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    “消元”為主線“轉化”是關鍵

    2021-12-05 04:10:45李建華
    初中生世界 2021年21期
    關鍵詞:消元頭牛日記本

    文 李建華

    方程(組)是刻畫現(xiàn)實世界有效的數學模型,作為“方程家族”中的一員,二元一次方程(組)延伸和拓展了一元一次方程所學過的知識,在現(xiàn)實生活中有著廣泛的應用,也是中考數學試題中的“??汀薄T诒菊碌膶W習過程中,我們不妨從中考的典型問題出發(fā),抓住“消元”為主線,銘記“轉化”是關鍵,以不變應萬變,從而解決問題。接下來,就開始我們的探索之旅吧!

    一、二元一次方程組的解法

    例1(2020·廣西玉林)解方程組:

    【分析】觀察方程組未知數的特征,不難發(fā)現(xiàn)兩種解題思路:(1)用代入消元法,注意方程組中第1 個方程中未知數x 的系數為1,可用含y 的代數式表示x,代入第2 個方程消去x,得到一個關于未知數y 的一元一次方程,從而可解;(2)用加減消元法,在第2 個方程的兩邊同時乘3,與第1 個方程相加,可以消去未知數y,得到一個含有未知數x 的一元一次方程,從而可解。

    解:(解法1)

    由①,得x=3y-2,③

    把③代入②,得2(3y-2)+y=3,

    解這個一元一次方程,得y=1,

    把y=1代入③,得x=1,

    ①+②×3,得7x=7,

    解得x=1,

    把x=1代入①,得y=1,

    【點評】本題考查了二元一次方程組的常見解法(代入消元法與加減消元法),兩種方法都可以達到“消元”的目的,轉化為一元一次方程求解。我們在解這類問題時,應仔細觀察,注意方程的特征,靈活運用所學方法消去未知數,以達到簡化運算的目的。

    例2(2020·江蘇南京)已知x、y 滿足方程組則x+y的值為_____。

    【分析】①+②×2 得5x+5y=5,兩邊同除以5 即可求得x+y=1。故答案為1。

    【點評】本題考查了二元一次方程組的解法。除了利用常規(guī)解法,我們還可以根據方程組的特點,利用“整體思想”來解決本題,這也恰是本題的考查目的。

    二、用二元一次方程(組)解決問題

    例3(2020·湖北黃石)我國傳統(tǒng)數學名著《九章算術》記載:“今有牛五、羊二,直金十九兩;牛二、羊五,直金十六兩。問牛、羊各直金幾何?”譯文:“假設有5 頭牛、2 只羊,值19 兩銀子;2 頭牛、5 只羊,值16 兩銀子。問每頭牛、每只羊分別值銀子多少兩?”根據以上譯文,提出以下兩個問題:

    (1)求每頭牛、每只羊各值多少兩銀子?

    (2)若某商人準備用19 兩銀子買牛和羊(要求既有牛也有羊,且銀兩須全部用完),請問商人有幾種購買方法?列出所有的可能。

    【分析】(1)設每頭牛值x兩銀子,每只羊值y 兩銀子,根據“5 頭牛、2 只羊,值19 兩銀子;2 頭牛、5 只羊,值16 兩銀子”,即可得出關于x、y的二元一次方程組,解之即可得出結論;

    (2)可設購買a 頭牛,b 只羊,根據買牛和羊用19 兩銀子(要求既有牛也有羊,且銀兩須全部用完),列出方程,再根據求二元一次方程的整數解即可求解。

    解:(1)設每頭牛值x 兩銀子,每只羊值y兩銀子。

    答:每頭牛值3 兩銀子,每只羊值2 兩銀子。

    (2)設購買a頭牛,b只羊。

    因為a、b 都是正整數,所以,商人有3 種購買方法:①購買1 頭牛,8 只羊;②購買3 頭牛,5 只羊;③購買5 頭牛,2 只羊。

    【點評】本題考查了二元一次方程(組)的應用,找出問題中的相等關系,正確列出二元一次方程(組)是解題的關鍵。本題源自數學名著《九章算術》,而在我國其他數學著作中也有很多關于二元一次方程(組)的應用問題,同學們可以查閱相關材料,了解我國古人對數學文化的貢獻。

    三、一次方程組的綜合運用

    例4(2020·江蘇揚州)閱讀感悟:

    有些關于方程組的問題,欲求的結果不是每一個未知數的值,而是關于未知數的代數式的值,如以下問題:

    已知實數x、y 滿足3x-y=5①,2x+3y=7②,求x-4y和7x+5y的值。

    本題常規(guī)思路是將①②兩式聯(lián)立組成方程組,解得x、y 的值再代入欲求值的代數式得到答案,常規(guī)思路運算量比較大。其實,仔細觀察兩個方程未知數的系數之間的關系,本題還可以通過適當變形整體求得代數式的值,如由①-②可得x-4y=-2,由①+②×2可得7x+5y=19。這樣的解題思想就是通常所說的“整體思想”。

    解決問題:

    (2)某班級組織活動購買小獎品,買20支鉛筆、3 塊橡皮、2 本日記本共需32 元,買39 支鉛筆、5 塊橡皮、3 本日記本共需58 元,則購買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需多少元?

    (3)對于實數x、y,定義新運算:x*y=ax+by+c,其中a、b、c是常數,等式右邊是通常的加法和乘法運算。已知3*5=15,4*7=28,那么1*1=_____。

    【分析】(1)由利用①-②可得出x-y的值,利用(①+②)÷3 可得出x+y的值;

    (2)設鉛筆的單價為m元,橡皮的單價為n元,日記本的單價為p元,根據“買20 支鉛筆、3 塊橡皮、2 本日記本共需32 元,買39 支鉛筆、5 塊橡皮、3 本日記本共需58 元”,即可得出關于m,n,p的三元一次方程組,可得m+n+p的值,再乘5即可求出結論;

    (3)根據新運算的定義可得出關于a,b,c的三元一次方程組,可得出a+b+c的值,即1*1的值。

    解:(1)

    由①-②,得x-y=-1,

    由(①+②)÷3,得x+y=5。

    故答案為-1,5。

    (2)設鉛筆的單價為m元,橡皮的單價為n元,日記本的單價為p元,

    由2×①-②,可得m+n+p=6,

    ∴5m+5n+5p=5×6=30。

    答:購買5 支鉛筆、5 塊橡皮、5 本日記本共需30元。

    由3×①-2×②,得a+b+c=-11,

    即1*1=-11。

    故答案為-11。

    【點評】本題考查了一次方程組的綜合應用,解題的關鍵是運用“整體思想”求解。本題的第(3)問要利用新定義列出方程組,為解決問題增加了難度,但萬變不離其宗,同學們只要緊緊抓住問題的本質,選對解法,便能以不變應萬變。

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