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    模型思想在小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的路徑
    ——以人教版六年級上冊《比的意義》一課教學(xué)為例

    2022-01-20 04:57:44張景新
    福建教育學(xué)院學(xué)報 2021年12期
    關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)模型長方形建模

    張景新

    (廈門大學(xué)附屬實驗小學(xué),福建 漳州 363100)

    數(shù)學(xué)是一個關(guān)于模式的科學(xué)。數(shù)學(xué)建模其實是一種利用學(xué)科知識將現(xiàn)實問題作為基礎(chǔ)抽象凝練出數(shù)學(xué)模型,并利用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行描述的過程。小學(xué)生以直觀形象思維為主,漸進(jìn)抽象邏輯思維的階段,而數(shù)學(xué)概念、定理等抽象而復(fù)雜,對多數(shù)小學(xué)生來說學(xué)習(xí)難度比較大。數(shù)學(xué)模型思想的構(gòu)建能幫助學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解,提高教與學(xué)有效性,促使學(xué)生順利從形象思維過渡到抽象邏輯思維;也是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分。本文結(jié)合人教版六年級上冊《比的意義》一課的教學(xué)實踐,探討在概念教學(xué)中滲透模型思想的教學(xué)方法。

    一、動手實踐,感悟模型,感知認(rèn)知問題

    建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀認(rèn)為,知識不能簡單地由教師或他人傳授給學(xué)生,而只能由學(xué)生依據(jù)自己已有的知識和經(jīng)驗主動地加以建構(gòu)。[1]數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)是一個同化過程,是用來解決問題的工具。教學(xué)中,教師要充分利用學(xué)生的經(jīng)驗,使學(xué)生從生活經(jīng)驗中感知問題,并通過語言符號將之抽象為數(shù)學(xué)問題,最終運(yùn)用模型思維構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、尋求解決問題的方案。

    例如,在教學(xué)中筆者進(jìn)行布迷陣、造沖突,引學(xué)生入憤悱之境,誘導(dǎo)學(xué)生主動認(rèn)知,感悟理解和認(rèn)知“比”,合理地構(gòu)建數(shù)學(xué)知識的比這一概念。

    師:(投影一個長方形)在本子上畫一個形狀一樣的長方形。展示作品(如圖1):

    圖1

    師:哪個更像原圖?(生:第2 個)你的做法是什么?

    生:我應(yīng)用了直尺在空中單眼比量屏幕中長方形的長與寬大約是多少厘米,再畫出這個長方形。

    師:嗯,這樣操作有什么好處呢?

    生:因為長和寬的長度決定了長方形形狀。

    師:好方法,如果給定數(shù)值,再畫一個呢?

    師:為什么這時同學(xué)們畫的大小不同,但形狀就相同了呢?長和寬之間是怎樣決定圖形的形狀?

    生:用長除以寬,根據(jù)商不變的性質(zhì),這里長與寬的“比例”關(guān)系是確定的,相對應(yīng)的形狀就相同。

    師:如果長畫12 厘米,寬應(yīng)該畫幾厘米,形狀才不會變呢……

    師:其實這里蘊(yùn)含一種新的知識:如果長與寬處于相除關(guān)系,那么我們也稱為長與寬的比,這就是“比的意義”。

    史寧中教授認(rèn)為:“智慧并不表現(xiàn)在經(jīng)驗的結(jié)果上,也不表現(xiàn)在思考的結(jié)果上,而是表現(xiàn)在經(jīng)驗的過程,表現(xiàn)在思考的過程中?!保?]以上教學(xué)片段中,學(xué)生以長方形為認(rèn)知載體,通過觀察與繪圖,思考怎樣保證畫出的長方形形狀保持不變。在討論中,學(xué)生的觀點(diǎn)與自我的認(rèn)知互相交融,尋找到圖形變與不變的主要原因,將特征通過數(shù)的關(guān)系表征出來;然后進(jìn)行數(shù)與形的轉(zhuǎn)換,碰撞出知識的火花;最終在原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中建立起新的知識模型。教師再適時點(diǎn)撥,用規(guī)范的數(shù)學(xué)語言引導(dǎo)學(xué)生,界定“比”的本質(zhì)特性,理解其核心意義,完成由經(jīng)驗世界到理論世界的過渡。

    二、知識遷移,刻畫模型,把握概念特征

    數(shù)學(xué)概念的價值在于讓學(xué)生經(jīng)歷一系列的數(shù)學(xué)活動,深入理解并主動建模,把握概念的特征。教師要善于挖掘概念中所蘊(yùn)含的思想,結(jié)合學(xué)生的學(xué)情,把生活中反映實際問題本質(zhì)屬性的形態(tài)、數(shù)量及相互關(guān)系提煉出來,運(yùn)用數(shù)學(xué)知識之間的共性特征進(jìn)行類比遷移,在相互聯(lián)系、互相映襯的過程中完成數(shù)學(xué)表征的逐步抽象,自然地理解知識的意義與特征,并用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言提出合理表述,刻畫出模型。

    師:同學(xué)們想法真好,國旗就是根據(jù)長與寬的倍數(shù)值不變,生產(chǎn)出不同的旗面。生活中還有哪些量之間也是以倍數(shù)方式變化的例子?

    生:路程÷時間來表示速度。

    師:你能舉個例子說說嗎?

    生:一輛汽車2 小時行駛120 千米,它每小時行60 千米。

    師:那么3 小時行駛多少千米?4 小時呢?

    師:這里什么變了,什么就跟著變?

    師:這樣的變化你發(fā)現(xiàn)了什么?

    生:時間與路程是一組有規(guī)律變化的兩個量,但它們商沒變。

    師:路程除以時間,我們也說路程比時間,它們都表示速度。反之,速度是路程與時間的比。現(xiàn)在就這個例子來說說,工作效率是誰與誰的比;單價又是誰與誰的比……

    只有基于學(xué)生自己的經(jīng)驗領(lǐng)悟獲得的知識才是深刻和穩(wěn)固的。以上教學(xué)片段的回顧舊知,讓學(xué)生置身于原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重述過程,認(rèn)知與理解不同類量之間的比。這里蘊(yùn)含著兩個層次的思考:其一,知識遷移。學(xué)生通過經(jīng)驗回顧,感受知識間的共同特性,讓除法等數(shù)學(xué)知識遷移產(chǎn)生“比”的感悟。其二,倍數(shù)變化。學(xué)生思考中交流,在交流中體驗,體會量之間的變化規(guī)律,感悟變中有不變的函數(shù)思想,以此還原“比”的真正意義。

    三、對比辨析,鞏固模型,區(qū)分概念的差異

    課中數(shù)學(xué)概念的習(xí)得不僅需要舉例強(qiáng)化,也需要提供“反例”,辨析概念之間的差異,讓學(xué)生參與解釋與應(yīng)用正是對數(shù)學(xué)建模的一個不斷修正和沉淀的過程。所以,在學(xué)生形成數(shù)學(xué)模型之后,置學(xué)生于思考與應(yīng)用之中加以辨別解析,其數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)方能得以強(qiáng)化,形成完整穩(wěn)固的模型思想。

    視頻中哪個“比”具有數(shù)學(xué)意義,并說說理由。

    ①金龍魚調(diào)和油廣告(1∶1∶1);②球場上的比分變化(3∶0);③活力28 洗衣粉廣告(1∶4)。

    視頻播放寓學(xué)于趣,以問題驅(qū)動學(xué)生進(jìn)行理性思考,三段視頻中的比含義上是否相同,在前后項的變化上存在哪些區(qū)別,經(jīng)歷深度思考與觀點(diǎn)交流,辨析區(qū)分差比與倍比,從而拋棄“錯誤”模型,在數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)中刪去“偽比”,建立“真比”,也明確數(shù)學(xué)是研究有規(guī)律的學(xué)科?;谏罨毩?xí)讓“比”的特征在學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)體系中組成一個完整模式。

    四、形成思想,檢驗?zāi)P?,體會概念的價值

    《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011 年版)》強(qiáng)調(diào):“模型思想的建立是幫助學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑?!睌?shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)學(xué)科與現(xiàn)實問題之間的紐帶,完善并拓展數(shù)學(xué)模型思想是為解決實際問題提供科學(xué)有效的途徑和方法,使學(xué)生在應(yīng)用中體會概念的價值實現(xiàn)學(xué)習(xí)自主化發(fā)展。

    1.在我們班上,找一找比。

    2.有2 杯不同質(zhì)量的蜂蜜水,猜猜哪杯甜?需要知道哪些信息才能準(zhǔn)確判斷?

    比的定義來自兩數(shù)相除關(guān)系,又“不局限于”它倍數(shù)關(guān)系,史寧中教授認(rèn)為,比概念的起源與度量分不開[3]。以上練習(xí)設(shè)計,從學(xué)生熟悉的生活情境著手,提出不能品嘗但要判斷出哪杯蜂蜜水甜,引發(fā)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考,主動尋找“比”的模型知識及思想、方法去思考隱匿著的數(shù)學(xué)問題。這樣的練習(xí)教學(xué),將比的運(yùn)用歸還于度量的本源,幫助學(xué)生理解“比”意義。運(yùn)用“比”解決生活中的數(shù)學(xué)問題,可以化繁為簡,使解決問題的方法更加靈活多樣。這樣的模型運(yùn)用使學(xué)生獲得問題解決的成功體驗檢驗了模型并體會概念的價值。

    總之,在教學(xué)中,要善于引導(dǎo)學(xué)生挖掘數(shù)學(xué)知識中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)模式,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識;為學(xué)生搭建模型應(yīng)用平臺,在實踐應(yīng)用中滲透建模思想,讓思想根植于學(xué)生的內(nèi)心,提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

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