流傳千年的“雞兔同籠”問題

文 方秀林

大約1500 年前，我國古代數(shù)學名著《孫子算經(jīng)》中記載了一道數(shù)學趣題——“雞兔同籠”問題。

今有雉兔同籠，上有三十五頭，

下有九十四足，問雉兔各幾何？

這道題的意思就是：有若干只雞兔同在一個籠子里，從上面數(shù)，有35 個頭，從下面數(shù)，有94只腳。問籠中各有幾只雞和兔？

相信大家在小學里就遇到過，下面我們來重溫幾種經(jīng)典的解法：

最古老的“砍足法”

假設砍掉每只雞、每只兔一半的腳，則每只雞就變成了“獨腳雞”，每只兔就變成了“雙腳兔”。這樣，雞和兔的腳的總數(shù)就由94 只變成了47 只。而每只雞的頭數(shù)和腳數(shù)之比變?yōu)?∶1，每只兔的頭數(shù)和腳數(shù)之比變?yōu)?∶2。如果籠子里有一只雙腳兔，則腳的數(shù)量就比頭的數(shù)量多1。因此，獨腳雞和雙腳兔的總腳數(shù)47與總頭數(shù)35的差，就是兔子的只數(shù)，即47-35=12（只）。所以，雞的只數(shù)就是35-12=23（只）了。這正是《孫子算經(jīng)》給出的解答。

如果你覺得這段分析還是像繞口令一樣容易把人繞暈的話，那就來看看我們初中教材中給出的解法吧。

最萬能的“方程組法”

所以籠中有雞23只，兔12只。

比較這兩種解法，不難發(fā)現(xiàn)“砍足法”的解題思路其實就是“方程組法”中解方程組的過程：將方程②的兩邊都除以2，得x+2y=47，然后減去方程①，即可得出y 的值，即兔的只數(shù)。

最簡單的“抬腳法”

讓兔子和雞同時抬起兩只腳，這樣籠子里站立的腳就減少了頭數(shù)乘2 只，由于雞只有2 只腳，這時候雞只能一屁股坐地上了，所以籠子里站立的只剩下兔子的兩只腳，再除以2就是兔子數(shù)。

兔子的只數(shù)：（94-35×2）÷2=12（只），

雞的只數(shù)：35-12=23（只）。

這種方法的解題思路也可以用“方程組法”中解方程組的過程來解釋：將方程①的兩邊同時乘2，得2x+2y=70，然后用方程②減之，得2y=24，兩邊再除以2，即可得出y的值，即兔的只數(shù)。

總之，我們只要學會把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，把實際問題的相等關系用方程來表示，有幾個未知量列出幾個方程，就可以輕松利用解方程組的方法解決很多原來覺得很困難的問題了，這也是方程（組）法被稱為“萬能法”的重要原因，“萬能法”也是實至名歸。