培養(yǎng)有一定幫助.蘇教版的習(xí)題中認(rèn)知水平2和水平3比重較大，其中有大量的作圖題，說明該教材對學(xué)生的作圖能力要求較高，這有利于培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)以及數(shù)學(xué)觀察與動手操作的能力.

5?對教學(xué)的啟示與建議

5.1?對教材編排的思考與建議

第一，根據(jù)“新課標(biāo)”要求，相較于其他兩版教材，北師大版的教材編寫更有利于學(xué)生體驗(yàn)與理解、思考與探索，也更符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.在七年級安排“基本圖形”、“生活中的軸對稱”，為八年級學(xué)習(xí)“圖形的平移與旋轉(zhuǎn)”奠定了良好的幾何基礎(chǔ)，也為九年級即將學(xué)習(xí)“平行四邊形”、“圖形的相似”、“圓”等內(nèi)容做了重要鋪墊.北師大版對于初中“圖形與幾何”內(nèi)容的安排均衡合理，各部分內(nèi)容銜接恰當(dāng)，符合“新課標(biāo)”所要求的“循序漸進(jìn)，螺旋上升”的原則.而人教版八年級安排“軸對稱”，九年級學(xué)習(xí)“旋轉(zhuǎn)”、“圓”、“相似”等內(nèi)容，導(dǎo)致九年級教學(xué)難點(diǎn)過于集中，學(xué)生學(xué)習(xí)難度增大.

第二，將“旋轉(zhuǎn)”與“平移”結(jié)合起來作為一整章進(jìn)行編寫，這樣可以更便于將兩者聯(lián)系起來，有利于培養(yǎng)學(xué)生類比遷移的能力和直觀想象的素養(yǎng).這里北師大版教材處理得較為合理，“平移”是學(xué)習(xí)“旋轉(zhuǎn)”的基礎(chǔ)知識，“旋轉(zhuǎn)”是“平移”的拓展和延伸，二者相輔相成.而蘇教版將“旋轉(zhuǎn)”與“多邊形”結(jié)合起來學(xué)習(xí)，盡管“旋轉(zhuǎn)”是工具性的知識，但這樣編寫可能會弱化它的存在.

5.2?對教師教學(xué)設(shè)計(jì)的建議

第一，教師應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生良好的作圖習(xí)慣，加強(qiáng)學(xué)生對幾何圖形的認(rèn)識和理解，在動手畫圖的基礎(chǔ)上適當(dāng)借助計(jì)算機(jī)畫圖軟件輔助教學(xué).利用計(jì)算機(jī)，可以直觀地看到圖形運(yùn)動變換的全過程以及運(yùn)動中的特殊位置，對圖形性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)和探究很有幫助，這一點(diǎn)在每版教材的“信息技術(shù)”板塊也都有體現(xiàn).此外，在課堂上教師應(yīng)當(dāng)指導(dǎo)學(xué)生利用尺規(guī)和其它工具規(guī)范作圖，培養(yǎng)學(xué)生良好的作圖習(xí)慣，且引導(dǎo)學(xué)生課堂與課后學(xué)習(xí)時間統(tǒng)籌分配，正如蘇教版所編排的，教師應(yīng)盡可能多的在課堂上培養(yǎng)學(xué)生動手操作的能力，這樣安排，一方面，在課堂上教師可以盡力幫助學(xué)生答疑解惑、示范操作;另一方面學(xué)生在課后不會因作圖不規(guī)范而得不到及時糾正.

第二，為了避免范希爾理論所提到的“從一個水平過渡到另一個水平不是平緩的，而是一個跳躍的過程，在到達(dá)新水平前，學(xué)生會經(jīng)歷一個思維的危機(jī)”[9].教師應(yīng)充分利用教材中的習(xí)題，布置習(xí)題時選擇符合學(xué)生認(rèn)知水平的題目，根據(jù)習(xí)題的層次合理選擇，使學(xué)生循序漸進(jìn)的提升.另外，教材中安排了畫圖、分析、歸納等探究活動，教師在教學(xué)時應(yīng)充分利用這些資源，重視培養(yǎng)學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)、比較、歸納等綜合能力，從而逐步增強(qiáng)學(xué)生的探究能力.

第三，教師在教授“圖案設(shè)計(jì)”這一板塊時，應(yīng)讓學(xué)生體驗(yàn)和感受圖形旋轉(zhuǎn)基本性質(zhì)的探索過程，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生直觀想象的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，也可以從日常生活入手，拉近數(shù)學(xué)與生活的距離，幫助學(xué)生積累豐富的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn).教師還應(yīng)充分利用教材上的“閱讀與思考”板塊豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)史知識，拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.如在課堂導(dǎo)入環(huán)節(jié)，教師可以借助課本上的素材資料或有趣的數(shù)學(xué)活動展開，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，充分調(diào)動其學(xué)習(xí)積極性.

以上提出的建議只是一小部分，基于新課標(biāo)提倡的核心素養(yǎng)理念，培養(yǎng)學(xué)生思維能力和創(chuàng)新精神的策略還有很多.數(shù)學(xué)教材的改善和數(shù)學(xué)教學(xué)的提升是一個漫長的過程，還需要長時間的探索，需要我們繼續(xù)為之努力，引領(lǐng)數(shù)學(xué)教育走向新未來.

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[9]茍丹丹.基于范希爾理論的初中數(shù)學(xué)教材幾何思維水平的比較研究[D].天津：天津師范大學(xué)，2019.

作者簡介?于潮（1998—），女，山東諸城人，碩士研究生，主要從事學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)）研究.

孫幸榮（1978—），女，湖北蘄春人，教授.主要從事數(shù)學(xué)教育及應(yīng)用數(shù)學(xué)研究.