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    動作·語言·符號:二年級除法意義的理解與教學

    2021-12-07 16:39:26陳文
    福建教育學院學報 2021年12期
    關鍵詞:橫式分法豎式

    陳文

    (福州市臺江實驗小學,福建 福州 350009)

    到小學數學二年級下冊除法教學時,教師們普遍存在學生對兩種分法意義混淆的教學難題。而癥結是一些教師沒有按照符合兒童認知規(guī)律來落實教學計劃。理解除法意義,只要抓住“動作”“語言”“符號”的三個步驟進行?!皠幼鳌弊畹湫偷伢w現為低年級學生動手操作學具的過程;“語言”指學生用自然語言描述數學活動的過程;“符號”指最終抽象出的數學算式。這三者之間的遞進與統(tǒng)一形成了一種樸素的數學建模過程。它由易到難,由具象到抽象,循序漸進,契合兒童認知發(fā)展的規(guī)律??梢哉f,這三個核心詞很好地貫穿了二年級下冊有關除法知識的單元學習。本文以人教2011 年課標版二年級下冊數學教科書為例對此進行闡述。

    一、始于動作:認識初體驗

    心理學家皮亞杰這樣描述兒童最初的感知運動階段:“主要認知結構是感知運動圖式。”皮亞杰還指出:“這種協(xié)調的動作中已形成了一種動作邏輯,成為以后數理邏輯結構的出發(fā)點?!保?]

    二年級學習的除法重在描述“平均分”過程與結果。為了逐步揭示除法的含義,首先,應以生活中常見的“每份同樣多”的實例和活動情境讓學生建立“平均分”的概念;其次,掌握“等分”與“包含”兩種分法;再次,在“平均分”概念的基礎上引出除法運算。無論是“平均分”的概念引入,還是“兩種分法”的意義教學,又或是“有余數的除法”的教學,都應注重初期操作體驗,將其塑造為算式符號建模的發(fā)端。

    (一)在“平均分”教學中激勵多樣化嘗試

    教科書P8 例1:“把6 顆糖分成3 份,分一分?!崩}中的“分一分”點明了操作環(huán)節(jié)的重要性。它包括學生進行分物操作的嘗試過程與結果的反饋,是建模的基礎。受思維定式影響,大部分學生會自動把每份分得同樣多,但教師要促成學生嘗試多樣化的分法,凸顯“每份同樣多”這種分法的特殊意義。

    (二)凸顯兩種分法操作的不同點

    許多學生長期混淆除法兩種分法的意義,這源于初期的操作訓練沒有扎實進行。

    1.“等分”中的操作。教科書P9 例2:“把18 個桔子平均分成6 份,每份幾個?分一分?!睂嵤┎僮髑?,學生須明了已知條件及任務——即把18 個桔子平均分成“6 份”,目的是每份分得同樣多。分物過程可能出現多種情況,只要結果是每份分得同樣多,各種分法均可,不必刻意強調過程。這往往被一些教師忽略,以至學生將此分法的重點放在“一個一個分”這樣的操作表征上。

    2.“包含”中的操作?!鞍背ㄆ鋵嵤且环N連續(xù)減法,一年級下冊出現的解決問題例題:“28 個橘子,9 個裝一袋,可以裝滿幾袋?”——已經滲透了這種連減的計算思想?!鞍狈址ㄒ彩侵匾暺骄值倪^程和方法,但和“等分”分法過程有所區(qū)別,因為“包含”分法在已知條件中規(guī)定好了:每幾個一份,你只能按照這樣分。

    二、相伴語言:認識的質飛躍

    皮亞杰認知理論中提及兒童開始從具體動作中擺脫出來,憑借象征格式在頭腦里進行“表象性思維”[2],特別是由于語言的出現和發(fā)展,促使兒童日益頻繁地用表象符號重現外界事物。與具體動作相比,語言的思維更加抽象,是認知的一個進步。

    (一)語言概述結果

    “平均分”概念的教學在大量分物操作基礎上中用語言概述結果,像這樣“每份分得同樣多”的分法,叫平均分,它突出強調的是分的結果,語言的描述成為點睛之筆;“等分”分法也是借助語言突出這樣的結果。如例2 描述為:“把18 個桔子平均分成6 份,每份(3)個”,在這種分法中借助語言來描述其分的過程和結果,為后面除法算式的教學作了很好的鋪墊,當這種操作過程到語言的體驗不斷熟練繼而轉到抽象出除法算式(符號),自然就水到渠成。

    (二)語言伴隨操作

    與前面的語言描述過程與結果不同,“包含”分法強調操作與語言表達的統(tǒng)一。在教學時可以指導學生們一邊分,一邊說:“8 個果凍,2 個一份,2 個一份……可以分成這樣的4 份。”“包含”分法的語言伴隨著操作進行,為抽象出除法算式(符號)做鋪墊。語言表征比操作抽象,又比符號形象,在低年級兒童未完全脫離抽象思維的情況下起到很好的承接作用。語言的相伴,讓除法意義的認識有了質的飛躍。

    三、歸于符號:三者互通暢

    在操作、語言之后抽象出除法算式(符號),構建了三者之間的先后關系,但是這種關系并不是單線、單向行進的。教師要引導學生建立分的過程(操作表征)、語言表達過程(語義表征)、口算過程、豎式書寫過程(符號表征)之間一一對應的關系,理順動作、語義、符號三者的關系,有來有回,使學生在理解除法意義的同時真正完成對除法算式的建模。

    (一)符號非孤立

    在進行了動作與語言模塊的鋪墊之后,要開始引導學生掌握符號,即除法算式。需要注意的是,教師不能孤立地看待符號。有些教師會提出這樣的疑問:在除法的含義中,“24÷3=8”除了表示“把24 平均分成3 份,每份8 個”以及“24 里面有8 個3”,能不能表示成“24 里面有3 個8”?筆者認為不要孤立闡述除法算式的含義,而是要結合具體的情境讓學生充分體驗平均分的過程、結果與除法算式中各數的對應關系;除法算式或語言表達其實就是分物過程的再現,脫離情境去描述除法算式的意義是不妥的。

    (二)回頭是關鍵

    許多教師也按照此三者步驟有條理地教學,但有時效果不佳,關鍵問題就是沒有從最后的“符號”回歸到“語義”與“操作”的層面。

    教科書第60 頁中的“例1:初步認識有余數除法的含義”的教學要抓住兩個要素的“對比”,其一是平均分結果的對比,其二是除法橫式的對比。教師要引導學生借助實物,從操作與語言表義的結合過渡到算式符號的抽象,并且還應從算式符號回歸圖形與語言,進行兩種情境的對比,建立有余數除法的模型。簡言之,就是看著除法算式即能用語言清晰描述操作過程?;貧w原初、順暢聯(lián)系,才算真正掌握了除法意義。

    (三)符號與橋梁

    除法豎式的建模對學生來講是一個十分困難的問題,究其根本,學生不是不懂計算,而是不懂除法豎式的含義和寫法。[3]因此,教師不僅要建立圖形與符號間的橋梁,還應建立符號與符號間的橋梁。

    教科第63 頁例3 除法豎式的教學可以不用動手擺一擺,直接根據題意(屬于“語言”范疇)寫橫式(屬于“符號”范疇),之后要從橫式再回歸語言與圖畫。此時的動作已經過渡到圖像,“數形結合”的思維變得尤其重要,這為下面豎式的書寫建立良好的基礎。實際上,豎式的書寫就是借助符號描述分物過程的一種方式。除法豎式與橫式雖同為符號,但遵循一種全新的運算模式和符號應用模式。因此,舊符號與新符號之間,新符號與圖示之間的順暢溝通變得尤為重要。在豎式學習的環(huán)節(jié)中,可以引導學生帶著兩個關鍵的問題進行自學。其一,橫式中的每個數能否在豎式中找到,即重視橫式與豎式對比;其二,能否說一說豎式中的每個數分別表示圖中的什么意思,即重視數形結合。自學后,學生可以搭建起除法中橫式與豎式、豎式與圖形互通的橋梁。

    除法意義教學中的“操作、語言、符號”不是簡單的先后三部曲,而是相伴相生、回歸順暢這樣一種充滿邏輯的關系。教師必須對其中蘊含的數理邏輯有較為深刻的把握,才能讓學生經歷循序漸進的認知過程,真正掌握蘊含其中的有關除法的數學道理。

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