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    梳理歸納,易錯題不再錯

    2021-12-03 10:26:33
    初中生世界 2021年17期
    關鍵詞:公因式因式項數(shù)

    文 何 樂

    因式分解是初中數(shù)學學習的重要內(nèi)容之一,是同學們后續(xù)學習一元二次方程以及二次函數(shù)的重要基礎,是解決許多數(shù)學問題的重要工具。多項式因式分解有如下特點:(1)分解的結(jié)果一定是積的形式;(2)每個因式必須是整式;(3)各因式要分解到不能分解為止。因式分解與整式乘法是兩種互逆變形,容易混淆,發(fā)生錯誤。

    一、概念理解錯誤

    例1觀察下列從左到右的變形:

    (1)-6a3b3=(2a2b)(-3ab2);

    (2)ma-mb+c=m(a-b)+c;

    (3)6x2+12xy+6y2=6(x+y)2;

    (4)(3a+2b)(3a-2b)=9a2-4b2;

    其中是因式分解的有________(填序號)。

    【錯解】(1)(3)。

    【錯因分析】把一個多項式化為幾個整式的積的形式,叫作多項式的因式分解。(1)中-6a3b3不是多項式,不能進行因式分解。

    【正解】(3)。

    例2因式分解:4a2-4a+1。

    【錯解】4a2-4a+1=4a(a-1)+1。

    【錯因分析】從錯解的結(jié)構(gòu)來看,雖然第一項是積的形式,但整體上還是和的形式。錯解曲解了因式分解的概念,誤認為只要結(jié)果中有整式的積即可,忽視了分解的結(jié)果一定是積的形式這一要素。

    【正解】4a2-4a+1=(2a-1)2。

    二、提公因式錯誤

    例3因式分解:-xy2+2xy-x。

    【錯解】-xy2+2xy-x=-x(y2-2y)。

    【錯因分析】多項式有公因式時,先提取公因式,然后再運用其他方法分解。本題中多項式的項數(shù)是三項,那么提取公因式后,項數(shù)仍應該為三項。

    【正解】-xy2+2xy-x

    =-x(y2-2y+1)=-x(y-1)2。

    三、符號運算錯誤

    例4因式分解:2a(a-2b)+4b(2b-a)。

    【錯解】2a(a-2b)+4b(2b-a)=(2a+4b)(a-2b)=2(a+2b)(a-2b)。

    【錯因分析】找公因式時,將(2b-a)轉(zhuǎn)化為相反數(shù)(a-2b)時符號出錯,當一個數(shù)用相反數(shù)表示時要添加負號。

    【正解】2a(a-2b)+4b(2b-a)=(2a-4b)(a-2b)=2(a-2b)(a-2b)=2(a-2b)2。

    四、乘法運算與因式分解混淆

    例5因式分解:4a2-36。

    【錯解】4a2-36=4(a2-9)=4(a+3)(a-3)=4(a2-9)。

    【錯因分析】錯解的最后一步與因式分解背道而馳,是整式乘法運算。這種走“回頭路”的錯誤現(xiàn)象很常見,其原因是分不清整式乘法運算與因式分解的概念,對分解到不能再分解為止的目標不夠明確。

    【正解】4a2-36=4(a2-9)=4(a+3)(a-3)。

    五、分解不徹底

    例6因式分解:(x2+4)2-16x2。

    【錯解】(x2+4)2-16x2=(x2+4+4x)(x2+4-4x)。

    【錯因分析】因式分解不徹底。結(jié)果中的兩個因式都是完全平方式,還可以繼續(xù)分解。

    【正解】(x2+4)2-16x2=(x2+4+4x)(x2+4-4x)=(x-2)2(x+2)2。

    六、分組分解錯誤

    例7因式分解:x2-y2+1-2x。

    【錯解】x2-y2+1-2x=(x+y)(x-y)+1-2x。

    【錯因分析】從因式分解的定義看,把一個多項式化為幾個整式的積的形式,叫作多項式的因式分解。但錯解的結(jié)果仍然是和的形式,我們應該先觀察多項式的特征,先合并局部分解,再對整體分解。

    【正解】x2-y2+1-2x=x2-2x+1-y2=(x-1)2-y2=(x+y-1)(x-y-1)。

    因式分解問題應首先考慮能否提公因式,找公因式應從系數(shù)、字母和字母的指數(shù)三個方面分別考慮。沒有公因式或提公因式后,再根據(jù)項數(shù)考慮公式法:兩項則考慮是否可用平方差公式;三項則考慮是否可用完全平方公式;三項以上則應考慮使用分組分解法。最后再從因式分解的三個特點逐一檢查。

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