數(shù)的發(fā)展概要

文 韓 松

“數(shù)”發(fā)源于遠(yuǎn)古時(shí)期人們對(duì)事物個(gè)數(shù)記錄的需要。比如，人們捕獲一個(gè)獵物，就在繩子上打個(gè)結(jié)，再捕獲一個(gè)，再打一個(gè)結(jié)……這就是結(jié)繩計(jì)數(shù)。就這樣，人們?cè)凇皵?shù)數(shù)”的過程中，逐步發(fā)展出自然數(shù)的概念。

人類對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)是從1 開始。在1 的基礎(chǔ)上加1，再加1，再加1，不斷加1，只要有足夠的時(shí)間和耐心，就可以達(dá)到任何一個(gè)自然數(shù)，要多大有多大。

但是，較大的數(shù)怎么表示呢？比如要表示“百”“萬”這些大數(shù)，用我們祖先“打結(jié)”“畫道道”的方法就太麻煩了。于是，人們就想出了用“百”“萬”這些專用的字來表示，更大的數(shù)量單位還有億、兆、京……但是，文字畢竟是有限的，遇到再大的數(shù)又該怎么辦呢？于是就有了十進(jìn)制的“位值記數(shù)法”。你可知道？人類從會(huì)記數(shù)到像今天這樣記數(shù)，經(jīng)歷了5000 多年呢！

如果只是數(shù)數(shù)人、水果、動(dòng)物的個(gè)數(shù)，自然數(shù)也就夠用了。但是實(shí)際生活還需要測(cè)量物體的長度、土地的面積、液體的體積等，有時(shí)還需要對(duì)物體進(jìn)行平均分配，此時(shí)，自然數(shù)就不夠用了，就要用到分?jǐn)?shù)、小數(shù)了。

從算術(shù)的運(yùn)算來看，如果只有自然數(shù)，那么加法和乘法就夠用了。有了分?jǐn)?shù)，除法就可以暢通無阻了。但想要讓減法通行無阻，就必須有負(fù)數(shù)，因?yàn)橛袝r(shí)不夠減。當(dāng)然，負(fù)數(shù)并不是數(shù)學(xué)家為了做減法而在頭腦中創(chuàng)造出來的。負(fù)數(shù)，最早是在貿(mào)易活動(dòng)中被創(chuàng)造出來的，人們用它來記債務(wù)。在中國古代，正、負(fù)數(shù)分別用不同的顏色來記，用來表示相反意義的量。

有了正負(fù)整數(shù)、正負(fù)分?jǐn)?shù)和0，加減乘除就可以暢通無阻了（只要0 不作為除數(shù)），這些數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。一切似乎都很完美了。盡管有理數(shù)在實(shí)際生活中已經(jīng)足夠了，但是，從算術(shù)的范圍轉(zhuǎn)入幾何、代數(shù)的研究，人們發(fā)現(xiàn)有理數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠用。

從代數(shù)的視角看，如果只承認(rèn)有理數(shù)，許多方程就沒有根，例如x2=2 就沒有有理根。方程可以不要根，但正方形不能沒有對(duì)角線吧？原來，邊長為1的正方形的對(duì)角線長就是方程x2=2 的根。此時(shí)，有理數(shù)就不夠用了，有必要對(duì)有理數(shù)系進(jìn)一步擴(kuò)充，于是，無理數(shù)應(yīng)運(yùn)而生，進(jìn)而建立起實(shí)數(shù)系。在實(shí)數(shù)系里，不但能進(jìn)行四則運(yùn)算，而且能進(jìn)行“取極限”的運(yùn)算，這是和有理數(shù)系不同的地方。