模型思想在小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的路徑
——以人教版六年級上冊《比的意義》一課教學(xué)為例

張景新

（廈門大學(xué)附屬實驗小學(xué)，福建 漳州 363100）

數(shù)學(xué)是一個關(guān)于模式的科學(xué)。數(shù)學(xué)建模其實是一種利用學(xué)科知識將現(xiàn)實問題作為基礎(chǔ)抽象凝練出數(shù)學(xué)模型，并利用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行描述的過程。小學(xué)生以直觀形象思維為主，漸進(jìn)抽象邏輯思維的階段，而數(shù)學(xué)概念、定理等抽象而復(fù)雜，對多數(shù)小學(xué)生來說學(xué)習(xí)難度比較大。數(shù)學(xué)模型思想的構(gòu)建能幫助學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解，提高教與學(xué)有效性，促使學(xué)生順利從形象思維過渡到抽象邏輯思維；也是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分。本文結(jié)合人教版六年級上冊《比的意義》一課的教學(xué)實踐，探討在概念教學(xué)中滲透模型思想的教學(xué)方法。

一、動手實踐，感悟模型，感知認(rèn)知問題

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀認(rèn)為，知識不能簡單地由教師或他人傳授給學(xué)生，而只能由學(xué)生依據(jù)自己已有的知識和經(jīng)驗主動地加以建構(gòu)。［1］數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)是一個同化過程，是用來解決問題的工具。教學(xué)中，教師要充分利用學(xué)生的經(jīng)驗，使學(xué)生從生活經(jīng)驗中感知問題，并通過語言符號將之抽象為數(shù)學(xué)問題，最終運(yùn)用模型思維構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、尋求解決問題的方案。

例如，在教學(xué)中筆者進(jìn)行布迷陣、造沖突，引學(xué)生入憤悱之境，誘導(dǎo)學(xué)生主動認(rèn)知，感悟理解和認(rèn)知“比”，合理地構(gòu)建數(shù)學(xué)知識的比這一概念。

師：（投影一個長方形）在本子上畫一個形狀一樣的長方形。展示作品（如圖1）：

圖1

師：哪個更像原圖？（生：第2 個）你的做法是什么？

生：我應(yīng)用了直尺在空中單眼比量屏幕中長方形的長與寬大約是多少厘米，再畫出這個長方形。

師：嗯，這樣操作有什么好處呢？

生：因為長和寬的長度決定了長方形形狀。

師：好方法，如果給定數(shù)值，再畫一個呢？

師：為什么這時同學(xué)們畫的大小不同，但形狀就相同了呢？長和寬之間是怎樣決定圖形的形狀？

生：用長除以寬，根據(jù)商不變的性質(zhì)，這里長與寬的“比例”關(guān)系是確定的，相對應(yīng)的形狀就相同。

師：如果長畫12 厘米，寬應(yīng)該畫幾厘米，形狀才不會變呢……

師：其實這里蘊(yùn)含一種新的知識：如果長與寬處于相除關(guān)系，那么我們也稱為長與寬的比，這就是“比的意義”。

史寧中教授認(rèn)為：“智慧并不表現(xiàn)在經(jīng)驗的結(jié)果上，也不表現(xiàn)在思考的結(jié)果上，而是表現(xiàn)在經(jīng)驗的過程，表現(xiàn)在思考的過程中?！保?］以上教學(xué)片段中，學(xué)生以長方形為認(rèn)知載體，通過觀察與繪圖，思考怎樣保證畫出的長方形形狀保持不變。在討論中，學(xué)生的觀點(diǎn)與自我的認(rèn)知互相交融，尋找到圖形變與不變的主要原因，將特征通過數(shù)的關(guān)系表征出來；然后進(jìn)行數(shù)與形的轉(zhuǎn)換，碰撞出知識的火花；最終在原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中建立起新的知識模型。教師再適時點(diǎn)撥，用規(guī)范的數(shù)學(xué)語言引導(dǎo)學(xué)生，界定“比”的本質(zhì)特性，理解其核心意義，完成由經(jīng)驗世界到理論世界的過渡。

二、知識遷移，刻畫模型，把握概念特征

數(shù)學(xué)概念的價值在于讓學(xué)生經(jīng)歷一系列的數(shù)學(xué)活動，深入理解并主動建模，把握概念的特征。教師要善于挖掘概念中所蘊(yùn)含的思想，結(jié)合學(xué)生的學(xué)情，把生活中反映實際問題本質(zhì)屬性的形態(tài)、數(shù)量及相互關(guān)系提煉出來，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識之間的共性特征進(jìn)行類比遷移，在相互聯(lián)系、互相映襯的過程中完成數(shù)學(xué)表征的逐步抽象，自然地理解知識的意義與特征，并用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言提出合理表述，刻畫出模型。

師：同學(xué)們想法真好，國旗就是根據(jù)長與寬的倍數(shù)值不變，生產(chǎn)出不同的旗面。生活中還有哪些量之間也是以倍數(shù)方式變化的例子？

生：路程÷時間來表示速度。

師：你能舉個例子說說嗎？

生：一輛汽車2 小時行駛120 千米，它每小時行60 千米。

師：那么3 小時行駛多少千米？4 小時呢？

師：這里什么變了，什么就跟著變？

師：這樣的變化你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：時間與路程是一組有規(guī)律變化的兩個量，但它們商沒變。

師：路程除以時間，我們也說路程比時間，它們都表示速度。反之，速度是路程與時間的比。現(xiàn)在就這個例子來說說，工作效率是誰與誰的比；單價又是誰與誰的比……

只有基于學(xué)生自己的經(jīng)驗領(lǐng)悟獲得的知識才是深刻和穩(wěn)固的。以上教學(xué)片段的回顧舊知，讓學(xué)生置身于原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重述過程，認(rèn)知與理解不同類量之間的比。這里蘊(yùn)含著兩個層次的思考：其一，知識遷移。學(xué)生通過經(jīng)驗回顧，感受知識間的共同特性，讓除法等數(shù)學(xué)知識遷移產(chǎn)生“比”的感悟。其二，倍數(shù)變化。學(xué)生思考中交流，在交流中體驗，體會量之間的變化規(guī)律，感悟變中有不變的函數(shù)思想，以此還原“比”的真正意義。

三、對比辨析，鞏固模型，區(qū)分概念的差異

課中數(shù)學(xué)概念的習(xí)得不僅需要舉例強(qiáng)化，也需要提供“反例”，辨析概念之間的差異，讓學(xué)生參與解釋與應(yīng)用正是對數(shù)學(xué)建模的一個不斷修正和沉淀的過程。所以，在學(xué)生形成數(shù)學(xué)模型之后，置學(xué)生于思考與應(yīng)用之中加以辨別解析，其數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)方能得以強(qiáng)化，形成完整穩(wěn)固的模型思想。

視頻中哪個“比”具有數(shù)學(xué)意義，并說說理由。

①金龍魚調(diào)和油廣告（1∶1∶1）；②球場上的比分變化（3∶0）；③活力28 洗衣粉廣告（1∶4）。

視頻播放寓學(xué)于趣，以問題驅(qū)動學(xué)生進(jìn)行理性思考，三段視頻中的比含義上是否相同，在前后項的變化上存在哪些區(qū)別，經(jīng)歷深度思考與觀點(diǎn)交流，辨析區(qū)分差比與倍比，從而拋棄“錯誤”模型，在數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)中刪去“偽比”，建立“真比”，也明確數(shù)學(xué)是研究有規(guī)律的學(xué)科?；谏罨毩?xí)讓“比”的特征在學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)體系中組成一個完整模式。

四、形成思想，檢驗?zāi)Ｐ?，體會概念的價值

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》強(qiáng)調(diào)：“模型思想的建立是幫助學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑?！睌?shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)學(xué)科與現(xiàn)實問題之間的紐帶，完善并拓展數(shù)學(xué)模型思想是為解決實際問題提供科學(xué)有效的途徑和方法，使學(xué)生在應(yīng)用中體會概念的價值實現(xiàn)學(xué)習(xí)自主化發(fā)展。

1.在我們班上，找一找比。

2.有2 杯不同質(zhì)量的蜂蜜水，猜猜哪杯甜？需要知道哪些信息才能準(zhǔn)確判斷？

比的定義來自兩數(shù)相除關(guān)系，又“不局限于”它倍數(shù)關(guān)系，史寧中教授認(rèn)為，比概念的起源與度量分不開［3］。以上練習(xí)設(shè)計，從學(xué)生熟悉的生活情境著手，提出不能品嘗但要判斷出哪杯蜂蜜水甜，引發(fā)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，主動尋找“比”的模型知識及思想、方法去思考隱匿著的數(shù)學(xué)問題。這樣的練習(xí)教學(xué)，將比的運(yùn)用歸還于度量的本源，幫助學(xué)生理解“比”意義。運(yùn)用“比”解決生活中的數(shù)學(xué)問題，可以化繁為簡，使解決問題的方法更加靈活多樣。這樣的模型運(yùn)用使學(xué)生獲得問題解決的成功體驗檢驗了模型并體會概念的價值。

總之，在教學(xué)中，要善于引導(dǎo)學(xué)生挖掘數(shù)學(xué)知識中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)模式，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識；為學(xué)生搭建模型應(yīng)用平臺，在實踐應(yīng)用中滲透建模思想，讓思想根植于學(xué)生的內(nèi)心，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。