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    培養(yǎng)初中生數(shù)學思維深刻性的策略研究

    2021-12-07 15:08:29肖文記
    基礎(chǔ)教育論壇·上旬 2021年10期

    肖文記

    摘? 要:數(shù)學思維的深刻性主要表現(xiàn)為三個方面:一是縱向思維,向后能追根溯源,向前能預(yù)見未來;二是由表及里,洞悉本質(zhì),揭示事物的發(fā)展規(guī)律;三是由此及彼,在關(guān)聯(lián)中呈現(xiàn)事物之間的相互關(guān)系。文章主要就初中生數(shù)學思維的深刻性進行探討。

    關(guān)鍵詞:思維深刻性;洞悉本質(zhì);揭示規(guī)律;內(nèi)外關(guān)聯(lián)

    在初中數(shù)學教學中,發(fā)現(xiàn)學生對知識的理解存在單一化和片面化的現(xiàn)象;對問題的探討停留在固定層面上,對方法的研究沒有歸納提煉,造成學生思維的淺層次發(fā)展。為了將學生的思維引向深刻,可從以下三個方面進行探索。

    一、在洞悉本質(zhì)的過程中發(fā)展數(shù)學思維的深刻性

    大部分學生對兩位數(shù)乘法的計算停留在豎式計算層面,能否優(yōu)化算法?我們可以嘗試探究計算中的規(guī)律。例如,[152=225,] [352=1 225,] 積末尾兩位數(shù)字都是25,前面數(shù)字為十位數(shù)字和比它大1的兩數(shù)之積,由此通過口算便可以得到[452]的結(jié)果;[11×19=209,] [13×17=221,] 積末尾兩位數(shù)字為個位數(shù)字之積,前面數(shù)字為十位數(shù)字和比它大1的兩數(shù)之積,由此可得到[14×16]的結(jié)果;[11×12=132,] [14×17=238,] 積的結(jié)果也有規(guī)律,[11×12=][11+2×10+1×2=132,14×17]= [14+7×10+4×7=238,] 由此可推算[23×24=23+4×][20+3×4=552。] 深層次思考,如何驗證與推廣?這個算法模型可以用多項式乘法法則來驗證,[10a+m ·][10a+n=10a+m+n · 10a+mn,] 適用于十位數(shù)字相同的兩位數(shù)相乘。此算法從特殊到一般,從數(shù)到式,追尋本質(zhì),在洞悉本質(zhì)的過程中,學生的思維從粗淺到深刻。

    二、在揭示規(guī)律的過程中發(fā)展數(shù)學思維的深刻性

    學生對規(guī)律的探究大多停留在直觀層面,教師應(yīng)該從簡單到復雜,加強聯(lián)系,建立對應(yīng),呈現(xiàn)規(guī)律。例如,下面的圖形都是由同樣大小的平行四邊形按照一定規(guī)律組成的,第1個圖形中共有1個平行四邊形,第2個圖形中共有5個平行四邊形,第3個圖形中共有11個平行四邊形,…,按照此規(guī)律,第6個圖形中平行四邊形的個數(shù)為? ? ? ? ? ?。[圖1][圖2][圖3]

    生1:畫出第4個圖形有19個平行四邊形,發(fā)現(xiàn)相鄰兩個圖形個數(shù)之差依次為4,6,8,猜想它們的差為連續(xù)的偶數(shù),即4,6,8,10,12,14,于是第5個圖形有29個平行四邊形,第6個圖形有41個平行四邊形。

    師:還有其他思路嗎?

    生2:畫出第4個圖形有19個平行四邊形后,發(fā)現(xiàn)[19=42+3,11=32+2,5=22+1,1=12+0,] 于是第6個圖形中平行四邊形的個數(shù)應(yīng)[62+5=41。]

    師:思路很好,聯(lián)想到了平方數(shù)。

    生3:畫出第4個圖形有19個平行四邊形后,發(fā)現(xiàn)19 = 4 × 5 - 1,11 = 3 × 4 - 1,5 = 2 × 3 - 1,1 = 1 × 2 - 1,于是第6個圖形中平行四邊形的個數(shù)應(yīng)為6 × 7 - 1,即41。

    師:很特別,聯(lián)想到了相鄰兩數(shù)之積。那能求出第100個圖形中平行四邊形的個數(shù)嗎?

    生2:我先求出第n個圖形中平行四邊形的個數(shù)為[n2+n-1,] 求得第100個圖形中平行四邊形的個數(shù)為10 099。

    生3:我先求出第n個圖形中平行四邊形的個數(shù)為[n×n+1-1,] 再求出第100個圖形中平行四邊形的個數(shù)為10 099。

    師:誰能給出提供幫助?

    生4:2+4+6+8+…+[2n-1=2n+2n2-1,] 也可以求出第100個圖形中平行四邊形的個數(shù)為10 099。

    如果沒有對問題的深入探究,思維的發(fā)展就會停留在初始層面,沒到精彩處就止步了。對問題的深度挖掘,引發(fā)對規(guī)律的思考,在前后項中尋找關(guān)聯(lián),在變化中找到對應(yīng),用字母表示數(shù)觸發(fā)了代數(shù)式的萌動,式的生成揭示了數(shù)串的不同運算形式,化簡的結(jié)果讓不同的形式趨于一致,規(guī)律的呈現(xiàn)再現(xiàn)了數(shù)列的深度,體現(xiàn)了思維的深刻。

    三、在內(nèi)外關(guān)聯(lián)的過程中發(fā)展數(shù)學思維的深刻性

    學生對問題的探究大多數(shù)始于一個維度,不會從多角度去分析。因此,教師應(yīng)該引導學生從結(jié)果到原因,從外部到內(nèi)部,從現(xiàn)象到本質(zhì),深層次、多方位理解事物之間的關(guān)聯(lián)。例如,已知n是正整數(shù),[1+1n2+][1n+12]是一個有理式A的平方,求A的值。學生會從式的運算出發(fā),先通分得到[n2n+12+n+12+n2n2n+12=][n2n+12+2n2+2n+1n2+n2。] 接下來,要考慮把分子轉(zhuǎn)化成平方的形式,學生在運算的過程中會發(fā)現(xiàn)不僅項數(shù)增多了,而且還出現(xiàn)了高次項,探究就此止步。有些教師會直接告知學生,只需要把分子中的兩項提公因式,即可得到一個平方式,即[n2n+12+2nn+1+1=][n2n+1+12。] 這樣做學生雖然知道結(jié)果是對的,但是心里還有疑問,[n2n+12]為什么不展開呢?[2n2+2n]為什么要提公因式呢?這種教學方法的問題在于讓學生知其然,而不知其所以然,對問題的探究僅僅停留在式的運算技巧層面,沒有理性分析。數(shù)式結(jié)合,令n = 1,則有[1+11+14=94=322=31×22;] 令n = 2,則有[1+14+19=4936=762=2×3+12×32;] 令n = 3,則有[1+][19+116=169144=13122=3×4+13×42。] 于是可以猜想原式的運算結(jié)果應(yīng)為[n×n+1+1n×n+12。] 分子的目標是化成平方式,所以[n2n+12]不展開,[2n2+2n]要提公因式化為[2nn+1。] 這樣就有了兩個平方項與積的2倍,形成了一個標準的完全平方式,學生的疑問迎刃而解。式的運算可以借助數(shù)的運算來分析,數(shù)式關(guān)聯(lián),使學生的思維獲得深刻發(fā)展。

    從以上案例可以看出,初中生數(shù)學思維的深刻性就是由表及里,對內(nèi)要縱向深掘,洞悉事物本質(zhì);對外要橫向關(guān)聯(lián),理清事物之間的相互關(guān)系;在變化過程中,向后能回歸基點,向前能掌握趨勢,在呈現(xiàn)本質(zhì)與規(guī)律的過程中發(fā)展思維的深刻性。

    參考文獻:

    [1]王瑩. “高階思維”與學生數(shù)學“深度學習”[J].數(shù)學教學通訊(上旬),2018(7).

    [2]陳小彬. 高階思維:超越“低階”認知的全息思維[J]. 江蘇教育,2017(73).

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