深水隨機波列中畸形波統(tǒng)計特征的研究

付睿麗，馬玉祥*，董國海

(1.大連理工大學(xué) 海岸和近海工程國家重點實驗室，遼寧 大連 116023)

1 引言

畸形波，也稱突發(fā)巨浪、瘋狗浪，是指波高不小于 2 倍有效波高（H≥ 2Hs）的波浪[1]。這類波浪因其波高巨大且發(fā)生突然，可對海洋結(jié)構(gòu)物和人類生命安全造成嚴(yán)重的威脅[2–6]?；尾ǖ慕y(tǒng)計特征和產(chǎn)生機理研究一直是海洋工程領(lǐng)域研究的熱點問題。通過大量數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析是了解畸形波特征的關(guān)鍵，然而由于畸形波的突發(fā)性，現(xiàn)場觀測得到的數(shù)據(jù)非常稀少，這對揭示畸形波的特征帶來了巨大的挑戰(zhàn)。物理模型試驗是研究畸形波的重要途徑，然而獲取大量數(shù)據(jù)需要開展大量的物理模型試驗，導(dǎo)致成本極其高昂，并且受到水池尺寸的限制，數(shù)據(jù)不可避免受到水深和邊壁反射的影響。

以往大量研究表明，Longuet-Higgins隨機波浪模型[7]可以很好地描述波浪的統(tǒng)計特征，廣泛應(yīng)用于海洋工程等領(lǐng)域的波浪要素統(tǒng)計、波浪荷載計算和結(jié)構(gòu)安全設(shè)計等方面[8]。因此應(yīng)用Longuet-Higgins隨機波浪模型產(chǎn)生大量的數(shù)值仿真波浪是開展波浪統(tǒng)計特征研究的有效方法。Gemmrich和Garrett[9]通過Longuet-Higgins隨機波浪模型，利用WAFO工具箱[10]，分析了不同譜寬波況中畸形波的重現(xiàn)期，發(fā)現(xiàn)畸形波的重現(xiàn)期僅與譜寬有關(guān)。與其他產(chǎn)生隨機波浪時間序列的方法相比，該工具箱可快速生成足夠長時間的隨機波浪時間序列，且波面無重復(fù)。隨后，Gemmrich和Garrett[11]分析了有限水深中畸形波的重現(xiàn)期，發(fā)現(xiàn)隨著水深變淺，該波的發(fā)生頻率顯著增加。Ghane等[12]利用該模型推導(dǎo)了大于不同波高閾值的波浪持續(xù)時間和振幅的聯(lián)合分布。潘玉萍等[13]利用Longuet-Higgins模型計算了波高?周期聯(lián)合概率密度分布，并與美國浮標(biāo)站實測的典型雙峰海浪譜進行對比，發(fā)現(xiàn)計算的波高與周期聯(lián)合分布與實測情況基本相同?；贚onguet-Higgins隨機波浪模型，毛青等[14]進行了大量隨機波的模擬，發(fā)現(xiàn)隨機波列中出現(xiàn)的畸形波的波高、周期分布符合廣義極值分布（GEV分布），畸形波出現(xiàn)的時間間隔符合指數(shù)分布。在極端環(huán)境下，比如風(fēng)暴過程，海況的參數(shù)是變化的，一般假定一個固定時間內(nèi)，如3 h，海浪的參數(shù)不變[15]。在這段時間內(nèi)，畸形波的出現(xiàn)頻率及間隔時間的分布尚不清楚。很多研究表明，畸形波并不是突然出現(xiàn)的，而大部分是從能量集中的波群中演化出來的[16–18]。因此，研究畸形波所在波群的形態(tài)特征和能量分布是深入了解畸形波的必要途徑。Osborne等[19]研究表明在巨大波峰前后都會形成深谷；Clauss[20]發(fā)現(xiàn)畸形波往往以波群形式出現(xiàn)，在巨浪出現(xiàn)前后也會出現(xiàn)連續(xù)的大波。崔成等[21]分析了畸形波群的內(nèi)部能量，發(fā)現(xiàn)在畸形波生成前、后出現(xiàn)的過渡大波中也包含大量高頻能量,內(nèi)部結(jié)構(gòu)和畸形波類似。很多原場觀測資料表明[22–24]，一個波群中會有連續(xù)的兩個甚至3個畸形波產(chǎn)生。然而到目前為止，對隨機波列中出現(xiàn)畸形波波群的形態(tài)特征的分析仍然不明確，這制約著對畸形波群的生成機理、演化過程及內(nèi)部結(jié)構(gòu)等方面的研究。

本文采用Longuet-Higgins理論隨機波浪模型，基于JONSWAP譜生成大量的隨機波面序列，并分析了一定時間內(nèi)畸形波的發(fā)生頻率和時間間隔的分布特征，及譜寬對其分布的影響。隨后基于小波能量譜分析波群的方法[24]，將隨機時間序列分解成獨立波群的組合，進而分析了畸形波群中包含不同畸形波個數(shù)的比 例和畸形波群時間跨度的分布特征等。

2 波浪模型

2.1 理論隨機波浪模型

Longuet-Higgins理論隨機波浪模型假設(shè)波面由很多單色波疊加而成，在二維波況下，波面表示為[7]

式中，an、ωn、kn、φn分別為第n個波浪元素的振幅、頻率、波數(shù)和初始相位；N為總波浪元素個數(shù)。每個波浪元素的頻率和波數(shù)滿足色散關(guān)系

式中，h為水深；g為重力加速度。

2.2 波浪參數(shù)選擇

本文利用WAFO工具箱[10]，選擇JONSWAP譜[25]生成隨機波面序列，譜峰升高因子γ從1到7變化，深水隨機波浪選擇南海1年一遇的波浪參數(shù)，即有效波高選擇Hs=6 m、譜峰周期為Tp=11 s[26]。每組時間序列包含150萬個波浪，時間間隔為dt=0.1 s，在該波浪個數(shù)下，畸形波的發(fā)生概率已趨于穩(wěn)定，每組波況包含20個樣本。不同譜寬隨機時間序列中，包含150萬個波浪個數(shù)的時間序列長度T0見表1。

表1 不同譜寬的時間序列長度[27]Table 1 Time series lengths for different spectrum widths

在本文中，畸形波的定義為波高不小于2倍有效波高（H≥2Hs）的波浪[1]，其中波高通過下跨零點法計算。

譜寬參數(shù)[28]為

式中，m為譜的矩；譜的r階矩為

研究表明，不同譜寬的畸形波的發(fā)生概率小于基于Rayleigh的分布預(yù)測結(jié)果（0.033 3%）。與實測海況畸形波發(fā)生概率相比，當(dāng)譜峰升高因子γ=1～3時，對應(yīng)的畸形波發(fā)生概率與臺灣島的概率接近[29]，而當(dāng)γ=7時，對應(yīng)的畸形波發(fā)生概率與江蘇海岸的概率接近[30]，這些波況的畸形波發(fā)生概率均小于北海、印度洋、大西洋等的畸形波發(fā)生概率[28,31]。

3 畸形波統(tǒng)計特征分析

3.1 畸形波的發(fā)生頻次

根據(jù)Rayleigh分布的統(tǒng)計結(jié)果，畸形波大約在3 000個波浪中出現(xiàn)1次[32]。但目前研究對畸形波發(fā)生頻次分布的研究仍然較少。在實際海況中，一場風(fēng)暴固定有效波高不變的時間一般為3 h（T）[15]。因此，分析在3 h內(nèi)，畸形波發(fā)生頻次的分布非常重要。分析方法如下：

（1）將總時間為T0s的時間序列等分為n段時間長度為T（10 800 s）的時間序列，即

（2）分析在時間T內(nèi)畸形波出現(xiàn)頻次的分布特征，圖1展示了γ=1，3，5，7時，畸形波發(fā)生頻次的概率密度曲線。經(jīng)過χ2檢驗，該曲線符合泊松分布，且泊松分布參數(shù)λ與譜寬υ呈線性關(guān)系（圖2），隨著譜寬增加，泊松分布參數(shù)線性降低，具體為

圖1 γ=1,3,5,7 時，時間T 內(nèi)畸形波發(fā)生頻率的概率密度分布Fig.1 Probability distributions of frequency of freak waves for different peak enhancement factors (γ=1,3,5,7)

圖2 泊松分布參數(shù)λ與譜寬υ的關(guān)系Fig.2 Relationships between Poisson distribution parameterλ and spetrum widthsυ

因此，當(dāng)γ=1～7時，在Ts內(nèi)，發(fā)生m次的畸形波的概率P(m)為

為驗證公式（7）的準(zhǔn)確性，選擇譜峰因子為γ=2，4，6 的時間序列進行測試。經(jīng)檢驗，當(dāng)γ=2，4，6 時，時間T內(nèi)畸形波的發(fā)生頻次同樣服從泊松分布。根據(jù)式（7）計算發(fā)生1次、2次畸形波的概率，并與WAFO工具箱生成的數(shù)值時間序列得到的概率值比較，相對誤差見表2，其中相對誤差為

由表2可見，式（7）計算得到的畸形波發(fā)生頻次的概率與數(shù)值結(jié)果誤差不超過2.2%，說明式（7）可以較準(zhǔn)確地估算出深水條件下在3 h內(nèi)發(fā)生畸形波頻次的概率。進一步地，改變時間T，驗證泊松分布參數(shù)的魯棒性。分別分析了T=6 h，9 h，12 h 內(nèi)畸形波的發(fā)生頻次，發(fā)現(xiàn)在不同時間段內(nèi)畸形波的發(fā)生次數(shù)均服從泊松分布，且泊松分布系數(shù)λ保持不變，說明在理論隨機波浪模型中，畸形波發(fā)生次數(shù)的概率分布較穩(wěn)定，不隨時間范圍變化。

表2 不同譜寬下畸形波出現(xiàn)不同頻次概率的預(yù)測值與數(shù)值結(jié)果對比Table 2 Comparisons of the numerical and predicted values of possibility for frequencies of freak waves

3.2 相鄰畸形波的時間間隔

進一步分析相鄰畸形波之間的時間間隔分布，其中畸形波的時間間隔根據(jù)畸形波對應(yīng)的下跨0點的時間差確定。不同譜寬下，相鄰畸形波的無量綱時間間隔（以譜峰周期Tp為標(biāo)準(zhǔn)）的概率分布見圖3，紅色實線表示指數(shù)分布擬合的曲線，經(jīng)過K-S檢驗，相鄰畸形波的時間間隔Td服從指數(shù)分布，即

圖3 γ=1，3，5，7 時，畸形波出現(xiàn)時間間隔分布Fig.3 Probability distributions of time intervals of freak waves for different peak enhancement factors (γ=1,3,5,7).

式中，Td為相鄰畸形波的時間間隔；Tp為譜峰周期；μ為指數(shù)分布參數(shù)。

不同譜寬的指數(shù)分布參數(shù)μ與譜寬的關(guān)系見圖4，隨著譜寬υ的增加，指數(shù)分布參數(shù)μ線性增加，即隨著譜寬的增加，相鄰畸形波的時間間隔逐漸增大。具體滿足

圖4 指數(shù)分布參數(shù)μ 與譜寬υ的關(guān)系Fig.4 Relationships between exponential distribution parameterμ and spetrum wdthsυ

因此，相鄰畸形波的時間間隔Td的概率分布為

為驗證式（11）的準(zhǔn)確性，選擇γ=2，4，6 的波況進行測試，根據(jù)式（11）分別計算相鄰畸形波的出現(xiàn)時間間隔分別為Td/Tp=0.5×104，1.5×104的概率，并與數(shù)值統(tǒng)計結(jié)果進行對比，見表3。預(yù)測值與數(shù)值結(jié)果的誤差在5%以內(nèi)，說明式（11）可以準(zhǔn)確地估算出γ=1～7時相鄰畸形波的時間間隔。

表3 不同譜寬下相鄰畸形波時間間隔預(yù)測值與數(shù)值結(jié)果對比Table 3 Comparisons of the numerical and predicted values of intervals of adjacent freak waves

3.3 畸形波群波形特征及時間跨度

畸形波發(fā)生突然且持續(xù)時間較短，對于單一畸形波特征的分析具有很大的不確定性，而畸形波往往產(chǎn)生于獨立的波群中。因此，通過分析波群，可以更方便準(zhǔn)確地分析包含畸形波的波群特征。

在本文中，根據(jù)小波能量譜，將時間序列分解成獨立的波群[24]。根據(jù)波群中包含畸形波的數(shù)量，可以分為只有一個畸形波的波群和包含多個畸形波的波群。在本次分析中，發(fā)現(xiàn)一個畸形波群最多包含4個畸形波。對于單個畸形波的波群，畸形波同時具有最深波谷和最高波峰的比例最高。但也有些波群，最深波谷和最高波峰在畸形波附近出現(xiàn)。對于包含多個畸形波的波群，畸形波有可能連續(xù)出現(xiàn)，也有可能間斷出現(xiàn)。具體畸形波群的特征總結(jié)見表4。

表4 波群中包含畸形波的類型Table 4 Classifications of freak waves in wave groups

不同譜寬下各類不同特征畸形波群所占的比例如圖5所示?？梢钥闯?，當(dāng)γ=1時，只有一個畸形波的波群占99.33%，隨著譜峰升高因子增加（譜寬變窄），畸形波群中包含多個畸形波的比例逐漸增加；當(dāng)γ=7時，只有1個畸形波的波群占88.91%，包含2個畸形波的波群占9.32%，1個畸形波群中最多可以包含4個畸形波，但概率非常小，最大僅為0.54%。對于只有1個畸形波的波群，畸形波同時具有最深波谷和最高波峰的概率最大，占64%以上。

圖5 不同譜峰因子下，不同畸形波特征所占比例Fig.5 Proportions of each characteristic of freak waves for different peak enhancement factors

隨后，分析畸形波群的時間長度分布，不同譜峰因子下，畸形波群的無量綱時間長度概率分布見圖6。隨著譜寬變窄，畸形波群的時間長度范圍逐漸增加。當(dāng)γ=1時，畸形波群最有可能出現(xiàn)的無量綱時間長度為7個譜峰周期，而當(dāng)γ=7時，畸形波群的無量綱時間長度的眾數(shù)為11個譜峰周期，且不同時間長度的概率分布逐漸均勻。通過K-S檢驗法，不同譜寬的畸形波無量綱時間長度可以較好的服從GEV分布。

圖6 γ=1，3，5，7 時，畸形波群無量綱時間長度概率分布Fig.6 Probability distributions of non-dimensional time lengths of freak wave groups for different peak enhancement factors (γ=1,3,5,7)

在 GEV 分布中，包含 3 個參數(shù)：a,b,c。因此，畸形波群無量綱時間長度可表示為

不同譜寬下，系數(shù)a,b,c的變化見圖 7。隨譜寬變窄，系數(shù)a,b呈指數(shù)增加，而c更符合線性增長。具體為

圖7 GEV 系數(shù)與譜寬υ的關(guān)系Fig.7 Relationships between parameters of GEV distribution and spetrum widthsυ

為驗證式（12）和式（13）的適用性，選擇譜峰因子γ=2，4，6 進行驗證。根據(jù)式（12）和式（13）計算畸形波群無量綱時間跨度的眾數(shù)，并與WAFO工具箱生成波面的數(shù)值結(jié)果比較，見表5?？梢钥闯?，式（12）和式（13）計算的畸形波群無量綱時間跨度與數(shù)值結(jié)果幾乎完全一致，說明式（12）和式（13）能夠較準(zhǔn)確地計算出不同譜寬下畸形波群無量綱時間長度分布。

表5 畸形波群無量綱時間長度眾數(shù)預(yù)測值與數(shù)值結(jié)果對比Table 5 Comparisons of the numerical and predicted modes of the non-dimensional lengths of freak wave groups

4 結(jié)論

本文基于Longuet-Higgins隨機波浪模型，選擇南海1年一遇的波浪參數(shù)（有效波高選擇Hs=6 m、譜峰周期為Tp=11 s[26]），利用 WAFO 工具箱，模擬了畸形波發(fā)生概率穩(wěn)定的不同譜寬JONSWAP譜的隨機波列。研究表明，當(dāng)畸形波定義為波高不小于2倍有效波高（H≥2Hs）時，隨機序列中畸形波的出現(xiàn)次數(shù)小于瑞利分布對應(yīng)的概率值。在固定時間段內(nèi)，畸形波出現(xiàn)的次數(shù)服從泊松分布，而出現(xiàn)時間間隔服從指數(shù)分布，且隨著譜寬的增加，畸形波在最有可能發(fā)生的頻次線性減小，而相鄰畸形波出現(xiàn)的時間間隔相應(yīng)增加。

此外，基于小波變換方法分離出隨機波中的波群[24]，進而研究了出現(xiàn)畸形波的波群特征。發(fā)現(xiàn)在一個波群中，最多可出現(xiàn)4個畸形波，存在單個畸形波且該波同時具有最深波谷和最大波峰的可能性最大，約占64%以上；一個波群中出現(xiàn)2個畸形波的概率最大為9.32%，3個畸形波的概率最大為1.23%，4個畸形波的概率最大為0.54%。隨著譜寬變窄，一個波群中包含多個畸形波的概率增加，而出現(xiàn)單個畸形波的概率相應(yīng)減小。出現(xiàn)畸形波的波群時間長度服從GEV分布，且隨著譜寬變窄，出現(xiàn)的畸形波群的時間跨度逐漸增加。