基于雙參考點前景理論求解策略的DEA交叉效率評價方法

[福州大學(xué) 福州 350108]

引言

數(shù)據(jù)包絡(luò)分析（DEA）[1]是一種能夠有效處理多輸入多輸出問題的非參數(shù)評價方法。該方法具有非參性和客觀性等優(yōu)勢，因此受到了大量國內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注，并在諸多領(lǐng)域的評價問題中得到廣泛應(yīng)用。傳統(tǒng)DEA方法總是從最有利于自身的角度去評價效率值，這就可能導(dǎo)致決策單元“孤芳自賞”的情形。針對這一缺陷，Sexton[2]等提出交叉效率評價方法，將自評思想和互評思想融合起來評價決策單元，更加全面客觀地反映了決策單元的有效性，緩解了傳統(tǒng)DEA方法的權(quán)重體系過于極端和不現(xiàn)實問題[3]。

隨著交叉效率理論的不斷發(fā)展，許多學(xué)者開始致力于交叉效率評價策略的研究。其中,大部分學(xué)者把主要研究集中在建立二次目標(biāo)以進一步限制權(quán)重的模型構(gòu)建上。較為經(jīng)典的是Doyle和Green[4]提出的進取型和仁慈型求解策略。面對實際決策環(huán)境下仁慈型和進取型模型的選擇困境，Wang和Chin[5]提出了中立型交叉效率策略，該模型只關(guān)注決策單元自身而不考慮二次目標(biāo)模型對其他決策單元的影響，即不把其余DMU視為敵人或盟友。Wu等[6]通過定義某個決策單元的最優(yōu)權(quán)重對其他決策單元的滿意度，以最大化滿意度為目標(biāo)函數(shù)構(gòu)建模型并提出兩個算法。在現(xiàn)實問題中，決策單元之間可能存在著競爭或合作關(guān)系的情形，針對該問題，Liang等[7]基于博弈論提出博弈交叉效率求解方法。李琳等[8]在Liang 等[7]所提出的非合作博弈模型的基礎(chǔ)上，根據(jù)相關(guān)權(quán)重的偏好信息進行比較，得到權(quán)重間的“相對范圍”，建立基于保證域的博弈交叉效率模型，并應(yīng)用于學(xué)術(shù)期刊評價研究。王旭等[9]和劉金培等[10]分別基于證據(jù)推理和群體共識提出交叉效率排序方法。李學(xué)文等[11]通過引入正則條件限制和對無效單元目標(biāo)效率的限制，構(gòu)建三個改進的博弈交叉效率模型，較好地解決了傳統(tǒng)博弈交叉效率值可能不唯一和迭代速度慢的問題。

以上學(xué)者均針對傳統(tǒng)交叉效率評價策略方法做了進一步改進，但是這些方法沒有充分考慮效率評價過程中決策者的主觀偏好，不能體現(xiàn)決策者面對收益和損失時不同的風(fēng)險態(tài)度，難以很好地滿足決策者的實際決策需求。針對該問題，一些學(xué)者利用前景理論引入心理因素，通過決策預(yù)期收益或損失引起的主觀價值感受來反映決策者的偏好，在充分考慮決策者偏好的基礎(chǔ)上對效率結(jié)果進行評價。例如，陳磊等[12]將決策者分為悲觀、中立、樂觀三種類型，計算不同決策偏好視角下的前景價值。Liu等[13]將前景理論和DEA交叉效率方法融合，評價中國23個國家重點實驗室資源分配的有效性。然而，這些研究往往簡單地認為決策者群體具有單一的參考點，忽視了復(fù)雜的現(xiàn)實中決策者參考點的多樣性。實際上，受決策者性格特征、決策情境等因素影響，在決策者群體內(nèi)部和外部不同評價視角下的決策者心理預(yù)期存在差異，從而導(dǎo)致其參考點是彼此不同的。因此，在以往的DEA與前景理論結(jié)合的研究中對決策者群體具有相同的單一參考點的假設(shè)缺乏足夠的合理性。

綜上所述，本文考慮決策者群體存在多重參考點的特性，結(jié)合實際決策情境，提出一種考慮雙參考點的交叉效率評價策略方法，以此描述決策者多樣性的心理偏好。文章首先討論雙參考點的設(shè)置，通過采用正理想解、DMU投入產(chǎn)出平均值來反映決策者外部競爭優(yōu)勢和內(nèi)部自身特點。接著，針對兩個參考點分別利用前景理論的價值函數(shù)計算各參照點下的價值，反映決策者對損失和收益價值感受的差異。隨后，通過引入正理想點側(cè)重系數(shù)，進一步綜合各參照點下的前景價值并據(jù)此構(gòu)建交叉效率二次目標(biāo)模型。本文方法在完善了交叉效率DEA理論方法的同時，解決了具有多重參考點的效率評價問題，為決策者進行科學(xué)決策提供了一種新思路，具有一定的理論意義與現(xiàn)實應(yīng)用價值。

一、理論基礎(chǔ)

（一）交叉效率方法

其中，θdd為DMUdd的自評效率，Urd和Vid是評價DMUdd時賦予第r種產(chǎn)出與第i種投入的權(quán)重。

為得出唯一的最優(yōu)解，Doyle和Green[4]提出仁慈型和激進型求解策略，并在此基礎(chǔ)上給出了兩種策略所對應(yīng)的、旨在得到唯一最優(yōu)解的數(shù)學(xué)模型。其中，激進型模型的基本思想是最大化被評價單元效率值，同時盡可能使其他決策單元的交叉效率值最小。該模型目標(biāo)函數(shù)取最小值，表明在效率評價上對所構(gòu)造出來的虛擬平均決策單元是不利的，因此稱為激進型模型。其數(shù)學(xué)表達如下：

表 1 交叉效率矩陣

（二）前景理論

前景理論（Prospect Theory，PT）由Kahneman和Tversky[14]建立。該理論通過決策者面對“失”和“得”的主觀價值感受差異來反映決策者的偏好，是針對風(fēng)險決策的心理描述模型，被廣泛應(yīng)用在經(jīng)濟學(xué)和社會心理學(xué)等領(lǐng)域。前景理論中，價值函數(shù)在獲得部分表現(xiàn)為凹函數(shù)，在損失部分表現(xiàn)為凸函數(shù)，且在損失部分更為陡峭，體現(xiàn)了個體對價值減少的心理感受更加敏感的特性。價值函數(shù)可以定義為：

其中Δh是h與決策參考點之間的偏差，Δh=h-h0,h表示實際值，h0表示決策者參照點。參數(shù) λ≥1α是風(fēng)險規(guī)避參數(shù)，參數(shù)α、β∈(0,1]是測量遠離參考點時敏感性遞減的程度。Kahneman等認為，α、β參數(shù)越大則決策者對價值變化越不敏感，λ≥1表示對損失比獲得更加厭惡。

二、基于雙參照點前景理論的交叉效率策略模型

以往的研究大多采用單一參考點，認為決策者群體具有固定的參考點。但實際上，參考點選取受風(fēng)險態(tài)度、決策者主觀偏好等因素影響而具有多樣性。若采用某一相同的固定點作為參考點，與實際決策者參考點存在偏差，則不能客觀、可靠地反映決策者心理預(yù)期的收益和損失。參照點的設(shè)定受到任務(wù)環(huán)境、個性等因素的影響和調(diào)節(jié),作為任務(wù)變量，參照點既可以是內(nèi)源性的（決策者自發(fā)產(chǎn)生的）也可以是外源性的（任務(wù)的要求）[15]。因此，設(shè)置內(nèi)部、外部雙參考點是十分必要的，從外部競爭優(yōu)勢和內(nèi)部自身特點兩個方面來考慮決策問題，能更準(zhǔn)確地反映決策者的心理預(yù)期，使評價和決策更加全面和科學(xué)。鑒于此，本文基于前景理論，構(gòu)建考慮雙參考點的交叉效率評價策略。

定義決策單元的外部參考點滿足如下公式：

在評價過程中，同外部其他決策單元比較，可以確定該決策單元在評價系統(tǒng)中的競爭力，進而從外部特征上比較、分類和評估預(yù)期結(jié)果。本文選取正理想解作為外部參考點，目的是體現(xiàn)在整個評價系統(tǒng)中最具競爭力的效率值，并以此衡量不同決策者在考慮外部競爭時的心理價值感受差異。

從決策單元內(nèi)部自身特點來說，在評價過程中為了解該DMU的投入產(chǎn)出現(xiàn)狀水平需要設(shè)置內(nèi)部參考點，考慮利用決策單元投入產(chǎn)出平均值作為內(nèi)部參照點。平均值具有簡便和代表性強的特點，以平均值作為參照點更符合決策者的思維習(xí)慣。

針對傳統(tǒng)交叉效率方法中所存在的解非唯一性的問題，可以通過引入二次目標(biāo)模型以進一步約束權(quán)重,在一定程度上消除解非唯一性的問題[4]。因此，本節(jié)通過建立二次規(guī)劃，以最大化各決策單元的綜合前景價值為目標(biāo)函數(shù)，由雙參照點前景理論求解策略構(gòu)建交叉效率評價模型如式（7）：

綜上所述，基于前景理論考慮雙參照點的交叉效率評價策略步驟如下：

步驟1設(shè)置雙參考點?？紤]從DMU外部競爭優(yōu)勢和內(nèi)部自身特點設(shè)置雙參照點，采用正理想解、DMU投入產(chǎn)出平均值分別作為外部、內(nèi)部參考點。

步驟2針對兩個參考點分別利用前景理論的價值函數(shù)計算各參照點下的價值?；谇熬袄碚?，利用式（5）和式（6）分別表示針對雙參照點的價值。

步驟3綜合兩個參照點下的前景價值，構(gòu)建反映決策者偏好的交叉效率二次目標(biāo)模型。通過引入正理想點側(cè)重系數(shù)，進一步整合各參照點下的前景價值，利用式（7）構(gòu)建考慮雙參考點的交叉效率策略模型，求解并得到改進的交叉效率矩陣。

步驟4對改進的交叉效率矩陣進行集結(jié)并排序。由式（7）所得的是交叉評價策略輸入輸出的權(quán)重、，利用這些權(quán)重確定交叉效率矩陣，并采用相加平均的集結(jié)方法對交叉效率矩陣進行集結(jié)，最終得到各DMU交叉效率值。

三、案例分析

表 2 7個學(xué)院投入產(chǎn)出數(shù)據(jù)

由表2最后一列可知，存在多個自評效率為1的決策單元，且無法進一步區(qū)分這些決策單元的效率大小，這說明傳統(tǒng)CCR模型難以實現(xiàn)全排序，且容易導(dǎo)致效率評價結(jié)果虛高。因此，引進交叉效率評價方法是很有必要的。通過激進型交叉效率模型對該算例進行評價，其所得交叉效率矩陣如表3。結(jié)果表明，交叉效率方法能夠?qū)崿F(xiàn)全排序，且自評和他評相結(jié)合的評價視角更為全面科學(xué)。但是，傳統(tǒng)的激進型和仁慈型模型將其余DMU全部視作敵人或盟友，這與現(xiàn)實世界的決策情景有所不符,而且會因評價結(jié)果不一致而導(dǎo)致實際應(yīng)用中難以對它們予以抉擇的難題[17]。

利用本文所提出的考慮雙參考點前景理論的交叉效率評價策略，根據(jù)式（5）～（8）計算各決策單元交叉效率值，具體結(jié)果如表4所示。

表 3 激進型交叉效率矩陣

表 4 改進的交叉效率矩陣

對比表4和表3的排序結(jié)果可以看出，一些決策單元的排序發(fā)生了較大幅度的變化。如第4個DMU排序結(jié)果從第7位躍升到了第3位，這是因為本文方法結(jié)合前景理論的概念，充分考慮決策者主觀偏好,認為不同決策者對收益和損失的感知價值存在偏差，從而導(dǎo)致最優(yōu)權(quán)重有所不同。為了進一步說明本文方法的有效性，本節(jié)選取經(jīng)典的交叉效率模型方法來對該案例的交叉效率值進行求解，并將其效率值與本文提出的模型結(jié)果相比較，具體如圖1所示。

圖 1 不同方法下決策單元交叉效率值比較

表4和圖1的計算結(jié)果表明，7個DMU中有6個DMU的排序結(jié)果都發(fā)生了不同程度的變化，其中，DMU1的改進效率值為0.753 6，排序結(jié)果下降到第4位，DMU2的改進效率值為0.886 7，排序結(jié)果上升至第2位，這是因為本文在結(jié)合前景理論的基礎(chǔ)上，考慮決策者參考點的多樣性，在不同視角的參考點設(shè)定下，決策者的參考點取值各不相同所導(dǎo)致的?？梢钥闯觯倪M后的策略模型能更準(zhǔn)確地描述在復(fù)雜實際問題中決策者心理的多重參考點，據(jù)此構(gòu)建的二次目標(biāo)交叉效率的評價策略模型更具有合理性。

值得一提的是，在圖1不同方法比較的結(jié)果中，以DMU4為例，其CCR效率值為0.819 7，進取型效率為0.401 8，仁慈型效率為0.616 0，排序均為最后一名。而采用本文方法計算效率為0.851 1，排名攀升至第3名。除了原始數(shù)據(jù)本身所造成的影響之外，排序變化的根本原因是二次目標(biāo)策略構(gòu)建思路的不同，改進方法的評價維度更加全面使得評價結(jié)果出現(xiàn)差異。本文方法對不同類型的決策者采取了不同的比較標(biāo)桿，進而影響決策評價過程中最優(yōu)權(quán)重組合的選擇。因此，DMU4排名的驟變恰恰體現(xiàn)了決策者心理預(yù)期差異對評價結(jié)果產(chǎn)生的影響。

綜上所述，本文所提出的考慮雙參考點前景理論的效率評價方法能夠通過設(shè)計內(nèi)、外兩個參考點從外部競爭優(yōu)勢和內(nèi)部自身特點來反映不同類型決策者迥異的心理預(yù)期，體現(xiàn)其面對收益和損失時風(fēng)險態(tài)度的差異性。這使得決策者對評價結(jié)果的滿意度更高，得到全面合理的效率結(jié)果，也更有利于決策者做出科學(xué)的決策判斷。

四、結(jié)束語

現(xiàn)存的有關(guān)DEA交叉效率評估方法的文獻中，較少關(guān)注決策者的主觀偏好對交叉評價策略構(gòu)建的影響。為此，本文借用前景理論，以不同決策者所表現(xiàn)出的參考點多樣性問題為突破口，從參考點所滿足的內(nèi)、外部特征入手，建立能反映不同決策者心理預(yù)期值的二次目標(biāo)交叉策略模型，更準(zhǔn)確地計算前景價值并據(jù)此求解交叉效率結(jié)果。算例表明，本文方法能得到穩(wěn)定、合理的評價排序結(jié)果。綜上所述，本文方法是將前景理論的研究結(jié)果應(yīng)用于DEA數(shù)據(jù)包絡(luò)分析的一種創(chuàng)新，也是對現(xiàn)有交叉效率評價策略的補充，對于探索現(xiàn)實中決策者的科學(xué)決策具有重要意義。